PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (6)
Un ciclista sale de una ciudad A a una velocidad de 25 km/h. Dos horas más tarde sale de A en su persecución un motorista a 50 km/h. ¿A qué distancia de la ciudad le alcanzará?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos un único valor: la distancia a la que el motorista alcanza al ciclista.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (6)
Primero vamos a ver los datos que nos dan:
- La velocidad del ciclista (que llamaremos \(v_{ciclista}\) ) es de 25 km/h.
- El motorista sale 2 horas más tarde que el ciclista.
- La velocidad del motorista (que llamaremos \(v_{motorista}\) ) es de 50 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(v=\large \frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
La línea horizontal simboliza el trayecto partiendo de la ciudad A y sobre ella vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo hasta que se encuentran.
Como no tenemos ningún datos sobre los tiempos empleados por los vehículos, pero tenemos las velocidades a las que circulan los mismos, vamos a despejar el tiempo (t) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\(t=\large \frac{e}{v}\)
Nota: Como los dos vehículos recorren la misma distancia, tenemos que:
\(e_{ciclista}=e_{motorista}=e\)
Vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo:
Tiempo empleado por el ciclista
Por encima de la línea representamos el tiempo recorrido por el ciclista desde que sale de la ciudad A hasta que es alcanzado por al motorista.
\(\large t_{ciclista}=\frac{e}{v_{ciclista}}\)
El tiempo empleado por el ciclista hasta que es alcanzado por el motorista \(t_{ciclista}\) es igual al espacio total (e) dividido entre la velocidad del ciclista (\(v_{ciclista}\)).
En esta fórmula conocemos la velocidad del ciclista (\(v_{ciclista}=25\) km/h), por lo tanto nos queda:
\(\large t_{ciclista}=\frac{e}{60}\)
Tiempo empleado por el motorista
Por debajo de la líne horizontal representamos el tiempo recorrido por el motorista desde que empieza a circular hasta que alcanza al ciclista.
El motorista no empieza a circular hasta 2 horas después de que empiece el ciclista, así que este tiempo (2 horas) también lo representamos en el esquema.
A partir de estas 2 horas es cuando representaremos el tiempo que el motorista estuvo circulando desde que salió hasta que alcanza al ciclista:
\(\large t_{motorista}=\frac{e_{motorista}}{v_{motorista}}\)
En esta fórmula conocemos la velocidad del motorista (\(v_{motorista}=50\) km/h), por lo tanto nos queda:
\(\large t_{motorista}=\frac{e}{50}\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (6)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que el tiempo empleado por el ciclista es igual al tiempo empleado por el motorista más 2 horas:
\( t_{ciclista}=2+t_{motorista}\)
O lo que es lo mismo:
\(\large \frac{e}{25}=2+\frac{e}{50}\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar vamos a reducir la expresión a un común denominador, y para ello vamos a utilizar el método del mínimo común múltiplo:
\(25=5^{2}\)
\(50=2\cdot 5^{2}\)
\(m.c.m.\left ( 25,50 \right )=2\cdot 5^{2}=50\)
\(\large \frac{2e}{50}=\frac{100+e}{50}\)
Ahora ya podemos sacar los denominadores:
\(2e=100+e\)
Pasamos todos los términos con e a un lado del igual y los términos independientes al otro lado del igual:
\(2e-e=100\)
Entonces tenemos que:
\(e=100\)
El motorista y el ciclista se encuentran a 100 km de A.
Por lo tanto,
Solución del problema Ecuaciones con móviles (6)
El motorista alcanzará al ciclista a 100 km de la ciudad A.
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