La Escuela en Casa

Clases de Matemáticas

  • MATEMÁTICAS
    • LOS NÚMEROS ENTEROS
      • CONCEPTO Y CLASES DE NÚMEROS ENTEROS
      • EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
      • REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
      • COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
      • VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
      • LOS EJES DE COORDENADAS
      • COORDENADAS DE UN PUNTO
      • LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
      • LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
      • INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
      • PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
      • LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
      • PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
      • ESCRITURA SIMPLIFICADA DE LOS NÚMEROS ENTEROS. POLINOMIOS ARITMÉTICOS.
      • DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
      • MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
      • DIVISORES DE UN NÚMERO. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
      • MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
      • MÁXIMO COMÚN DIVISOR
      • POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL
      • RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO
      • OPERACIONES CON RADICALES
    • LOS NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES)
      • FRACCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS
      • FRACCIONES EQUIVALENTES
      • AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
      • LOS NÚMEROS RACIONALES
      • LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES
      • COMPARACIÓN DE FRACCIONES
      • SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
      • PROPIEDADES DE LA SUMA DE FRACCIONES
      • MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
      • DIVISIÓN DE FRACCIONES
      • POTENCIAS DE BASE RACIONAL
      • RAÍCES DE FRACCIONES
    • LOS NÚMEROS DECIMALES
      • CONCEPTO Y CLASES DE NÚMEROS DECIMALES
      • OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
      • ESCRITURA DE DECIMALES MEDIANTE POTENCIAS DE 10
      • EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL. FRACCIÓN GENERATRIZ
    • GEOMETRÍA BÁSICA
      • RECTAS Y ÁNGULOS
      • LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
      • LOS POLÍGONOS
      • RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
      • RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
      • ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS
      • ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS
      • VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
    • PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
      • MAGNITUDES PROPORCIONALES
      • LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA
      • LA PROPORCIONALIDAD INVERSA
      • LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
      • EL TEOREMA DE THALES
      • SEMEJANZA Y ESCALAS
    • POLINOMIOS ALGEBRAICOS
      • EXPRESIONES ALGEBRAICAS
      • MONOMIOS
      • POLINOMIOS
      • SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
      • MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
      • IGUALDADES NOTABLES
      • DIVISIÓN DE POLINOMIOS
      • REGLA DE RUFFINI
      • DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS
      • RAZONES ALGEBRAICAS
    • ECUACIONES
      • ECUACIONES. CONCEPTOS BÁSICOS.
      • ECUACIONES DE PRIMER GRADO
      • ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
      • ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS
      • ECUACIONES RADICALES
    • LOS NÚMEROS REALES
      • SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO
      • INTRODUCCIÓN AL NÚMERO REAL
      • SUMA DE NÚMEROS REALES
      • MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
      • ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
      • INTERVALOS EN ℝ
      • VALORES APROXIMADOS DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES
    • FUNCIONES
      • CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES
      • FUNCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS
  • INGLÉS
    • GRAMÁTICA
      • SUSTANTIVOS
        • GÉNERO DEL SUSTANTIVO
        • PLURAL DEL SUSTANTIVO
        • SUSTANTIVOS DE ADJETIVOS
        • SUSTANTIVOS CONTABLES E INCONTABLES
      • DETERMINANTES
      • ARTÍCULOS
      • PRONOMBRES
    • VOCABULARIO
      • ALIMENTOS Y COMIDAS
        • BEBIDAS
        • CARNES Y AVES
        • COMIDAS EN GENERAL
        • ESPECIAS Y CONDIMENTOS
        • FRUTAS
        • PESCADOS Y MARISCOS
        • VERBOS CULINARIOS
        • VERDURAS
      • ANIMALES
        • ANIMALES ACUÁTICOS
        • AVES
        • INSECTOS Y REPTILES
        • MAMÍFEROS
      • EL TIEMPO
        • LA MEDICIÓN DEL TIEMPO Y EL CALENDARIO
        • PUNTOS EN EL TIEMPO
      • LA CASA
        • PARTES DE LA CASA
        • EL COMEDOR
        • EL CUARTO DE BAÑO
        • EL DORMITORIO
        • EL JARDÍN
        • EL TALLER
        • EL TRASTERO
        • LA COCINA
        • LA HABITACIÓN DEL BEBÉ
        • LA SALA DE ESTAR
      • LA CIUDAD
        • CONSTRUCCIONES Y VIVIENDAS
        • PARTES DE LA CIUDAD
        • TIENDAS Y COMERCIOS
      • LA NATURALEZA
        • EL TIEMPO ATMOSFÉRICO
        • EL UNIVERSO
        • FLORES
        • GEOGRAFÍA
        • PLANTAS Y ÁRBOLES
      • LA SALUD
        • EL CUERPO HUMANO
        • EL HOSPITAL
        • MEDICINAS Y REMEDIOS
        • PROBLEMAS DE SALUD
      • LA SOCIEDAD
        • DELITOS Y JUSTICIA
        • ESCUELA Y EDUCACIÓN
        • MILITARES Y GUERRA
        • NACIONALIDADES
        • PAÍSES
        • POLÍTICA Y GOBIERNO
        • RELIGIÓN
      • LAS COSAS
        • LAS ARMAS
        • COLORES Y PATRONES
        • ENVASES Y CANTIDADES
        • FORMAS Y TEXTURAS
        • MATERIALES Y TELAS
      • LAS PERSONAS
        • ESTADOS DE ÁNIMO
        • LA FAMILIA
        • PERSONALIDAD
        • PROFESIONES
        • LA ROPA
        • SENTIMIENTOS Y EMOCIONES
      • TIEMPO LIBRE Y DIVERSIÓN
        • CAMPAMENTO Y PESCA
        • DEPORTES
        • INSTRUMENTOS MUSICALES
        • LA PLAYA
        • PASATIEMPOS Y JUEGOS
      • TRANSPORTES
        • MEDIOS DE TRANSPORTE
        • EL AEROPUERTO
        • EL BARCO
        • EL COCHE
        • EMBARCACIONES
        • LA BICICLETA Y LA MOTOCICLETA
  • PROBLEMAS
    • Problemas con números enteros
    • Problemas con fracciones
    • Problemas con decimales
    • Problemas de proporcionalidad y semejanza
    • Problemas de geometría plana
    • Problemas con ecuaciones
    • Problemas con números reales
    • Problemas con funciones
  • MATEMÁTICAS
  • INGLÉS
  • PROBLEMAS
  • EXÁMENES
Portada » MATEMÁTICAS » PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA » SEMEJANZA Y ESCALAS

