PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (12)
Dos amigos se encuentran a 30 km de distancia. Los dos recorren el camino que les separa en sentido contrario. Uno va con velocidad de 6 km por hora y el otro a 4 km por hora. ¿Cuándo se encontrarán?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos un momento en el tiempo: el momento (en horas) en que se van a encontrar los dos amigos que le vamos a llamar t.
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (12)
Primero vamos a ver los datos que nos dan:
- La distancia entre los dos amigos es de 30 kilómetros.
- Los dos amigos van en sentido contrario.
- El amigo A va a 6 km/h.
- El amigo B va a 4 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(\large v=\frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema. La línea horizontal simboliza la posición de los dos amigos. En la parte de arriba de la línea vamos a representar el espacio recorrido por cada uno de ellos hasta que se encuentran y en la parte inferior representamos la distancia que hay entre ambos.
Como no tenemos ningún dato sobre las distancias recorridas por cada uno, pero tenemos las velocidades a las que se desplazan, vamos a despejar la distancia recorrida (t) de la fórmula de la velocidad para expresar dicha distancia en función del tiempo empleado en recorrerla:
\( e=v\cdot t\)
En el siguiente esquema representamos los espacios recorridos en total y por cada amigo:
c = punto donde se encontrarán
Nota: Como los dos amigos salen al mismo tiempo y se encuentran al mismo tiempo, el tiempo que tardan en encontrarse es el mismo para los dos por lo tanto \( t_{A}=t_{B}=t\)
Distancia recorrida por el amigo A:
Por encima de la línea horizontal desde la izquierda representamos la distancia que recorre el amigo A (que es la distancia que va desde A hasta c), a la que denominaremos \( e_{A}\)
Según la fórmula anterior, tenemos que:
\( e_{A}=v_{A}\cdot t\)
El espacio recorrido por el amigo A (\( e_{A}\)) es igual a la velocidad a la que se desplaza (\(v_{A}\)) por el tiempo que le lleva (\( t\)).
En esta fórmula conocemos la velocidad a la que se desplaza (\(\large v_{A}=6\) km/h.), por lo tanto nos queda:
\( e_{A}=6\cdot t\)
Distancia recorrida por el amigo B:
Por encima de la línea horizontal desde la derecha representamos la distancia que recorre el amigo B (que es la distancia que va desde B hasta c), a la que denominaremos \( e_{B}\)
Según la fórmula anterior, tenemos que:
\( e_{B}=v_{B}\cdot t\)
El espacio recorrido por el amigo B (\( e_{B}\)) es igual a la velocidad a la que se desplaza (\(v_{B}\)) por el tiempo que le lleva (\( t\)).
En esta fórmula conocemos la velocidad a la que se desplaza (\(\large v_{B}=4\) km/h.), por lo tanto nos queda:
\( e_{B}=4\cdot t\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (12)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que si sumamos la distancia recorrida por el amigo A (\( e_{A}=6\cdot t\)) más la distancia recorrida por el amigo B (\( e_{B}=4\cdot t\)), esta suma es igual a la distancia inicial total entre los dos amigos (30 km), por lo tanto:
\( e_{A}+e_{B}=30\)
O lo que es lo mismo:
\( 6t+4t=30\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En este caso los cálculos son sencillos:
\(10t=30\)
\(\large t=\frac{30}{10}=3\)
Como hemos llamado t = momento (en horas) en el que se van a encontrar los dos amigos, tenemos que:
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (12)
Se encontrarán a las 3 horas.
Para ver la clase sobre las ecuaciones de primer grado, para ver los ejercicios resueltos o para ver más problemas como éste, puedes hacer click en los siguientes links:
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