PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (2)
Dos ciudades A y B distan entre sí 60 km. A la misma hora salen de ambas dos coches en el mismo sentido. El que sale de A, a 120 km/h y el que sale de B, a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos únicamente un valor: el tiempo que tardan en encontrarse los dos coches. Por comodidad, vamos a llamar:
- Coche A al coche que va de A hacia B.
- Coche B al coche que va de B hacia A.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (2)
En primer lugar vamos a ver los datos que nos da el enunciado del problema:
- Distancia entre las ciudades = 60 km.
- Los coches salen a la misma hora.
- Los coches van en sentidos contrarios.
- Velocidad del coche A = 120 km/h.
- Velocidad del coche B = 90 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad (v) como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(\large v=\frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
Sobre la línea horizontal vamos a representar las distancias recorrida por cada coche hasta que se encuentran. En el punto c representamos el punto donde se encuentran los dos coches.
Como no tenemos ningún datos sobre los espacios recorrido por los coches, pero tenemos las velocidades a las que se desplazan los mismos, vamos a despejar el espacio (e) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\( e=v\cdot t\)
Ahora vamos a representar el espacio recorrido por cada coche hasta que se encuentra con el otro.
Nota: Como los dos coches salen al mismo tiempo y se encuentran al mismo tiempo, el tiempo recorrido por ambos es el mismo:
\( t_{A}=t_{B}=t\)
Espacio recorrido por el coche A:
La distancia recorrida por el coche A va desde A hasta el punto c.
\(e_{A}=v_{A}\cdot t_{A}\)
El espacio recorrido por el coche A es igual a su velocidad (\(v_{A}=120\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el coche B (t), entonces:
\(e_{A}=120\cdot t\)
Espacio recorrido por el coche B:
La distancia recorrida por el coche B va desde el B hasta el punto c.
\(e_{B}=v_{B}\cdot t_{B}\)
El espacio recorrido por el coche B es igual a su velocidad (\(v_{B}=90\) km/h) por el tiempo que tarda en encontrarse con el coche A (t), entonces:
\(e_{B}=90\cdot t\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (2)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que el espacio recorrido por el coche A es igual a la suma de la distancia entre las dos ciudades (60 km) más el espacio recorrido por el coche B. Entonces:
\(e_{A}= 60+e_{B}\)
Sustituimos los valores correspondientes:
\(120\cdot t=60+90\cdot t\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar pasamos todos los términos con t a un lado del igual y lo demás al otro lado del igual:
\(120\cdot t-90\cdot t=60\)
\(30\cdot t=60\)
A continuación despejamos la x:
\(\large t=\frac{60}{30}=2\)
t = 2 significa que los coches tardan 2 horas en encontrarse.
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (2)
Los dos coches se encontrarán al cabo de 2 horas.
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