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LA PROPORCIONALIDAD INVERSA

Tabla de contenidos

  • 1 VÍDEO SOBRE LAS REGLAS DE TRES
  • 2 LA PROPORCIONALIDAD INVERSA
    • 2.1 Magnitudes inversamente proporcionales
    • 2.2 Reducción de una proporcionalidad inversa a una proporcionalidad directa
    • 2.3 Repartos inversamente proporcionales
    • 2.4 Regla de tres simple inversa
      • 2.4.1 Método de reducción a la unidad
      • 2.4.2 Haciendo las proporciones
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS
    • 4.1 Ejercicios sobre la proporcionalidad inversa
    • 4.2 Solución a los ejercicios
    • 4.3 Resolución de los ejercicios
  • 5 PROBLEMAS

VÍDEO SOBRE LAS REGLAS DE TRES

Aquí tienes el vídeo que explica cómo se hacen las reglas de tres: directas, inversas y compuestas.

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LA PROPORCIONALIDAD INVERSA

Magnitudes inversamente proporcionales

En  esta clase vamos a ver la proporcionalidad inversa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por el mismo número.

El tiempo que tarda cada vehículo en hacer el recorrido depende de su velocidad.

Designamos por v la velocidad y t el tiempo, y sabemos que \(\LARGE v = \frac{e}{t}\)

La proporcionalidad inversa

Si v = 30 km/h, entonces t = 4 horas

Si v = 40 km/h, entonces t = 3 horas

Si v = 60 km/h, entonces t = 2 horas

Si v = 120 km/h, entonces t = 1 hora

Observa que el producto de cada valor de la velocidad por su correspondiente valor en horas es siempre el mismo número (120), que es la distancia recorrida:

30 x 4 = 40 x 3 = 60 x 2 = 120 x 1 = 120

Fíjate que las magnitudes “velocidad” y “tiempo” están relacionadas y se cumple lo siguiente:

  1. Que la razón (división) de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud (velocidad) y la inversa de la segunda magnitud (tiempo) forman proporción.
La proporcionalidad inversa
Las dos razones forman una proporción
  1. Que los valores de una magnitud son directamente proporcionales a los inversos de los valores correspondientes de la otra.
La velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales
La velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales

 Esto significa que, a doble velocidad corresponde la mitad del tiempo, a triple velocidad corresponde la tercera parte del tiempo, etc.

Por todo ello decimos que las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales.


Reducción de una proporcionalidad inversa a una proporcionalidad directa

Acabamos de ver que la velocidad es inversamente proporcional al tiempo empleado para recorrer una distancia. Es decir, los números 30, 40, 60, 120 son inversamente proporcionales a los números 4, 3, 2, 1 respectivamente.

30 x 4 = 40 x 3 = 60 x 2 = 120 x 1 = 120 = constante

También acabamos de ver que las velocidades son directamente proporcionales a los inversos de los tiempos empleados para recorrer la misma distancia. Es decir, los números 30, 40, 60, 120 son directamente proporcionales a los inversos de los números números 4, 3, 2, 1 respectivamente, es decir, son directamente proporcionales a \(\LARGE \frac{1}{4} , \frac{1}{3} , \frac{1}{2} , \frac{1}{1}\)

\(\LARGE \frac{30}{\frac{1}{4}}= \frac{40}{\frac{1}{3}} = \frac{60}{\frac{1}{2}} = \frac{120}{\frac{1}{1}} =120\)

De este modo podemos reducir una proporcionalidad inversa a una proporcionalidad directa.

Reducción a proporcionalidad directa
Reducción a proporcionalidad directa

Repartos inversamente proporcionales

Repartir 420 euros entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 3, 5 y 6 años.

Para hacer este reparto inverso se reparten 420 euros en partes directamente proporcionales a los inversos de 3, 5 y 6

Reparto inversamente proporcional a 3, 5 y 6 → Reparto directamente proporcional a \(\LARGE \frac{1}{3} , \frac{1}{5}\, y \, \frac{1}{6}\)

Para hacer este reparto haremos lo siguiente:

  1. Hallamos las fracciones equivalentes a las dadas (\(\LARGE \frac{1}{3} , \frac{1}{5}\, y \, \frac{1}{6}\)) pero que tengan el mismo denominador:

m.c.m. (3, 5, 6) = 30

\(\LARGE \frac{1}{3}=\frac{10}{30}\) \(\LARGE \frac{1}{5}=\frac{6}{30}\) \(\LARGE \frac{1}{6}=\frac{5}{30}\)
  1. Se reparten 420 en partes directamente proporcionales a los numeradores 10, 6 y 5:
\(\LARGE \frac{420}{10+6+5}\times 10=\frac{420}{21}\times 10=200\)
\(\LARGE \frac{420}{10+6+5}\times 6=\frac{420}{21}\times 6=120\)
\(\LARGE \frac{420}{10+6+5}\times 5=\frac{420}{21}\times 5=100\)

Por lo tanto:

Al niño de tres años le corresponden 200 euros

Al niño de cinco años le corresponden 120 euros

Al niño de seis años le corresponden 100 euros


Regla de tres simple inversa

Un tractor que lleva una velocidad de 12 km/h tarda 4 horas en hacer un recorrido. ¿Cuánto tiempo tardaría si la velocidad si la velocidad fuera de 16 km?

Podemos resolver este problema de dos formas:

Método de reducción a la unidad

Cuando utilicemos este método, debemos recordar que, al ser magnitudes inversamente proporcionales, si el valor de una magnitud de multiplica por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud debe dividirse por dicho número.

Método de reducción a la unidad
Método de reducción a la unidad

Haciendo las proporciones

Si a 12 km/h tarda → 4 horas

a 16 km/h  tardará → x horas

Tenemos en cuenta que son magnitudes inversamente proporcionales, por lo cual utilizamos la inversa de una de las razones para hacer la proporción:

\(\LARGE \frac{12}{16} = \frac{x}{4}\)

\(\LARGE x=\frac{12\cdot 4}{16}=3\) horas

El tractor tardará 3 horas en hacer el recorrido a 16 km/h.


CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre la proporcionalidad inversa

Aquí tienes los ejercicios sobre la proporcionalidad inversa.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.


PROBLEMAS

Haz clic en el botón de abajo para acceder a los problemas.

PROBLEMAS


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