PROBLEMA: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (4)
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
SOLUCIÓN: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (4)
Vamos a ponerle un nombre a cada número:
- x = uno de esos números
- x + 2 = el otro número (porque se diferencia en dos unidades el número x)
El enunciado nos dice que la suma de los cuadrados de estos dos números es 580. Vamos a expresar esto numéricamente:
\({x^{2}+ \left ( x+2 \right )^{2}=580}\)
Pasamos todos los términos de la ecuación a un solo miembro:
\({x^{2}+ x^{2}+4x+4-580=0}\)
\({2x^{2}+4x-576=0}\)
Dividimos los dos miembros de la ecuación por 2:
\({x^{2}+2x-288=0}\)
Nos queda una ecuación de segundo grado completa que resolveremos a continuación:
\(\large{x=\frac{-2\pm \sqrt{4+1152}}{2}}=\frac{-2\pm \sqrt{1156}}{2}=\frac{-2\pm 34}{2}=\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{-2+34}{2}=\frac{32}{2}=16\\ \\x_{2}=\frac{-2-34}{2}=\frac{36}{2}=-18 \end{matrix}\right.\)
Como el enunciado nos dice que los números tienen que ser naturales, descartamos x = -18, que no es natural, por lo tanto:
x = 16
x + 2 = 18
Los dos números positivos son: 16 y 18
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