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Ecuaciones con móviles (6)

22 marzo, 2015 por Isabel

PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (6)

Un ciclista sale de una ciudad A a una velocidad de 25 km/h. Dos horas más tarde sale de A en su persecución un motorista a 50 km/h. ¿A qué distancia de la ciudad le alcanzará?

Ecuaciones con móviles (6). Problema resuelto. Ecuaciones de primer grado.


SOLUCIÓN

En este problema nos piden que calculemos un único valor: la distancia a la que el motorista alcanza al ciclista.


Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (6)

Primero vamos a ver los datos que nos dan:

  • La velocidad del ciclista (que llamaremos \(v_{ciclista}\) ) es de 25 km/h.
  • El motorista sale 2 horas más tarde que el ciclista.
  • La velocidad del motorista (que llamaremos \(v_{motorista}\) ) es de 50 km/h.

Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):

\(v=\large \frac{e}{t}\)

Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.

Ecuaciones con móviles (6). Problema resuelto. Ecuaciones de primer grado.

La línea horizontal simboliza el trayecto partiendo de la ciudad A y sobre ella vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo hasta que se encuentran.

Como no tenemos ningún datos sobre los tiempos empleados por los vehículos, pero tenemos las velocidades a las que circulan los mismos, vamos a despejar el tiempo (t) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:

\(t=\large \frac{e}{v}\)

Nota: Como los dos vehículos recorren la misma distancia, tenemos que:

\(e_{ciclista}=e_{motorista}=e\)

Vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo:

  • Tiempo empleado por el ciclista

Por encima de la línea representamos el tiempo recorrido por el ciclista desde que sale de la ciudad A hasta que es alcanzado por al motorista.

\(\large t_{ciclista}=\frac{e}{v_{ciclista}}\)

El tiempo empleado por el ciclista hasta que es alcanzado por el motorista \(t_{ciclista}\) es igual al espacio total (e) dividido entre  la velocidad del ciclista (\(v_{ciclista}\)).

En esta fórmula conocemos la velocidad del ciclista (\(v_{ciclista}=25\) km/h), por lo tanto nos queda:

\(\large t_{ciclista}=\frac{e}{60}\)

  • Tiempo empleado por el motorista

Por debajo de la líne horizontal representamos el tiempo recorrido por el motorista desde que empieza a circular hasta que alcanza al ciclista.

El motorista no empieza a circular hasta 2 horas después de que empiece el ciclista, así que este tiempo (2 horas) también lo representamos en el esquema.

A partir de estas 2 horas es cuando representaremos  el tiempo que el motorista estuvo circulando desde que salió hasta que alcanza al ciclista:

\(\large t_{motorista}=\frac{e_{motorista}}{v_{motorista}}\)

En esta fórmula conocemos la velocidad del motorista (\(v_{motorista}=50\) km/h), por lo tanto nos queda:

\(\large t_{motorista}=\frac{e}{50}\)


Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (6)

Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que el tiempo empleado por el ciclista es igual al tiempo empleado por el motorista más 2 horas:

\( t_{ciclista}=2+t_{motorista}\)

O lo que es lo mismo:

\(\large \frac{e}{25}=2+\frac{e}{50}\)

Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.

En primer lugar vamos a reducir la expresión a un común denominador, y para ello vamos a utilizar el método del mínimo común múltiplo:

\(25=5^{2}\)

\(50=2\cdot 5^{2}\)

\(m.c.m.\left ( 25,50 \right )=2\cdot 5^{2}=50\)

\(\large \frac{2e}{50}=\frac{100+e}{50}\)

Ahora ya podemos sacar los denominadores:

\(2e=100+e\)

Pasamos todos los términos con e a un lado del igual y los términos independientes al otro lado del igual:

\(2e-e=100\)

Entonces tenemos que:

\(e=100\)

El motorista y el ciclista se encuentran a 100 km de A.

Por lo tanto,


Solución del problema Ecuaciones con móviles (6)

El motorista alcanzará al ciclista a 100 km de la ciudad A.

Para ver la clase sobre las ecuaciones de primer grado, para ver los ejercicios resueltos o para ver más problemas como éste, puedes hacer click en los siguientes links:


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Publicado en: Ecuaciones, Ecuaciones de Primer Grado, Problemas Etiquetado como: Ecuaciones, Ecuaciones con móviles, Ecuaciones de primer grado

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