PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (5)
Dos ciudades A y B distan entre sí 360 km. De la ciudad A sale un coche hacia B con una velocidad de 70 km/h, y de B parte de un camión hacia A con una velocidad de 50 km/h. ¿Podrías decir cuánto tiempo tardarán en encontrarse?¿Qué distancia hay del punto de encuentro a ambas ciudades?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos dos valores: el tiempo que tardan en encontrarse los dos vehículos y la distancia de las dos ciudades a la que se encuentran.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (5)
En primer lugar vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema:
- Distancia entre las ciudades = 360 km.
- El coche sale de A y el camión sale de B.
- Velocidad del coche = 70 km/h.
- Velocidad del camión = 50 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad (v) como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(\large v=\frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
La línea horizontal simboliza la distancia que hay entre las dos ciudades (que son 360 km), y sobre ella vamos a representar las distancias recorrida por cada vehículo hasta que se encuentran. En el punto c representamos el punto donde se encuentran los dos vehículos.
Como no tenemos ningún datos sobre los espacios recorrido por los vehículos, pero tenemos las velocidades a las que se desplazan los mismos, vamos a despejar el espacio (e) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\( e=v\cdot t\)
Ahora vamos a representar el espacio recorrido por cada vehículo hasta que se encuentra con el otro.
Nota: Como los dos vehículos se empiezan a desplazar al mismo tiempo y se encuentran al mismo tiempo, el tiempo recorrido por ambos es el mismo:
\( t_{coche}=t_{camion}=t\)
Espacio recorrido por el coche:
Por encima de la línea representamos la distancia recorrida por el coche que va desde A hasta el punto c.
\(e_{coche}=v_{coche}\cdot t\)
El espacio recorrido por el coche es igual a su velocidad (\(v_{coche}=70\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el camión (t), entonces:
\(e_{coche}=70\cdot t\)
Espacio recorrido por el camión:
La distancia recorrida por el camión va desde el B hasta el punto c.
\(e_{camion}=v_{camion}\cdot t\)
El espacio recorrido por el camión es igual a su velocidad (\(v_{camion}=50\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el coche (t), entonces:
\(e_{camion}=50\cdot t\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (5)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que la suma del espacio recorrido por los dos vehículos es igual a la distancia total entre las dos ciudades (360 km). Entonces:
\(e_{coche}+e_{camion}=360\)
Sustituimos los valores correspondientes:
\(70\cdot t+50\cdot t=360\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación:
\(120\cdot t=360\)
Despejamos la x:
\(\large t=\frac{360}{120}=3\)
t = 3 significa que los vehículos tardan 4 horas en encontrarse.
Los vehículos tardan 3 horas en encontrarse.
A continuación vamos a calcular la distancia desde donde se encontraron los vehículos hasta cada una de las ciudades:
La distancia a la ciudad A es igual al espacio recorrido por el coche, que es el que salió de la ciudad A, por lo tanto:
Distancia a la ciudad A = \(e_{coche}=70\cdot t=70\cdot 3=210\)
La distancia de los vehículos a la ciudad A es de 210 km.
La distancia a la ciudad B es igual al espacio recorrido por el camión, que es el que salió de la ciudad B, por lo tanto:
Distancia a la ciudad B = \(e_{camion}=50\cdot t=50\cdot 3=150\)
La distancia de los vehículos a la ciudad B es de 150 km.
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (5)
Los vehículos tardan 3 horas en encontrarse y se encuentran a 210 Km de A y a 150 Km de B.
Para ver la clase sobre las ecuaciones de primer grado, para ver los ejercicios resueltos o para ver más problemas como éste, puedes hacer click en los siguientes links:
La Escuela en Casa