PROBLEMA: Ecuaciones con ángulos (1)
Dos ángulos adyacentes son tales que uno es cuatro veces mayor que el otro. ¿Cuántos grados mide cada ángulo? (nota: Los ángulos adyacentes suman 180º)
SOLUCIÓN
Los ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y lado comunes y suman 180º. Los lados no comunes son semirrectas opuestas y no tienen ningún punto interior en común.
Análisis de los datos: Ecuaciones con ángulos (1)
Primero vamos a ver los datos que tenemos, que son los siguientes:
- Tenemos dos ángulos: α y β.
- La suma de los dos ángulos es 180º.
- El ángulo β es cuatro veces mayor que α.
Como la suma de los dos ángulos es 180º, tenemos que:
\(\alpha + \beta =180\)
Podemos despejar uno de los ángulos, por ejemplo:
\(\beta =180- \alpha\)
Planteamiento de la ecuación: Ecuaciones con ángulos (1)
El enunciado del problema nos dice que uno de los ángulos (por ejemplo β) es cuatro veces mayor que α, por lo tanto:
\(\beta =4\alpha\)
Como sabemos que \(\beta =180 – \alpha\), podemos sustituir β en la expresión anterior. Entonces tenemos que:
\(180 – \alpha =4 \alpha\)
Hemos obtenido una ecuación de primer grado que resolveremos a continuación.
En primer lugar todos los términos con α a un lado del igual y todo lo demás al otro lado del igual:
\(-\alpha-4\alpha=-180\)
Hacemos los cálculos:
\(-5\alpha=-180\)
A continuación despejamos α:
\(\large \alpha=\frac{-180}{-5}=36\)
Entonces ya tenemos el valor de uno de los ángulos:
\( \alpha=36\)
Ahora vamos a calcular el otro ángulo, para ello utilizamos una de las fórmulas donde β está en función de α. Entonces:
\(\beta =180 – \alpha\)
Por último hacemos los cálculos:
\(\beta =180 -36 \)
\(\beta =144 \)
Por lo tanto,
Solución del problema Ecuaciones con ángulos (1)
Un ángulo mide 36º y el otro mide 144º.
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