SEMEJANZA Y ESCALAS

Tabla de contenidos

  • 1 SEMEJANZA Y ESCALAS
    • 1.1 Triángulos semejantes. Razón de semejanza
    • 1.2 Semejanza de los triángulos en posición de Thales
    • 1.3 Casos de semejanza de triángulos
      • 1.3.1 Primer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
      • 1.3.2 Segundo caso: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.
      • 1.3.3 Tercer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
    • 1.4 Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes
    • 1.5 Razón de las áreas en dos triángulos semejantes
    • 1.6 Polígonos semejantes
      • 1.6.1 Construcciones de polígonos semejantes
    • 1.7 La escala como razón de semejanza
  • 2 CUESTIONARIO
  • 3 EJERCICIOS
    • 3.1 Ejercicios sobre semejanza y escalas
    • 3.2 Solución a los ejercicios
    • 3.3 Resolución de los ejercicios
  • 4 PROBLEMAS

SEMEJANZA Y ESCALAS

En esta clase vamos a ver semejanza y escalas.

Triángulos semejantes. Razón de semejanza

Se llama razón de semejanza al cociente de dos lados homólogos.

Triángulos semejantes
Triángulos semejantes

Observa los triángulos ABC y A’B’C’:

Observa que los triángulos ABC y A’B’C’:

Tienen los ángulos iguales:

\(\hat{A}=\hat{A’}\) \(\hat{B}=\hat{B’}\) \(\hat{C}=\hat{C’}\)

y también tienen los lados proporcionales:

AB = 2·A’B’;

BC = 2·B’C’

AC = 2·A’C

Por tanto:

\(\LARGE \frac{AB}{A’B’}=\frac{AC}{A’C’}= \frac{BC}{B’C’}\)=2

Los triángulos ABC y A’B’C’ se llaman triángulos semejantes. Se escribe:

Nomenclatura de triángulos semejantes
Nomenclatura de triángulos semejantes
Signo de semejanza
Signo de semejanza

Los lados AB y A’B’ se oponen a ángulos iguales y se llaman lados homólogos.

