Tabla de contenidos
EL TEOREMA DE THALES
En esta clase vamos a ver el teorema de Thales y la proporcionalidad de segmentos.
Razones y proporciones entre segmentos
La razón de dos segmentos es igual al cociente de sus medidas.
Fíjate en los segmentos a, b, c y d:
La razón de los segmentos a y b es \(\LARGE \frac{a}{b} = \frac{5}{4}=1,25\)
La razón de los segmentos c y d es \(\LARGE \frac{c}{d} = \frac{2,5}{2}=1,25\)
Como las razones y son iguales, se dice que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d y se escribe \(\LARGE \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
Esta proporción entre segmentos tiene las mismas propiedades que las proporciones numéricas.
Rectas secantes cortadas por paralelas equidistantes
Si varias rectas paralelas determinan en una secante segmentos iguales, entonces estas paralelas también determinan segmentos iguales sobre cualquier otra secante.
Fíjate en las rectas paralelas a, b, c y la recta secante a ellas r:
Si las rectas paralelas cortan a otra secante t, los segmentos A’B’ y B’C’ que las paralelas determinan en la secante también son iguales.
- Los triángulos A’MB’ y B’NC’ son iguales porque:
A’N = AB
B’N = BC
- Como AB = BC entonces A’M = B’N
- Como \(\hat{C’}=\hat{B’}\) por correspondientes y \(\hat{M}=\hat{N}\)por ser ángulos de lados paralelos, resulta que los dos triángulos A’MB’ y B’NC’ tienen los tres ángulos iguales y un lado igual, y por lo tanto son iguales: A’B’ = B’C’
El Teorema de Thales
Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.
Fíjate en que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t y forman varios segmentos. Observa:
CD = 2 · AB
C’D = 2 · A’B’
Con estos segmentos podemos escribir esta proporción:
\(\LARGE \frac{CD}{C’D’}=\frac{2\cdot AB}{2\cdot A’B’}=\frac{AB}{A’B’}\)
Esta proporcionalidad existe entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:
\(\LARGE \frac{AB}{A’B’}=\frac{AC}{A’C’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{CD}{C’D’}=k\)
En estas proporciones k es la constante de proporcionalidad.
Aplicaciones del teorema de Thales
El Teorema de Thales se utiliza para:
- Dividir un segmento en partes iguales
- Calcular el segmento cuarto proporcional
- Calcular el segmento tercero proporcional
- Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados
División de un segmento en partes iguales
Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales.
- Primero trazamos una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el segmento AB un ángulo menor de 180º.
- Luego elegimos un segmento u arbitrario y lo llevamos sobre la semirrecta tres veces. Llamamos P al punto que corresponde a la última división. Luego unimos el punto P con el punto B.
- Por último trazamos paralelas a PB por los puntos de división M y N, obteniéndose así los puntos M’ y N’, que dividen el segmento AB en tres partes iguales.
Como los segmentos AM, MN y NP son iguales, también lo serán los segmentos AM’, M’N’ y N’B
Segmento cuarto proporcional
Dados tres segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: \(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Observa los segmentos a, b y c:
Matemáticamente sabemos calcular el cuarto proporcional:
\(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{c}{x}\)
\(\LARGE \frac{5}{4}=\frac{2,5}{x}\)
\(5\cdot x= 4\cdot 2,5\)
\(5x=10\)
\(\LARGE x=\frac{10}{5}\)
\(x=2\)
El cuarto proporcional es 2.
Gráficamente el cuarto proporcional se determina así:
- Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como en la figura.
- Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento cuarto proporcional.
Segmento tercero proporcional
Dados los segmentos a y b, se llama tercer proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: \(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{b}{x}\)
Observa los segmentos a y b:
Matemáticamente sabemos calcular el tercero proporcional:
\(\LARGE \frac{a}{b}= \frac{b}{x}\)
\(\LARGE \frac{1}{2}= \frac{2}{x}\)
\(x =4\)
El tercero proporcional es 4 cm.
La construcción gráfica del tercero proporcional se hace como en el caso del cuarto proporcional.
División de un segmento en partes proporcionales a otros dos dados
Vamos a dividir el segmento AB en partes proporcionales a los segmentos a y b.
Si a mide 1 cm, b mide 2 cm y AB mide 6 cm, el reparto directamente proporcional, numéricamente, es el siguiente:
- \(\LARGE \frac{6}{1+2}\cdot 1= \frac{6}{3}\cdot 1=2\cdot 1=2\)
- \(\LARGE \frac{6}{1+2}\cdot 2= \frac{6}{3}\cdot 2=2\cdot 2=4\)
El segmento de 6 cm queda dividido en dos segmentos: uno de 2 cm y otro de 4 cm.
Para dividir el segmento AB gráficamente, trazamos una semirrecta con origen en el punto A (semirrecta roja) y sobre ella llevamos los segmentos a y b, uno a continuación del otro. El extremo M del segmento b se une con B y por N se traza una paralela a MB, y así el segmento AB queda dividido en los segmentos AP y PB.
Triángulos en posición de Thales
Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
Fíjate en el triángulo ABC:
Trazamos una paralela A’B’ al lado AB. Así formamos un nuevo triángulo CA’B’.
Los triángulos CAB y CA’B’ se dice que están en posición de Thales o que son triángulos de Thales.
Vamos a ver cómo dos triángulos que están en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales:
Fíjate que el ángulo C es el mismo para los dos triángulos, y que A = A’ y B = B’ por correspondientes
Los lados de dos triángulos de Thales son proporcionales.
Para ver la proporcionalidad de los lados trazamos por el punto B’ una paralela B’D al lado CA. Entonces A’B’ = AD por ser lados opuestos de un paralelogramo.
Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AB A’B’, cortadas por AC y CB, resulta la proporción a):
\(\LARGE \frac{CA}{CA’}= \frac{CB}{CB’}\)
Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AC B’D, cortadas por CB y AB, resulta:
\(\LARGE \frac{AB}{AD}= \frac{CB}{CB’}\)
Como AD = A’B’ resulta la proporción b):
\(\LARGE \frac{AB}{A’B’}= \frac{CB}{CB’}\)
De las proporciones a) y b) resulta:
\(\LARGE \frac{CA}{CA’}=\frac{CB}{CB’}=\frac{AB}{A’B’}\)
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