PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (8)
Un coche sale de una ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo? ¿A qué distancia de la ciudad A se producirá el encuentro?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos dos valores: el tiempo que tarda en alcanzar el primer coche al segundo y la distancia al que lo alcanzará.
Por motivos de comodidad, vamos a llamar al primer coche \(C_{1}\) y al segundo coche \(C_{2}\).
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (8)
Primero vamos a ver los datos que nos dan:
- La velocidad de \(C_{1}\) es de 90 km/h.
- \(C_{2}\) sale 3 horas más tarde que \(C_{1}\)
- La velocidad de \(C_{2}\) es de 120 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(v=\large \frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
La línea horizontal simboliza el trayecto partiendo de la ciudad A y sobre ella vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo hasta que se encuentran.
Como no tenemos ningún datos sobre los tiempos empleados por los vehículos, pero tenemos las velocidades a las que circulan los mismos, vamos a despejar el tiempo (t) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\(t=\large \frac{e}{v}\)
Nota: Como los dos vehículos recorren la misma distancia, tenemos que:
\(e_{1}=e_{2}=e\)
Vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo:
Tiempo empleado por el coche \(C_{1}\)
Por debajo de la línea representamos el tiempo recorrido por \(C_{1}\) desde que sale de la ciudad A hasta que es alcanzado por el coche \(C_{2}\).
\(\large t_{1}=\frac{e}{v_{1}}\)
El tiempo empleado por el coche \(C_{1}\) hasta que es alcanzado por el coche \(C_{2}\) es igual al espacio total (e) dividido entre la velocidad del coche \(C_{1}\) (\(v_{1}\)).
En esta fórmula conocemos la velocidad del coche \(C_{1}\) (\(v_{1}=90\) km/h), por lo tanto nos queda:
\(\large t_{1}=\frac{e}{90}\)
Tiempo empleado por el coche \(C_{2}\)
Por encima de la líne horizontal representamos el tiempo recorrido por el coche \(C_{2}\) desde que empieza a circular hasta que alcanza al coche \(C_{1}\).
El coche \(C_{2}\) no empieza a circular hasta 3 horas después de que empiece el coche \(C_{1}\), así que este tiempo (3 horas) también lo representamos en el esquema.
A partir de estas 3 horas es cuando representaremos el tiempo que el coche \(C_{2}\) estuvo circulando desde que salió hasta que alcanza al coche \(C_{1}\):
\(\large t_{2}=\frac{e_{2}}{v_{2}}\)
En esta fórmula conocemos la velocidad del motorista (\(v_{2}=120\) km/h), por lo tanto nos queda:
\(\large t_{2}=\frac{e}{120}\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (8)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que el tiempo empleado por el coche \(C_{1}\) es igual al tiempo empleado por el coche \(C_{2}\) más 3 horas:
\( t_{1}=3+t_{2}\)
O lo que es lo mismo:
\(\large \frac{e}{90}=3+\frac{e}{120}\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar vamos a reducir la expresión a un común denominador, y para ello vamos a utilizar el método del mínimo común múltiplo:
\(90=2\cdot 3^{2}\cdot 5\)
\(120=2^{3}\cdot 3\cdot 5\)
\(m.c.m.\left ( 90,120 \right )=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5=360\)
\(\large \frac{4e}{360}=\frac{1.080+3e}{360}\)
Ahora ya podemos sacar los denominadores:
\(4e=1.080+3e\)
Pasamos todos los términos con e a un lado del igual y los términos independientes al otro lado del igual:
\(4e-3e=1.080\)
Entonces tenemos que:
\(e=1.080\)
Los coches se encuentran a 1.080 km de A.
Ahora vamos a calcular cuánto tiempo tarda el coche \(C_{2}\) en alcanzar al coche \(C_{1}\), que es lo mismo que el \(t_{2}\):
Como, \(\large t_{2}=\frac{e}{120}\), sustituimos por los valores que ya conocemos:
\(\large t_{2}=\frac{1.080}{120}=9\)
Por lo tanto,
El coche \(C_{2}\) tarda 9 horas en alcanzar al coche \(C_{1}\)
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (8)
Los coches se encuentran a 2.080 km de A y el coche \(C_{2}\) tarda 9 horas en alcanzar al coche \(C_{1}\)
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