El cociente de dos lados homólogos \(\LARGE \frac{AB}{A’B’}\) se llama razón de semejanza.


Semejanza de los triángulos en posición de Thales

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

Observa los triángulos ABC y AMN, que están en posición de Thales:

Triángulos en posición de Thales
Triángulos en posición de Thales

Recuerda que dos triángulos en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales; por tanto, dos triángulos en posición de Thales son triángulos semejantes.

Dos triángulos en posición de Thales son triángulos semejantes.


Casos de semejanza de triángulos

Acabamos de ver que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos son proporcionales, es decir, cuando se verifican las seis condiciones siguientes:

Condiciones para la semejanza
Condiciones para la semejanza

Para afirmar que dos triángulos son semejantes es suficiente con conocer que se cumplen algunas de estas seis condiciones, porque entonces se cumplen todas las demás. Dichas condiciones suficientes se llaman criterios o casos de semejanza, y son los siguientes:

Primer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Segundo caso: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.

Tercer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.


Primer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’ , en los cuales  \(\hat{A}=\hat{A’}\)  y \(\hat{B}=\hat{B’}\)

Semejanza de triángulos. Primer caso
Semejanza de triángulos. Primer caso

Si colocamos el triángulo A’B’C’ sobre el triángulo ABC de modo que  \(\hat{A}\)  coincida con \(\hat{A’}\) , obtenemos el triángulo APQ, que es igual al A’B’C’.

Como  \(\hat{P}=\hat{B}\) , ya que ambos son iguales a  \(\hat{B’}\) , resulta que los segmentos PQ y BC son paralelos y los triángulos ABC y APQ están en posición de Thales.

Por tanto, el triángulo ABC es semejante al triángulo APQ, y por tanto también es semejante al triángulo A’B’C’.

Para probar que los triángulos A’B’C’ son semejantes hemos construido un triángulo APQ igual al A’B’C’, de modo que esté en relación con el ABC en posición de Thales.

En esta construcción se basa la demostración de los otros casos de igualdad.


Segundo caso: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.

Semejanza de triángulos. Segundo caso
Semejanza de triángulos. Segundo caso

Al llevar el triángulo A’B’C’ sobre el ABC, se forman dos triángulos ABC y APQ en posición de Thales.


Tercer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.

Semejanza de triángulos. Tercer caso
Semejanza de triángulos. Tercer caso

Tomemos el segmento AP = A’B’ y tracemos la paralela PQ a BC. Así se tienen dos triángulos en posición de Thales y todo se reduce a probar que los triángulos APQ y A’B’C’ son iguales.


Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes

La razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’:

Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes
Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes

Observa que sus lados son proporcionales:

\(\LARGE \frac{8}{4}=\frac{6}{3}= \frac{10}{5}=2\)

Por eso los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza es \(\LARGE \frac{AC}{A’C’}=\frac{8}{4}=2\)

Vamos ahora a calcular la razón de los perímetros de los triángulos ABC y A’B’C’:

P = perímetro del triángulo ABC → (8 + 6 + 10) cm = 24 cm

P’ = perímetro del triángulo A’B’C’ → (4 + 3 + 5) cm = 12 cm

La razón de los perímetros es \(\LARGE \frac{P}{P’}=\frac{24}{12}=2\), que coincide con la razón de semejanza.

En general, si la razón de semejanza es r, entonces:

Razón de los perímetros de dos triángulos semejantes
Razón de los perímetros de dos triángulos semejantes

Razón de las áreas en dos triángulos semejantes

La razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Consideremos los triángulos rectángulos semejantes ABC y A’B’C’:

Razón de las áreas en dos triángulos semejantes
Razón de las áreas en dos triángulos semejantes

La razón de semejanza es \(\LARGE \frac{8}{4}=2\)

Vamos a calcular sus áreas:

S = área del triángulo ABC = \(\LARGE \frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6 cm\cdot 8cm}{2}=24\)

S’ = área del triángulo A’B’C’ = \(\LARGE \frac{A’B’\cdot A’C’}{2}=\frac{3 cm\cdot 4cm}{2}=6\)

La razón de las áreas es:

\(\LARGE \frac{S}{S’}=\frac{24}{6}= 4= 2^{2}\)

Observa que la razón de las áreas (4) es igual al cuadrado de la semejanza (2).

