PROBLEMA: Ecuaciones con móviles (11)
De una ciudad A sale un camión con una velocidad de 60 Km/h. Tres horas después sale un coche que persigue al camión. Si la velocidad del coche es de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar al camión? ¿A qué distancia de la ciudad A alcanza el coche al camión?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden dos valores: el tiempo que tarda el coche en alcanzar al camión (que llamaremos t) y la distancia recorrida en total por el coche hasta que alcanza al coche (que llamaremos e)
Análisis de los datos: Ecuaciones con móviles (11)
Primero vamos a ver los datos que nos dan:
- La velocidad del camión (que llamaremos \(v_{camion}\) ) es de 60 km/h.
- El coche sale 3 horas más tarde que el camión.
- La velocidad del coche (que llamaremos \(v_{coche}\) ) es de 90 km/h.
Tendremos en cuenta aquí el concepto de velocidad como magnitud física, que viene expresada en función del espacio recorrido a dicha velocidad (e) y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio (t):
\(v=\large \frac{e}{t}\)
Aquí tenemos un pequeño esquema para entender un poco mejor el enunciado del problema.
La línea horizontal simboliza el trayecto partiendo de la ciudad A y sobre ella vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo hasta que se encuentran.
Como no tenemos ningún datos sobre los tiempos empleados por los vehículos, pero tenemos las velocidades a las que circulan los mismos, vamos a despejar el tiempo (t) de la fórmula de la velocidad para expresar los tiempos en función de las velocidades:
\(t=\large \frac{e}{v}\)
Vamos a representar los tiempos empleados por cada vehículo:
Tiempo empleado por el camión
Por debajo de la línea representamos el tiempo recorrido por el camión desde que sale de la ciudad A hasta que es alcanzado por al coche.
\(\large t_{camion}=\frac{e}{v_{camion}}\)
El tiempo empleado por el camión hasta que es alcanzado por el coche \(t_{camion}\) es igual al espacio total (e) dividido entre la velocidad del camión (\(v_{camion}\)).
En esta fórmula conocemos la velocidad del camión (\(v_{camion}=60\) km/h), por lo tanto nos queda:
\(\large t_{camion}=\frac{e}{60}\)
Tiempo empleado por el coche
Por encima de la líne horizontal representamos el tiempo recorrido por el coche desde que empieza a circular hasta que alcanza al camión.
El coche no empieza a circular hasta 3 horas después de que empiece el camión, así que este tiempo (3 horas) también lo representamos en el esquema.
A partir de estas 3 horas es cuando representaremos el tiempo que el coche estuvo circulando desde que salió hasta que fue alcanza al camión:
\(\large t_{coche}=\frac{e_{coche}}{v_{coche}}\)
En esta fórmula conocemos la velocidad del coche (\(v_{coche}=90\) km/h), por lo tanto nos queda:
\(\large t_{coche}=\frac{e}{90}\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con móviles (11)
Si nos fijamos en el esquema que hemos dibujado, vemos que el tiempo empleado por el camión es igual al tiempo empleado por el coche más tres horas:
\( t_{camion}=3+t_{coche}\)
O lo que es lo mismo:
\(\large \frac{e}{60}=3+\frac{e}{90}\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar vamos a reducir la expresión a un común denominador, y para ello vamos a utilizar el método del mínimo común múltiplo:
\(90=2\cdot 3^{2}\cdot 5\)
\(60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\)
\(m.c.m.\left ( 60,90 \right )=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5=180\)
\(\large \frac{3e}{180}=\frac{540+2e}{180}\)
Ahora ya podemos sacar los denominadores:
\(3e=540+2e\)
Pasamos todos los términos con e a un lado del igual y los términos independientes al otro lado del igual:
\(3e-2e=540\)
Entonces tenemos que:
\(e=540\)
El coche alcanza al camión a 540 Km de A.
Con este dato ya podemos calcular también el tiempo que tarda el coche en alcanzar al camión (\(t_{coche}\)):
Para calcular \(t_{coche}\) vamos a utilizar la fórmula \(\large t_{coche}=\frac{e}{90}\):
\(\large t_{coche}=\frac{e}{90}=\frac{540}{90}= 6\)
Por lo tanto,
Solución del problema: Ecuaciones con móviles (11)
El coche tarda 6 horas en alcanzar al camión.
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