PROBLEMA: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (9)
El doble de la cuarta potencia de un número más el triple del cuadrado del mismo número da 189. ¿Cuál es ese número?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos un número, el cual será la incógnita del problema.
Número que nos piden = x
Análisis de los datos: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (9)
En primer lugar vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema y que necesitamos para el planteamiento:
- La cuarta potencia de x es: \(x^{4}\).
- El doble de la cuarta potencia de x es: \(2x^{2}\).
- El cuadrado de x es: \(x^{2}\).
- El triple del cuadrado de x es: \(3x^{2}\).
Planteamiento de la ecuación: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (9)
El enunciado del problema nos dice que el doble de la cuarta potencia de x más el triple del cuadrado de x es igual a 189. Vamos a expresar esto de forma algebraica:
\(2x^{4}+3x^{2}=189\)
Hemos obtenido una ecuación bicuadrada que resolveremos a continuación.
En primer lugar vamos a pasar todos los términos de la ecuación a un lado del igual:
\({2x^{4}+3x^{2}- 189=0}\)
Vamos a llamar: \({z=x^{2}}\) y lo sustituimos en la expresión de arriba:
\( 2\left ( x^{2} \right )^{2}+3x^{2}-189=0\)
Es decir:
\(2z^{2}+3z-189=0\)
De esta forma hemos obtenido una ecuación de segundo grado que vamos a resolver a continuación:
\(\large z=\frac{-3\pm \sqrt{9+1.512}}{4}= \frac{-3\pm \sqrt{1.521}}{4}= \frac{-3\pm 39}{4}=\left\{\begin{matrix} z_{1}= \frac{-3+39}{4}=\frac{36}{4}=9\\ \\z_{2}= \frac{-3-39}{4}=\frac{-42}{4}=\frac{-21}{2} \end{matrix}\right.\)
Como \({z=x^{2}}\), entonces tenemos que: \(x=\sqrt{z}\), y con esto ya podemos calcular las x, por lo tanto:
\(\large x_{1}=\pm \sqrt{z_{1}}= \pm \sqrt{9}=\left\{\begin{matrix} x_{11}=+\sqrt{9}=+3\\ \\x_{1 2}=-\sqrt{9}=-3 \end{matrix}\right.\)
\(\large{x_{2}}=\pm \sqrt{z_{2}}= \pm \sqrt{\frac{-21}{2}}=\not\exists\)
Por lo tanto:
Solución del problema: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (9)
Este problema tiene dos soluciones: +3 y -3
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