En general, si la razón de semejanza es r, la razón de las áreas es:

Razón de las áreas de dos polígonos semejantes

Polígonos semejantes

Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales.

Polígonos semejantes
Polígonos semejantes

Dos polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ son semejantes si tienen:

Los ángulos iguales:

Polígonos semejantes. Condición 1
Polígonos semejantes. Condición 1

Los lados homólogos proporcionales:

Polígonos semejantes. Condición 2
Polígonos semejantes. Condición 2

Construcciones de polígonos semejantes

Vamos a construir un polígono semejante al polígono ABCDE con razón de semejanza \(\LARGE \frac{BC}{B’C’}=3\)

Un polígono
1. Se trazan las diagonales y se dividen en tres partes iguales dichas diagonales y los lados AB y AE.
1. Se trazan las diagonales y se dividen en tres partes iguales dichas diagonales y los lados AB y AE.
2. Se unen los puntos B’, C’, D’ y E’ como indica la figura.
2. Se unen los puntos B’, C’, D’ y E’ como indica la figura.

En los polígonos semejantes ocurre como en el triángulo rectángulo:

Que la razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a su razón de semejanza

Que la razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.


La escala como razón de semejanza

La escala es la razón de semejanza entre un dibujo y un objeto real.

Conociendo la razón de semejanza o escala con la que se construyen los planos o mapas es posible conocer las dimensiones reales a partir de las dimensiones correspondientes en los planos.

Esta figura representa el plano de un piso a escala 1:200
Esta figura representa el plano de un piso a escala 1:200

Las dimensiones del comedor en el dibujo son 3,5 cm de largo y 2 cm de ancho.

Por lo tanto, las dimensiones reales del comedor serán:

3,5 cm x 200 = 700 cm = 7 metros de largo

2 cm x 200 = 400 cm = 4 metros de ancho


CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre semejanza y escalas

Aquí tienes los ejercicios sobre semejanza y escalas.

Para ver este apartado es necesario que aceptes las cookies de marketing


Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

Para ver este apartado es necesario que aceptes las cookies de marketing


Resolución de los ejercicios

Aquí tienes la resolución de los ejercicios anteriores. Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.

Para ver este apartado es necesario que aceptes las cookies de marketing


PROBLEMAS

Haz clic en el botón de abajo para acceder a los problemas.

PROBLEMAS


APRENDE MÁS SOBRE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA…

Magnitudes proporcionales

La proporcionalidad directa

La proporcionalidad inversa

La proporcionalidad compuesta

La proporcionalidad de segmentos y el teorema de Thales

BUSCA EN EL SITIO

LECCIONES

  • LOS NÚMEROS ENTEROS
  • LOS NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES)
  • LOS NÚMEROS DECIMALES
  • GEOMETRÍA BÁSICA
  • PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
  • POLINOMIOS ALGEBRAICOS
  • ECUACIONES
  • LOS NÚMEROS REALES
  • FUNCIONES

ETIQUETAS

Circunferencia División de polinomios Ecuaciones Ecuaciones con móviles Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuación de una función Fracciones Funciones Geometría Geometría básica Geometría plana Igualdades notables Longitud de la circunferencia Multiplicación de polinomios Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Números decimales Números Enteros Operaciones con decimales Operaciones con enteros Operaciones con fracciones Operaciones con polinomios Polinomios Potencias Proporcionalidad Proporcionalidad compuesta Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Raíces Regla de tres Regla de tres directa Regla de tres simple Regla de tres simple directa Resta de fracciones Resta de polinomios Sistemas de ecuaciones Suma de fracciones Sumas y restas de números enteros Teorema de Pitágoras Triángulos Volumen del ortoedro Área del rectángulo Áreas de cuerpos geométricos Áreas de figuras planas

AJUSTES DE COOKIES

Cambiar mis preferencias sobre el uso de las cookies
  • Política de privacidad
  • Política de cookies
  • Contacto
  • Sobre Mí

© 2023 · La Escuela en Casa · Todos los derechos reservados