PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (3)
Dos ciudades A y B distan 720 km. A las 4 de la mañana sale un coche de la ciudad A la ciudad B con una velocidad media de 110 km/h. A la misma hora sale un camión de la ciudad B hacia la ciudad A con una velocidad de 70 km/h. ¿Puedes decir a qué hora se encuentran? ¿A qué distancia de las ciudades A y B se encuentran los dos vehículos?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos dos valores: la hora a la que se encuentran los dos vehículos y la distancia de las dos ciudades a la que se encuentran.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (3)
En primer lugar vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema:
- Distancia entre las ciudades = 720 km.
- Los vehículos salen a las 4 a.m.
- El coche sale de A y el camión sale de B.
- Velocidad del coche = 110 km/h.
- Velocidad del camión = 70 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad (v) como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(\large v=\frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
La línea horizontal simboliza la distancia que hay entre las dos ciudades (que son 720 km), y sobre ella vamos a representar las distancias recorrida por cada vehículo hasta que se encuentran. En el punto c representamos el punto donde se encuentran los dos vehículos.
Como no tenemos ningún datos sobre los espacios recorrido por los vehículos, pero tenemos las velocidades a las que se desplazan los mismos, vamos a despejar el espacio (e) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\( e=v\cdot t\)
Ahora vamos a representar el espacio recorrido por cada vehículo hasta que se encuentra con el otro.
Nota: Como los dos vehículos se empiezan a desplazar al mismo tiempo y se encuentran al mismo tiempo, el tiempo recorrido por ambos es el mismo:
\( t_{coche}=t_{camion}=t\)
Espacio recorrido por el coche:
Por encima de la línea representamos la distancia recorrida por el coche que va desde A hasta el punto c.
\(e_{coche}=v_{coche}\cdot t\)
El espacio recorrido por el coche es igual a su velocidad (\(v_{coche}=110\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el camión (t), entonces:
\(e_{coche}=110\cdot t\)
Espacio recorrido por el camión:
La distancia recorrida por el camión va desde el B hasta el punto c.
\(e_{camion}=v_{camion}\cdot t\)
El espacio recorrido por el camión es igual a su velocidad (\(v_{camion}=70\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el coche (t), entonces:
\(e_{camion}=70\cdot t\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (3)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que la suma del espacio recorrido por los dos vehículos es igual a la distancia total entre las dos ciudades (720 km). Entonces:
\(e_{coche}+e_{camion}=720\)
Sustituimos los valores correspondientes:
\(110\cdot t+70\cdot t=720\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación:
\(180\cdot t=720\)
Despejamos la x:
\(\large t=\frac{720}{180}=4\)
t = 4 significa que los vehículos tardan 4 horas en encontrarse. Como salen a las 4 a.m. y tardan 4 horas en encontrarse, significa que se encuentran a las 8 a.m.
4 a.m. + 4 horas = 8 a.m.
Los vehículos se encuentran a las 8 de la mañana.
A continuación vamos a calcular la distancia desde donde se encontraron los vehículos hasta cada una de las ciudades:
La distancia a la ciudad A es igual al espacio recorrido por el coche, que es el que salió de la ciudad A, por lo tanto:
Distancia a la ciudad A = \(e_{coche}=110\cdot t=110\cdot 4=440\)
La distancia de los vehículos a la ciudad A es de 440 km.
La distancia a la ciudad B es igual al espacio recorrido por el camión, que es el que salió de la ciudad B, por lo tanto:
Distancia a la ciudad B = \(e_{camion}=70\cdot t=70\cdot 4=280\)
La distancia de los vehículos a la ciudad B es de 280 km.
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (3)
Los vehículos se encuentran a las 8 de la mañana, a 440 Km de A y a 280 Km de B.
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