Tabla de contenidos
- 1 SEMEJANZA Y ESCALAS
- 1.1 Triángulos semejantes. Razón de semejanza
- 1.2 Semejanza de los triángulos en posición de Thales
- 1.3 Casos de semejanza de triángulos
- 1.4 Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes
- 1.5 Razón de las áreas en dos triángulos semejantes
- 1.6 Polígonos semejantes
- 1.7 La escala como razón de semejanza
- 2 CUESTIONARIO
- 3 EJERCICIOS
- 4 PROBLEMAS
SEMEJANZA Y ESCALAS
En esta clase vamos a ver semejanza y escalas.
Triángulos semejantes. Razón de semejanza
Se llama razón de semejanza al cociente de dos lados homólogos.
Observa los triángulos ABC y A’B’C’:
Observa que los triángulos ABC y A’B’C’:
Tienen los ángulos iguales:
\(\hat{A}=\hat{A’}\)
\(\hat{B}=\hat{B’}\)
\(\hat{C}=\hat{C’}\)
y también tienen los lados proporcionales:
AB = 2·A’B’;
BC = 2·B’C’
AC = 2·A’C
Por tanto:
\(\LARGE \frac{AB}{A’B’}=\frac{AC}{A’C’}= \frac{BC}{B’C’}\)=2
Los triángulos ABC y A’B’C’ se llaman triángulos semejantes. Se escribe:
Los lados AB y A’B’ se oponen a ángulos iguales y se llaman lados homólogos.
El cociente de dos lados homólogos \(\LARGE \frac{AB}{A’B’}\) se llama razón de semejanza.
Semejanza de los triángulos en posición de Thales
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
Observa los triángulos ABC y AMN, que están en posición de Thales:
Recuerda que dos triángulos en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales; por tanto, dos triángulos en posición de Thales son triángulos semejantes.
Dos triángulos en posición de Thales son triángulos semejantes.
Casos de semejanza de triángulos
Acabamos de ver que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos son proporcionales, es decir, cuando se verifican las seis condiciones siguientes:
Para afirmar que dos triángulos son semejantes es suficiente con conocer que se cumplen algunas de estas seis condiciones, porque entonces se cumplen todas las demás. Dichas condiciones suficientes se llaman criterios o casos de semejanza, y son los siguientes:
Primer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Segundo caso: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.
Tercer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
Primer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’ , en los cuales \(\hat{A}=\hat{A’}\) y \(\hat{B}=\hat{B’}\)
Si colocamos el triángulo A’B’C’ sobre el triángulo ABC de modo que \(\hat{A}\) coincida con \(\hat{A’}\) , obtenemos el triángulo APQ, que es igual al A’B’C’.
Como \(\hat{P}=\hat{B}\) , ya que ambos son iguales a \(\hat{B’}\) , resulta que los segmentos PQ y BC son paralelos y los triángulos ABC y APQ están en posición de Thales.
Por tanto, el triángulo ABC es semejante al triángulo APQ, y por tanto también es semejante al triángulo A’B’C’.
Para probar que los triángulos A’B’C’ son semejantes hemos construido un triángulo APQ igual al A’B’C’, de modo que esté en relación con el ABC en posición de Thales.
En esta construcción se basa la demostración de los otros casos de igualdad.
Segundo caso: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.
Al llevar el triángulo A’B’C’ sobre el ABC, se forman dos triángulos ABC y APQ en posición de Thales.
Tercer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
Tomemos el segmento AP = A’B’ y tracemos la paralela PQ a BC. Así se tienen dos triángulos en posición de Thales y todo se reduce a probar que los triángulos APQ y A’B’C’ son iguales.
Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes
La razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’:
Observa que sus lados son proporcionales:
\(\LARGE \frac{8}{4}=\frac{6}{3}= \frac{10}{5}=2\)
Por eso los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza es \(\LARGE \frac{AC}{A’C’}=\frac{8}{4}=2\)
Vamos ahora a calcular la razón de los perímetros de los triángulos ABC y A’B’C’:
P = perímetro del triángulo ABC → (8 + 6 + 10) cm = 24 cm
P’ = perímetro del triángulo A’B’C’ → (4 + 3 + 5) cm = 12 cm
La razón de los perímetros es \(\LARGE \frac{P}{P’}=\frac{24}{12}=2\), que coincide con la razón de semejanza.
En general, si la razón de semejanza es r, entonces:
Razón de las áreas en dos triángulos semejantes
La razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Consideremos los triángulos rectángulos semejantes ABC y A’B’C’:
La razón de semejanza es \(\LARGE \frac{8}{4}=2\)
Vamos a calcular sus áreas:
S = área del triángulo ABC = \(\LARGE \frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6 cm\cdot 8cm}{2}=24\)
S’ = área del triángulo A’B’C’ = \(\LARGE \frac{A’B’\cdot A’C’}{2}=\frac{3 cm\cdot 4cm}{2}=6\)
La razón de las áreas es:
\(\LARGE \frac{S}{S’}=\frac{24}{6}= 4= 2^{2}\)
Observa que la razón de las áreas (4) es igual al cuadrado de la semejanza (2).
En general, si la razón de semejanza es r, la razón de las áreas es:
Polígonos semejantes
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales.
Dos polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ son semejantes si tienen:
Los ángulos iguales:
Los lados homólogos proporcionales:
Construcciones de polígonos semejantes
Vamos a construir un polígono semejante al polígono ABCDE con razón de semejanza \(\LARGE \frac{BC}{B’C’}=3\)
En los polígonos semejantes ocurre como en el triángulo rectángulo:
Que la razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a su razón de semejanza
Que la razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
La escala como razón de semejanza
La escala es la razón de semejanza entre un dibujo y un objeto real.
Conociendo la razón de semejanza o escala con la que se construyen los planos o mapas es posible conocer las dimensiones reales a partir de las dimensiones correspondientes en los planos.
Las dimensiones del comedor en el dibujo son 3,5 cm de largo y 2 cm de ancho.
Por lo tanto, las dimensiones reales del comedor serán:
3,5 cm x 200 = 700 cm = 7 metros de largo
2 cm x 200 = 400 cm = 4 metros de ancho
CUESTIONARIO
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EJERCICIOS
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PROBLEMAS
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