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Clases de Matemáticas

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Portada » MATEMÁTICAS » PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA » LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Tabla de contenidos

  • 1 VÍDEO SOBRE REGLAS DE TRES
  • 2 LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
    • 2.1 Magnitud proporcional a otras varias
    • 2.2 Regla de tres compuesta directa
      • 2.2.1 Método de reducción a la unidad
      • 2.2.2 Método de las proporciones
    • 2.3 Regla de tres compuesta directa-inversa
      • 2.3.1 Método de la reducción a la unidad
      • 2.3.2 Método de las proporciones
    • 2.4 El interés simple
    • 2.5 El descuento
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 PROBLEMAS

VÍDEO SOBRE REGLAS DE TRES

Aquí tienes el vídeo donde se explican las reglas de tres: directa, inversa y compuesta.

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LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

En esta clase vamos a ver la proporcionalidad compuesta, las reglas de tres compuestas, el interés simple y el descuento.

Magnitud proporcional a otras varias

Una magnitud es proporcional a otras varias cuando es proporcional a cada una de ellas si permanecen fijas las restantes.

De una fábrica de lápices donde trabajan máquinas iguales se han extraído los siguientes datos:

La proporcionalidad compuesta

En este caso tenemos tres magnitudes: número de máquinas, número de horas trabajadas y número de lápices.

Observamos que:

  1. Si mantenemos fijo el número de máquinas (6), entonces las horas trabajadas y el número de lápices son directamente proporcionales: si multiplicamos el tiempo por dos, el número de lápices también se multiplica por dos, y obtenemos la proporción:

Fijado el número de máquinas en 6 →Proporción → \(\LARGE\mathrm{\frac{2}{5}=\frac{600}{1.500}}\)

  1. Si mantenemos fijo el tiempo (5 horas), entonces el número de máquinas y el número de tuercas también son directamente proporcionales y se tiene la proporción:

Fijado el número de horas en 5 → Proporción →   \(\LARGE\mathrm{\frac{6}{8}=\frac{1.500}{2.000}}\)

Cuando una magnitud es proporcional a otras varias se puede escribir una proporción en la que intervengan cantidades de todas las magnitudes relacionadas:

La proporcionalidad compuesta
En cada una de estas proporciones sólo aparecen dos magnitudes, pero si multiplicamos las dos proporciones resulta una nueva proporción en la que intervienen las tres magnitudes

Regla de tres compuesta directa

En una fábrica de lápices 6 máquinas iguales producen en 2 horas 600 piezas. ¿Cuántos lápices producirán 9 de estas máquinas en 3  horas?

En este problema el número de piezas fabricadas es proporcional al número de máquinas y al número de horas y se dice que es un problema de regla de tres compuesta.

Para resolver este tipo de problemas tenemos dos opciones:

-El método de reducción a la unidad

-El método de las proporciones.


Método de reducción a la unidad

Averiguamos primero el número de lápices que producen todas las máquinas en una hora:

600 : 2 = 300 lápices producen las 6 máquinas en 1 hora

Luego averiguamos el número de lápices que producen una máquina en 1 hora:

300 : 6 = 50 lápices produce una máquina en 1 hora

Luego multiplicamos lo que produce una máquina en una hora por el número de máquinas que hay, que en este caso son 9:

50 x 9 = 450 lápices producen 9 máquinas en 1 hora

Por último multiplicamos lo que producen 9 máquinas en una hora por el número de horas que nos dan, que en este caso son 3 horas:

450 x 3 = 1.350 lápices producen 9 máquinas en 3 horas


Método de las proporciones

Planteamos el problema así:

La proporcionalidad compuesta
Las letras “d” las ponemos para indicar que se trata de una proporcionalidad directa entre las magnitudes (número de máquinas y número de lápices, y número de horas de trabajo y número de lápices)

Con estos datos escribimos la proporción:

\(\LARGE\mathrm{\frac{6}{9}\times \frac{2}{3}=\frac{600}{x}\Rightarrow \frac{12}{27}=\frac{600}{x}}\)

de donde \(\LARGE\mathrm{x=\frac{600\times 27}{12}=50\times 27=1.350}\)lápices.

9 máquinas en 3 horas producirán 1.350 lápices


Regla de tres compuesta directa-inversa

Para construir 4 muros iguales en 30 días hacen falta 60 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para construir 6 muros en 90 días?

