PROBLEMA: Ecuaciones con mezclas y aleaciones (1)
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera de 6 euros el Kg y la segunda de 7,2 euros el Kg. ¿Cuántos kilos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 Kg de mezcla a 7 euros el Kg?
SOLUCIÓN
En este problema nos piden que calculemos los kilos del café de la primera clase (que llamaremos café tipo A) y los kilos de café de la segunda clase (que llamaremos café tipo B) para hacer la mezcla, con lo cual nos piden dos valores.
Análisis de los datos: Ecuaciones con mezclas y aleaciones (1)
En primer lugar vamos a ver qué datos nos da el enunciado del problema:
- Precio del café tipo A = 6 €/kg
- Precio del café tipo B = 7,2 €/kg
- Cantidad total de la mezcla = 60 kg
- Precio de la mezcla = 7 €/kg
En primer lugar vamos a establecer la incógnita como la cantidad de kilos de café tipo A que empleará en la mezcla.
kg de café tipo A empleado en la mezcla = x
Si a la cantidad total de la mezcla (60 kg) le restamos la cantidad de café tipo B empleado en la mezcla (x) obtendremos la cantidad de café tipo B empleada en la mezcla:
kg de café tipo B empleado en la mezcla = 60 – x
Ahora vamos a calcula el valor total de cada tipo de café empleado en la mezcla, así com el valor de la mezcla:
Valor del café tipo A:
El valor del café tipo A empleado en la mezcla se obtiene multiplicando la cantidad de café tipo A empleado en la mezcla (x) por su precio (6 €/kg), es decir:
Valor del café tipo A = 6x €
Valor del café tipo B:
El valor del café tipo B empleado en la mezcla se obtiene multiplicando la cantidad de café tipo B empleado en la mezcla (60 – x) por su precio (7,2 €/kg), es decir:
\(7,2\cdot \left ( 60 – x \right )=7,2\cdot 60-7,2x=432-7,2x\)
Por lo tanto:
Valor del café tipo B = 432 – 7,2x €
Valor del café mezclado:
Ahora vamos a calcular el valor de la mezcla, que es la cantidad total de café empleado en la mezcla (que son 60 kg) por su valor (7 €/kg), por ello:
60 · 7= 420
Valor de la mezcla de café = 420 €
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con mezclas y aleaciones (1)
La suma del valor de cada tipo de café empleado en la mezcla, necesariamente tiene que ser igual al valor del café total empleado en la mezcla, por lo cual tenemos:
Valor del café tipo A + Valor del café tipo B = Valor de la mezcla de café
\(6 x+\left ( 432-7,2x \right )=420\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar sacamos los paréntesis:
\(6x+432-7,2x=420\)
A continuación dejamos a un lado del igual los términos con x y al otro lado del igual todo lo que no lleva x:
\(6x-7,2x=420-432\)
Hacemos los cálculos:
\(-1,2x=-12\)
Despejamos la x:
\(\large x=\frac{-12}{-1,2}=10\)
Vamos a calcular ahora la cantidad de café de cada tipo:
Kg de café tipo A empleado en la mezcla = x = 10, por lo tanto:
Hay que poner 10 kg del café tipo A en la mezcla.
kg de café tipo B empleado en la mezcla = 60 – x = 60 – 10 = 50, por lo tanto:
Hay que poner 50 kilos del café tipo B en la mezcla.
Solución del problema: Ecuaciones con mezclas y aleaciones (1)
Se necesitan 10 kg del primer tipo de café y 50 kg del segundo para hacer la mezcla.
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