Tabla de contenidos
LA PROPORCIONALIDAD INVERSA
Magnitudes inversamente proporcionales
En esta clase vamos a ver la proporcionalidad inversa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por el mismo número.
El tiempo que tarda cada vehículo en hacer el recorrido depende de su velocidad.
Designamos por v la velocidad y t el tiempo, y sabemos que \(\LARGE v = \frac{e}{t}\)
Si v = 30 km/h, entonces t = 4 horas
Si v = 40 km/h, entonces t = 3 horas
Si v = 60 km/h, entonces t = 2 horas
Si v = 120 km/h, entonces t = 1 hora
Observa que el producto de cada valor de la velocidad por su correspondiente valor en horas es siempre el mismo número (120), que es la distancia recorrida:
30 x 4 = 40 x 3 = 60 x 2 = 120 x 1 = 120
Fíjate que las magnitudes “velocidad” y “tiempo” están relacionadas y se cumple lo siguiente:
- Que la razón (división) de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud (velocidad) y la inversa de la segunda magnitud (tiempo) forman proporción.
- Que los valores de una magnitud son directamente proporcionales a los inversos de los valores correspondientes de la otra.
Esto significa que, a doble velocidad corresponde la mitad del tiempo, a triple velocidad corresponde la tercera parte del tiempo, etc.
Por todo ello decimos que las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales.
Reducción de una proporcionalidad inversa a una proporcionalidad directa
Acabamos de ver que la velocidad es inversamente proporcional al tiempo empleado para recorrer una distancia. Es decir, los números 30, 40, 60, 120 son inversamente proporcionales a los números 4, 3, 2, 1 respectivamente.
30 x 4 = 40 x 3 = 60 x 2 = 120 x 1 = 120 = constante
También acabamos de ver que las velocidades son directamente proporcionales a los inversos de los tiempos empleados para recorrer la misma distancia. Es decir, los números 30, 40, 60, 120 son directamente proporcionales a los inversos de los números números 4, 3, 2, 1 respectivamente, es decir, son directamente proporcionales a \(\LARGE \frac{1}{4} , \frac{1}{3} , \frac{1}{2} , \frac{1}{1}\)
\(\LARGE \frac{30}{\frac{1}{4}}= \frac{40}{\frac{1}{3}} = \frac{60}{\frac{1}{2}} = \frac{120}{\frac{1}{1}} =120\)
De este modo podemos reducir una proporcionalidad inversa a una proporcionalidad directa.
Repartos inversamente proporcionales
Repartir 420 euros entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 3, 5 y 6 años.
Para hacer este reparto inverso se reparten 420 euros en partes directamente proporcionales a los inversos de 3, 5 y 6
Reparto inversamente proporcional a 3, 5 y 6 → Reparto directamente proporcional a \(\LARGE \frac{1}{3} , \frac{1}{5}\, y \, \frac{1}{6}\)
Para hacer este reparto haremos lo siguiente:
- Hallamos las fracciones equivalentes a las dadas (\(\LARGE \frac{1}{3} , \frac{1}{5}\, y \, \frac{1}{6}\)) pero que tengan el mismo denominador:
m.c.m. (3, 5, 6) = 30
\(\LARGE \frac{1}{3}=\frac{10}{30}\)
\(\LARGE \frac{1}{5}=\frac{6}{30}\)
\(\LARGE \frac{1}{6}=\frac{5}{30}\)
- Se reparten 420 en partes directamente proporcionales a los numeradores 10, 6 y 5:
\(\LARGE \frac{420}{10+6+5}\times 10=\frac{420}{21}\times 10=200\)
\(\LARGE \frac{420}{10+6+5}\times 6=\frac{420}{21}\times 6=120\)
\(\LARGE \frac{420}{10+6+5}\times 5=\frac{420}{21}\times 5=100\)
Por lo tanto:
Al niño de tres años le corresponden 200 euros
Al niño de cinco años le corresponden 120 euros
Al niño de seis años le corresponden 100 euros
Regla de tres simple inversa
Un tractor que lleva una velocidad de 12 km/h tarda 4 horas en hacer un recorrido. ¿Cuánto tiempo tardaría si la velocidad si la velocidad fuera de 16 km?
Podemos resolver este problema de dos formas:
Método de reducción a la unidad
Cuando utilicemos este método, debemos recordar que, al ser magnitudes inversamente proporcionales, si el valor de una magnitud de multiplica por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud debe dividirse por dicho número.
Haciendo las proporciones
Si a 12 km/h tarda → 4 horas
a 16 km/h tardará → x horas
Tenemos en cuenta que son magnitudes inversamente proporcionales, por lo cual utilizamos la inversa de una de las razones para hacer la proporción:
\(\LARGE \frac{12}{16} = \frac{x}{4}\)
\(\LARGE x=\frac{12\cdot 4}{16}=3\) horas
El tractor tardará 3 horas en hacer el recorrido a 16 km/h.
VÍDEO REGLAS DE TRES
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