Fíjate en cómo son las magnitudes en este problema:

El número de muros y el número de obreros son magnitudes directamente proporcionales.

El número de días y el número de obreros son magnitudes inversamente proporcionales.

En este caso también tenemos dos opciones para resolver el problema:

  • Método de la reducción a la unidad
  • Método de las proporciones

Método de la reducción a la unidad

Primero averiguamos cuántos obreros necesitamos para construir un muro en 30 días:

60 : 4 = 15 obreros necesitamos para construir un muro en 30 días

Luego calculamos cuántos obreros necesitamos para construir un muro en un día:

15 x 30 = 450 obreros necesitamos para construir un muro en un día

Luego calculamos cuántos obreros necesitamos para construir 6 muros en 1 día:

450 x 6 = 2.700 obreros necesitamos para construir 6 muros en 1 día

Por último calculamos cuántos obreros necesitamos para construir 6 muros en 90 días:

2.700 : 90 = 30 obreros necesitamos para construir 6 muros en 90 días.

Necesitamos 30 obreros para construir 6 muros en 90 días.


Método de las proporciones

Planteamos el problema:

Método de las proporciones

Al escribir la proporción hay que tener cuidado de invertir la razón de los días, porque la magnitud días y la magnitud obreros son inversamente proporcionales:

\(\LARGE\mathrm{\frac{4}{6}\times \frac{90}{30}=\frac{60}{x}}\)

de donde \(\LARGE\mathrm{x=\frac{60\times 6\times 30}{4\times 90}=30}\) obreros

Se necesitarán 30 obreros


El interés simple

Capital: dinero que se deposita en un banco o que se ha prestado.

Rédito o tanto por ciento: lo que producen 100€ en 1 año

Tiempo: duración del préstamo o imposición

Interés: es la cantidad de dinero que produce un capital prestado

Margarita tenía en su cartilla de ahorros 12.000 €. El banco le paga 6 € por cada 100 € que tiene depositados. Al cabo de un año ya tenía en su cartilla 12.720 €.

El capital eran los 12.000 € que depositó en el banco al principio.

El rédito o tanto por ciento son los 6 € que el banco le da por cada 100 € de su capital (6%)

El tiempo es 1 año (el tiempo que tuvo Margarita su dinero en el banco)

El interés son los 720 € que ha producido el capital depositado

El interés es directamente proporcional a cada una de las tres magnitudes: al capital, al rédito y al tiempo.

Fórmula del interés cuando el tiempo está expresado en años
Fórmula del interés cuando el tiempo está expresado en años
Fórmula del interés cuando el tiempo está expresado en días
Fórmula del interés cuando el tiempo está expresado en días

El descuento

Cuando se realiza una compra es habitual no pagar al contado, sino que existe un documento por el cual el comprador se compromete a pagar al vendedor el importe de la compra en un determinado plazo. Si el documento lo extiende el comprador se llama pagaré y si lo extiende el vendedor se llama letra de cambio.

Si el vendedor necesita el dinero antes de que venza el plazo convenido, lleva la letra al banco, el cual no le paga el importe completo de la letra sino que le descuenta un interés simple durante el tiempo que le falta para el vencimiento. Esta cantidad con la que se queda el banco se llama descuento.

En todos los problemas de descuento intervienen 3 factores:

El capital nominal (N): Cantidad que figura en la letra

El valor efectivo (E): Cantidad que el banco paga al poseedor de la letra

El descuento (D): Cantidad que se queda el banco

Valor efectivo = Capital nominal - Descuento

La fórmula del descuento para t días es la misma que la del interés:

Fórmula del descuento
Fórmula del descuento

Javier compra una máquina por 6.000 € pero no la paga al contado sino que firma una letra de cambio en la que se compromete a pagar los 6.000 € en 90 días. El vendedor lleva la letra de cambio al banco, donde le descuentan un 18%. ¿Cuánto recibe el vendedor?

Primero calculamos el descuento (lo que se queda el banco):

\(\LARGE\mathrm{D=\frac{N\cdot r\cdot t}{36.000}=\frac{6.000\cdot 18\cdot 90}{36.000}=270}\)

Por lo tanto el vendedor recibe del banco:

E = N – D = 6000 – 270 = 5730€


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PROBLEMAS

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PROBLEMAS


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