PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (1)
Dos ciudades A y B distan entre sí 180 km. A las 5 de la mañana, sale un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A marcha a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h.
a) ¿Al cabo de cuánto tiempo un coche alcanzará al otro?
b) ¿A qué hora se encontrarán?
c) ¿Qué distancia habrá recorrido cada coche?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos cuatro valores: el tiempo que tardan en encontrarse los dos coches, la hora a la que se encuentran y la distancia recorrida por cada coche. Por comodidad, vamos a llamar:
- Coche A al coche que va de A hacia B.
- Coche B al coche que va de B hacia A.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (1)
En primer lugar vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema:
- Distancia entre las ciudades = 60 km.
- Los coches salen a las 5 a.m.
- Los coches van en sentido contrario.
- Velocidad del coche A = 90 km/h.
- Velocidad del coche B = 60 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad (v) como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(\large v=\frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
Sobre la línea horizontal vamos a representar las distancias recorrida por cada coche hasta que se encuentran. En el punto c representamos el punto donde se encuentran los dos coches.
Como no tenemos ningún datos sobre los espacios recorrido por los coches, pero tenemos las velocidades a las que se desplazan los mismos, vamos a despejar el espacio (e) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\( e=v\cdot t\)
Ahora vamos a representar el espacio recorrido por cada coche hasta que se encuentra con el otro.
Nota: Como los dos coches salen al mismo tiempo y se encuentran al mismo tiempo, el tiempo recorrido por ambos es el mismo:
\( t_{A}=t_{B}=t\)
Espacio recorrido por el coche A:
La distancia recorrida por el coche A va desde A hasta el punto c.
\(e_{A}=v_{A}\cdot t_{A}\)
El espacio recorrido por el coche A es igual a su velocidad (\(v_{A}=90\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el coche B (t), entonces:
\(e_{A}=90\cdot t\)
Espacio recorrido por el coche B:
La distancia recorrida por el coche B va desde el B hasta el punto c.
\(e_{B}=v_{B}\cdot t_{B}\)
El espacio recorrido por el coche B es igual a su velocidad (\(v_{B}=60\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el coche A (t), entonces:
\(e_{B}=60\cdot t\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (1)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que el espacio recorrido por el coche A es igual a la suma de la distancia entre las dos ciudades (180 km) más el espacio recorrido por el coche B. Entonces:
\(e_{A}= 180+e_{B}\)
Sustituimos los valores correspondientes:
\(90\cdot t=180+60\cdot t\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
Pasamos todos los términos con t a un lado del igual y lo demás al otro lado del igual:
\(90\cdot t-60\cdot t=180\)
\(30\cdot t=180\)
Despejamos la x:
\(\large t=\frac{180}{30}=6\)
Los coches se encuentran al cabo de 6 horas.
t = 6 significa que los coches tardan 6 horas en encontrarse. Como salen a las 5 a.m. y tardan 6 horas en encontrarse, significa que se encuentran a las 11 a.m.
5 a.m. + 6 horas = 11 a.m.
Los vehículos se encuentran a las 11 de la mañana.
A continuación vamos a calcular la distancia recorrida por cada coche:
El espacio recorrido por el coche A es \(e_{A}=90\cdot t\), por lo tanto:
\(e_{A}=90\cdot t =90\cdot 6=540 \)
La distancia recorrida por el coche A es de 540 km.
El espacio recorrido por el coche B es \(e_{B}=60\cdot t\), por lo tanto:
\(e_{B}=60\cdot t =60\cdot 6=360 \)
La distancia recorrida por el coche B es de 360 km.
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (1)
El coche que sale de A alcanzará al que sale de B al cabo de 6 horas, a las 11 de la mañana. El coche que sale de A habrá recorrido 540 Km y el coche que sale de B habrá recorrido 360 Km.
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