PROBLEMA : Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (10)
Si a la cuarta potencia de un número se le resta su cuadrado da 600. ¿Cuál es este número?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos un número, el cual será la incógnita del problema.
Número que nos piden = x
Análisis de los datos: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (10)
En primer lugar vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema y que necesitamos para el planteamiento:
- La cuarta potencia de x es: \(x^{4}\).
- El cuadrado de x es: \(x^{2}\).
- La resta de ambos es: \(x^{4}-x^{2}\).
Planteamiento de la ecuación: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (10)
El enunciado del problema nos dice que la cuarta potencia de x menos el cuadrado de x es igual a 600. Vamos a expresar esto de forma algebraica:
\(x^{4}-x^{2}=600\)
Hemos obtenido una ecuación bicuadrada que resolveremos a continuación.
En primer lugar vamos a pasar todos los términos de la ecuación a un lado del igual:
\({x^{4}-x^{2}- 600=0}\)
Vamos a llamar: \({z=x^{2}}\) y lo sustituimos en la expresión de arriba:
\(\left ( x^{2} \right )^{2}-x^{2}-600=0\)
Es decir:
\(z^{2}-z-600=0\)
De esta forma hemos obtenido una ecuación de segundo grado que vamos a resolver a continuación:
\(\large z=\frac{1\pm \sqrt{1+2400}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{2401}}{2}= \frac{1\pm 49}{2}=\left\{\begin{matrix} z_{1}=\frac{1+49}{2}=\frac{50}{2}=+25\\ \\ z_{2}=\frac{1-49}{2}=\frac{-48}{2}=-24 \end{matrix}\right.\)
Como \({z=x^{2}}\), entonces tenemos que: \(x=\sqrt{z}\), y con esto ya podemos calcular las x, por lo tanto:
\(x_{1}=\sqrt{z_{1}}=\sqrt{25}=\left\{\begin{matrix} x_{11}=+5\\ \\ x_{12}=-5 \end{matrix}\right.\)
\( x_{2}=\sqrt{z_{2}}=\sqrt{-24}= \not\exists\)
Por lo tanto,
Solución del problema: Problemas numéricos con ecuaciones de segundo grado (10)
Ese número puede ser +5 ó -5
Para ver la clase sobre las ecuaciones de grado superior a dos, para ver los ejercicios resueltos o para ver más problemas como éste, puedes hacer click en los siguientes links:
La Escuela en Casa