PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (9)
Dos ciudades A y B distan entre sí 600 km. De A parte un automóvil hacia B con una velocidad de 40 km/h, y de B parte otro hacia A a 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos únicamente un valor: el tiempo que tardan en cruzarse los dos vehículos.
Por motivos de comodidad, llamaremos \(C_{1}\) al automóvil de va de la ciudad A a la ciudad B , y \(C_{2}\) al automóvil que va de la ciudad B a la ciudad A.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (9)
Primero vamos a ver los datos que nos dan:
- Distancia entre A y B = 600 km.
- Velocidad de\(C_{1}\) = \(v_{1}\) = 40 km/h.
- Velocidad de\(C_{2}\) = \(v_{2}\) = 60 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(v=\large \frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
La línea horizontal simboliza la distancia que hay entre las ciudades A y B y sobre ella vamos a representar la distancia recorrida por cada automóvil hasta que se encuentran.
En el punto c es donde se encuentran los dos automóviles.
Como no tenemos ningún datos sobre los tiempos empleados por los automóviles, pero tenemos las velocidades a las que circulan los mismos, vamos a despejar el espacio (e) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\(e=v\cdot t\)
Nota: Como los dos salen al mismo tiempo y se encuentran al mismo tiempo, tenemos que:
\(t_{1}=t_{2}=t\)
Vamos a representar las distancias recorridas por cada automóvil:
Tiempo empleado por el automóvil \(C_{1}\)
La distancia recorrida por el coche \(C_{1}\) va desde A hasta el punto c.
\(e_{1}=v_{1}\cdot t_{1}\)
El espacio recorrido por el coche es igual a su velocidad (\(v_{1}=40\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el automóvil \(C_{2}\) (t), entonces:
\(e_{1}=40\cdot t\)
Tiempo empleado por el automóvil \(C_{2}\)
La distancia recorrida por el coche \(C_{2}\) va desde B hasta el punto c.
\(e_{2}=v_{2}\cdot t_{2}\)
El espacio recorrido por el coche es igual a su velocidad (\(v_{1}=60\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el automóvil \(C_{1}\) (t), entonces:
\(e_{2}=60\cdot t\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (9)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que la suma del espacio recorrido por los dos automóviles es igual a la distancia total entre las dos ciudades (600 km). Entonces:
\(e_{1}+e_{2}=600\)
Sustituimos los valores correspondientes:
\(40\cdot t+60\cdot t=600\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación:
\(100\cdot t=600\)
Despejamos la x:
\(\large t=\frac{600}{100}=6\)
t = 6 significa que los automóviles tardan 6 horas en cruzarse.
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (9)
Los automóviles tardarán 6 horas en cruzarse.
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