PROBLEMA: Reparto de la finca
Un padre reparte una finca entre sus tres hijos. Al hijo mayor le asigna la tercera parte de la finca más 80 ha, al segundo la cuarta parte más 20 ha y al tercero la cuarta parte. ¿Cuál será la extensión de la finca? ¿Qué parte de finca corresponderá a cada hijo?
SOLUCIÓN
En este problema tenemos que calcular 4 valores: la extensión de la finca y la parte de finca que le corresponde a cada hijo.
Análisis de los datos: Reparto de la finca
Primero vamos a poner en un esquema los datos que tenemos:
- El hijo mayor recibe \(\large \frac{1}{3}\) de la extensión de la finca más 80 hectáreas.
- El segundo hijo recibe\(\large \frac{1}{4}\) de la extensión de la finca más 20 hectáreas.
- El tercer hijo recibe \(\large \frac{1}{4}\) de la extensión de la finca.
Vamos a establecer como incógnita x a la extensión de la finca puesto que es uno de los valores que nos piden, y los demás valores que nos piden dependen de éste.
x = Extensión de la finca (en hectáreas)
Ahora podemos expresar de forma algebraica cómo se hace el reparto de la finca entre los tres hijos:
El hijo mayor recibe \(\large \frac{1}{3}\) de la extensión de la finca más 80 hectáreas, por lo tanto la expresión algebraica de la parte que recibe el hijo mayor es:
Parte correspondiente al hijo mayor = \(\large \frac{x}{3}+80\)
El segundo hijo recibe\(\large \frac{1}{4}\) de la extensión de la finca más 20 hectáreas, por lo tanto la expresión algebraica de la parte que recibe el segundo hijo es:
Parte correspondiente al segundo hijo = \(\large \frac{x}{4}+20\)
El tercer hijo recibe \(\large \frac{1}{4}\) de la extensión de la finca, por lo tanto la expresión algebraica de la parte que recibe el tercer hijo es:
Parte correspondiente al tercer hijo= \(\large \frac{x}{4}\)
Planteamiento de la ecuación: Reparto de la finca
Como la totalidad de la finca se reparte entre los tres hijos, podemos decir que la suma de lo que le corresponde a cada hijo es igual a la extensión total de la finca:
\(\large \left ( \frac{x}{3}+80 \right )+\left ( \frac{x}{4}+20 \right )+\frac{x}{4}=x\)
Nos queda una ecuación de primer grado. Vamos a resolverla.
Primero quitamos los paréntesis:
\(\large \frac{x}{3}+80+\frac{x}{4}+20+\frac{x}{4}=x\)
Sacamos los denominadores. Para ello utilizamos el método del mínimo común múltiplo:
m.c.m. (3,4) = 12
\(\large \frac{4x+960+3x+240+3x}{12}=\frac{12x}{12}\)
Como los denominadores de los dos miembros son iguales, los podemos quitar:
\( 4x+960+3x+240+3x=12x\)
Agrupamos los términos con x a un lado del igual y los términos sin x al otro lado del igual:
\(4x+3x+3x-12x=-960-240\)
Operamos:
\( -2x=-1.200\)
Despejamos la incógnita:
\(\large x=\frac{-1.200}{-2}=600\)
Por lo tanto tenemos que la extensión de la finca es de 600 hectáreas.
Una vez que conocemos el valor de x, podemos calcular qué parte de la finca le corresponderá a cada hijo:
Primero calculamos la parte que le corresponde al hijo mayor:
\(\large \frac{x}{3}+80= \frac{600}{3}+80 = 200+80=280\) hectáreas
Ahora calculamos la parte que le corresponde al segundo hijo:
\(\large \frac{x}{4}+20=\frac{600}{4}+20=150+20=170\) hectáreas
Por último calculamos la parte que le corresponde al tercer hijo:
\(\large \frac{x}{4}=\frac{600}{4}=150\) hectáreas
Solución del problema: Reparto de la finca
La finca mide 600 hectáreas. El primer hijo recibe 280 hectáreas, el segundo 170 hectáreas y el tercero 150 hectáreas.
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