PROBLEMA: Viaje en coche
Un señor hizo un viaje en coche, en el cual, consumió 20 litros de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía en el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le quedaba.
a) ¿Cuántos litros de gasolina tenía el depósito?
b) ¿Cuántos litros consumió en cada etapa?
c) ¿Cuántos kilómetros recorrió en cada etapa, si el coche consume 5 litros de gasolina a los 100 km?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos cinco valores: los litros de gasolina que tenía en el depósito al principio, los litros que consumió en cada una de las dos etapas y los kilómetros que recorrió en cada una de las dos etapas.
Vamos a establecer la incógnita (x) como los litros que tenía en el depósito antes de salir, es decir:
x = litros que tenía en el depósito antes de salir
Análisis de los datos: Viaje en coche
Ahora vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema:
- Consumo de litros en total = 20 litros
- Litros consumidos en la primera etapa = \(\large \frac{2}{3}\) de la cantidad que tenía en el depósito.
- Litros consumidos en la segunda etapa= \(\large \frac{1}{2}\) de la gasolina que le queda.
- Consumo del coche = 5 litros a los 100 km.
En primer lugar vamos a expresar de forma algebraica los litros de gasolina que consumió en cada etapa.
Litros consumidos en la primera etapa:
En enunciado del problema nos dice que en la primera etapa consume \(\large \frac{2}{3}\) de la cantidad que tenía en el depósito.
Como hemos llamado x = litros de gasolina que tenía en el depósito, tenemos que:
\(\large \frac{2}{3}\; de\; x =\frac{2x}{3}\)
Litros consumidos en la primera etapa = \(\large \frac{2x}{3}\)
Litros consumidos en la segunda etapa:
Primero vamos a calcular cuánta gasolina le queda después de la primera etapa, que es la gasolina que tenía al principio (x) menos la que consumió en la primera etapa (\(\large \frac{2x}{3}\)), es decir:
\(\large x-\frac{2x}{3}=\frac{3x-2x}{3}=\frac{x}{3}\)
Litros que quedan después de la primera etapa = \(\large \frac{x}{3}\)
Como en la segunda etapa consume \(\large \frac{1}{2}\) de los litros que quedan después de la primera etapa:
\(\large \frac{1}{2}\; de\; \frac{x}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{3}=\frac{x}{6}\)
Litros consumidos en la segunda etapa = \(\large \frac{x}{6}\)
Ahora vamos a expresar de forma algebraica los kilómetros que recorrió en cada etapa:
En enunciado del problema nos dice que el coche consume 5 litros de gasolina por cada 100 km. Con estos datos vamos a calcular cuántos kilómetros recorre el coche con un litro de gasolina:
\(\large \frac{100}{5}=20\)
El coche recorre 20 kilómetros con un litro de gasolina.
Kilómetros recorridos en la primera etapa:
Como en la primera etapa el coche consume \(\large \frac{2x}{3}\) litros de gasolina, tenemos que:
\(\large \frac{2x}{3}\cdot 20=\frac{40x}{3}\)
Kilómetros recorridos en la primera etapa = \(\large \frac{40x}{3}\)
Kilómetros recorridos en la segunda etapa:
Como en la segunda etapa el coche consume \(\large \frac{x}{6}\) litros de gasolina, tenemos que:
\(\large \frac{x}{6}\cdot 20=\frac{20x}{6}=\frac{10x}{3}\)
Kilómetros recorridos en la segunda etapa = \(\large \frac{10x}{3}\)
Planteamiento de la ecuación: Viaje en coche
Si sumamos los litros consumidos en la primera etapa (\(\large \frac{2x}{3}\)) más los litros consumidos en la segunda etapa (\(\large \frac{x}{6}\)), obtenemos los litros consumidos en total (que son 20 litros), es decir:
\(\large \frac{2x}{3}+\frac{x}{6}=20\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar vamos a reducir todas las fracciones a común denominador utilizando el método del mínimo común múltiplo:
\(m.c.m.\left ( 3,6 \right )=6\)
\(\large \frac{4x}{6}+\frac{x}{6}=\frac{120}{6}\)
Sumamos:
\(\large \frac{4x+x}{6}=\frac{120}{6}\)
Multiplicamos los dos miembros por 6:
\( 4x+x=120\)
\( 5x=120\)
Por último despejamos la x:
\(\large x=\frac{120}{5}=24\)
Tenía 24 litros en el depósito antes de salir.
A continuación vamos a calcular los litros que consumió en cada etapa:
Litros consumidos en la primera etapa = \(\large \frac{2x}{3}=\frac{2\cdot 24}{3}=\frac{48}{3}=16\), por lo tanto:
En la primer etapa consumió 16 litros de gasolina.
Litros consumidos en la segunda etapa = \(\large \frac{x}{6}=\frac{24}{6}=4\), por lo tanto:
En la segunda etapa consumió 4 litros de gasolina.
Ahora vamos a calcular los kilómetros recorridos en cada etapa:
Kilómetros recorridos en la primera etapa = \(\large \frac{40x}{3}= \frac{40\cdot 24}{3}=\frac{960}{3}=320\), por lo tanto:
En la primera etapa recorre 320 kilómetros.
Kilómetros recorridos en la segunda etapa = \(\large \frac{10x}{3}=\frac{10\cdot 24}{3}=\frac{240}{3}=80\), por lo tanto:
En la segunda etapa recorre 80 kilómetros.
Por lo tanto,
Solución del problema: Viaje en coche
El coche tenía 24 litros en el depósito antes de salir
Consumió 16 litros en la primer etapa y 4 litros en la segunda etapa
Recorrió 320 km en la primera etapa y 80 km en la segunda etapa.
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