Tabla de contenidos
LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
En esta clase vamos a ver la proporcionalidad compuesta, las reglas de tres compuestas, el interés simple y el descuento.
Magnitud proporcional a otras varias
Una magnitud es proporcional a otras varias cuando es proporcional a cada una de ellas si permanecen fijas las restantes.
De una fábrica de lápices donde trabajan máquinas iguales se han extraído los siguientes datos:
En este caso tenemos tres magnitudes: número de máquinas, número de horas trabajadas y número de lápices.
Observamos que:
- Si mantenemos fijo el número de máquinas (6), entonces las horas trabajadas y el número de lápices son directamente proporcionales: si multiplicamos el tiempo por dos, el número de lápices también se multiplica por dos, y obtenemos la proporción:
Fijado el número de máquinas en 6 →Proporción → \(\LARGE\mathrm{\frac{2}{5}=\frac{600}{1.500}}\)
- Si mantenemos fijo el tiempo (5 horas), entonces el número de máquinas y el número de tuercas también son directamente proporcionales y se tiene la proporción:
Fijado el número de horas en 5 → Proporción → \(\LARGE\mathrm{\frac{6}{8}=\frac{1.500}{2.000}}\)
Cuando una magnitud es proporcional a otras varias se puede escribir una proporción en la que intervengan cantidades de todas las magnitudes relacionadas:
Regla de tres compuesta directa
En una fábrica de lápices 6 máquinas iguales producen en 2 horas 600 piezas. ¿Cuántos lápices producirán 9 de estas máquinas en 3 horas?
En este problema el número de piezas fabricadas es proporcional al número de máquinas y al número de horas y se dice que es un problema de regla de tres compuesta.
Para resolver este tipo de problemas tenemos dos opciones:
-El método de reducción a la unidad
-El método de las proporciones.
Método de reducción a la unidad
Averiguamos primero el número de lápices que producen todas las máquinas en una hora:
600 : 2 = 300 lápices producen las 6 máquinas en 1 hora
Luego averiguamos el número de lápices que producen una máquina en 1 hora:
300 : 6 = 50 lápices produce una máquina en 1 hora
Luego multiplicamos lo que produce una máquina en una hora por el número de máquinas que hay, que en este caso son 9:
50 x 9 = 450 lápices producen 9 máquinas en 1 hora
Por último multiplicamos lo que producen 9 máquinas en una hora por el número de horas que nos dan, que en este caso son 3 horas:
450 x 3 = 1.350 lápices producen 9 máquinas en 3 horas
Método de las proporciones
Planteamos el problema así:
Con estos datos escribimos la proporción:
\(\LARGE\mathrm{\frac{6}{9}\times \frac{2}{3}=\frac{600}{x}\Rightarrow \frac{12}{27}=\frac{600}{x}}\)
de donde \(\LARGE\mathrm{x=\frac{600\times 27}{12}=50\times 27=1.350}\)lápices.
9 máquinas en 3 horas producirán 1.350 lápices
Regla de tres compuesta directa-inversa
Para construir 4 muros iguales en 30 días hacen falta 60 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para construir 6 muros en 90 días?
Fíjate en cómo son las magnitudes en este problema:
El número de muros y el número de obreros son magnitudes directamente proporcionales.
El número de días y el número de obreros son magnitudes inversamente proporcionales.
En este caso también tenemos dos opciones para resolver el problema:
- Método de la reducción a la unidad
- Método de las proporciones
Método de la reducción a la unidad
Primero averiguamos cuántos obreros necesitamos para construir un muro en 30 días:
60 : 4 = 15 obreros necesitamos para construir un muro en 30 días
Luego calculamos cuántos obreros necesitamos para construir un muro en un día:
15 x 30 = 450 obreros necesitamos para construir un muro en un día
Luego calculamos cuántos obreros necesitamos para construir 6 muros en 1 día:
450 x 6 = 2.700 obreros necesitamos para construir 6 muros en 1 día
Por último calculamos cuántos obreros necesitamos para construir 6 muros en 90 días:
2.700 : 90 = 30 obreros necesitamos para construir 6 muros en 90 días.
Necesitamos 30 obreros para construir 6 muros en 90 días.
Método de las proporciones
Planteamos el problema:
Al escribir la proporción hay que tener cuidado de invertir la razón de los días, porque la magnitud días y la magnitud obreros son inversamente proporcionales:
\(\LARGE\mathrm{\frac{4}{6}\times \frac{90}{30}=\frac{60}{x}}\)
de donde \(\LARGE\mathrm{x=\frac{60\times 6\times 30}{4\times 90}=30}\) obreros
Se necesitarán 30 obreros
El interés simple
Capital: dinero que se deposita en un banco o que se ha prestado.
Rédito o tanto por ciento: lo que producen 100€ en 1 año
Tiempo: duración del préstamo o imposición
Interés: es la cantidad de dinero que produce un capital prestado
Margarita tenía en su cartilla de ahorros 12.000 €. El banco le paga 6 € por cada 100 € que tiene depositados. Al cabo de un año ya tenía en su cartilla 12.720 €.
El capital eran los 12.000 € que depositó en el banco al principio.
El rédito o tanto por ciento son los 6 € que el banco le da por cada 100 € de su capital (6%)
El tiempo es 1 año (el tiempo que tuvo Margarita su dinero en el banco)
El interés son los 720 € que ha producido el capital depositado
El interés es directamente proporcional a cada una de las tres magnitudes: al capital, al rédito y al tiempo.
El descuento
Cuando se realiza una compra es habitual no pagar al contado, sino que existe un documento por el cual el comprador se compromete a pagar al vendedor el importe de la compra en un determinado plazo. Si el documento lo extiende el comprador se llama pagaré y si lo extiende el vendedor se llama letra de cambio.
Si el vendedor necesita el dinero antes de que venza el plazo convenido, lleva la letra al banco, el cual no le paga el importe completo de la letra sino que le descuenta un interés simple durante el tiempo que le falta para el vencimiento. Esta cantidad con la que se queda el banco se llama descuento.
En todos los problemas de descuento intervienen 3 factores:
El capital nominal (N): Cantidad que figura en la letra
El valor efectivo (E): Cantidad que el banco paga al poseedor de la letra
El descuento (D): Cantidad que se queda el banco
La fórmula del descuento para t días es la misma que la del interés:
Javier compra una máquina por 6.000 € pero no la paga al contado sino que firma una letra de cambio en la que se compromete a pagar los 6.000 € en 90 días. El vendedor lleva la letra de cambio al banco, donde le descuentan un 18%. ¿Cuánto recibe el vendedor?
Primero calculamos el descuento (lo que se queda el banco):
\(\LARGE\mathrm{D=\frac{N\cdot r\cdot t}{36.000}=\frac{6.000\cdot 18\cdot 90}{36.000}=270}\)
Por lo tanto el vendedor recibe del banco:
E = N – D = 6000 – 270 = 5730€
VÍDEOS SOBRE REGLAS DE TRES
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