En esta clase vamos a ver la proporcionalidad directa. Vamos a comenzar con un problema como ejemplo para introducirnos a la proporcionalidad directa.
5 metros e tubo valen 40 euros. ¿Cuánto cuestan 9 metros de tubo?
En este problema intervienen dos magnitudes (metros de tubo y precio) que son directamente proporcionales.
Se conocen tres cantidades, dos cantidades de una magnitud (metros de tubo) y una cantidad de la otra magnitud (precio).
Todos los problemas en los que, como el propuesto, se conocen tres cantidades de dos magnitudes proporcionales se llaman problemas de regla de tres simple directa.
Cómo se resuelven los problemas de regla de tres simple directa
Observa dos formas de resolver el problema de los metros de tubo:
Primera forma: Método de reducción a la unidad
En este caso, siempre calcularemos primero lo que vale un metro y sabiendo lo que vale un metro, luego calcularemos lo que cuestan los metros que nos piden haciendo la multiplicación.
Resolución de problemas mediante el método de reducción a la unidad
Segunda forma: Método de las proporciones
Resolución de problemas mediante el método de las proporciones
Como se trata de magnitudes proporcionales, se escribe la proporción
Un porcentaje o tanto por ciento es un número asociado a una razón, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes.
Si una rebaja por cada 100 euros de compra es 5 euros, se escribe \(\large \frac{5}{100}\), o bien 5% y se lee “cinco por ciento”
Si un recargo por cada 100 euros de importe es de 10 euros, se escribe \(\large \frac{10}{100}\), o bien 10% y se lee “diez por ciento”
Las fracciones decimales \(\large \frac{5}{100}\) = 5% y \(\large \frac{10}{100}\)= 10% de denominador 100 se llaman también porcentajes o tantos por ciento.
Problemas de descuentos
Al comprar una mesa de 45 euros os hacen un descuento del 5%.¿Cuánto tenemos que pagar?
La cantidad que hay que pagar es proporcional a lo que vale la mesa.
Fijaos que los problemas de porcentajes son un caso particular de los problemas de regla de tres en el que una de las cantidades es siempre 100.
Tenemos dos formas de resolver este problema:
Primera forma: Calculando antes la rebaja
Cálculo antes de la rebaja
Escribimos la proporción:
\(\large \frac{100}{45}= \frac{5}{x}\), de donde:
\(\large x= \frac{5\cdot 45}{100}= 2,25\)
La rebaja que nos hacen es de 2,25 euros. Por tanto hemos de pagar 45 – 2,25 = 42,75 euros
Segunda forma: Calculando directamente lo que hay que pagar
Si nos descuentan el 5 por 100 hemos de pagar 95 euros por cada 100:
Cálculo directo de lo que hay que pagar
Escribimos la proporción:
\(\large \frac{100}{45}= \frac{95}{x}\), de donde:
\(\large x= \frac{45\cdot 95}{100}= 42,75\)
Tenemos que pagar 42,75 euros
Problemas de calcular porcentajes
De las 80 canicas que hay en una bolsa, 4 son blancas. ¿Qué porcentaje de canicas son blancas?
Tres carpinteros, Juan, Alberto y Luis, se encargaron de hacer 6 mesas iguales, por lo que recibieron un total de 600 euros. Juan hizo una mesa, Alberto hizo 2 mesas y Luis 3 mesas. ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno?
Valor de 6 mesas→ 600 euros
Valor de 1 mesa → \(\large \frac{600}{6}\)= 100 euros
El valor de las mesas y el número de mesas son magnitudes directamente proporcionales porque las mesas son iguales.
Hay que repartir los 600 euros proporcionalmente al número de mesas que ha hecho cada carpintero.
Resolución de repartos de problemas directamente proporcionales
Otra vez tenemos dos formas de hacer este problema:
Primera forma: calculando primero el valor de la unidad
Segunda forma: utilizando una regla de tres
Las cantidades que corresponden a los carpinteros son proporcionales al número de mesas que hizo cada uno (1, 2 y 3)
Si a, b y c son las cantidades que corresponden a Juan, Alberto y Luis, respectivamente, se tiene:
Por una propiedad de las proporciones resulta:
A Juan le corresponden a = \(\large \frac{600}{6}\) = 100 euros
Despejando b y c resulta que:
A Alberto le corresponden b = 200 euros y a Luis c = 300 euros.
Caso particular
Si un número o cantidad hay que repartirlo en partes proporcionales a otros varios números que tengan un divisor común es conveniente dividir previamente los números por este divisor común.
Ejemplo: Repartir 360 en partes proporcionales a 3.000 y 2.000.
Como repartir un número en partes proporcionales a varias fracciones
Para repartir un número en partes proporcionales a otros varios números fraccionarios se reducen éstos a común denominador y se hace reparto en partes proporcionales a los numeradores.
Observa cómo se reparte 300 en partes proporcionales a estas tres fracciones: \(\LARGE \frac{1}{3}, \frac{1}{4}y \frac{2}{3}\)
Se reducen las fracciones a común denominador y así se obtienen las fracciones \(\LARGE \frac{4}{12}, \frac{3}{12}y \frac{8}{12}\)
Estas fracciones son proporcionales a los numeradores 4, 3 y 8 respectivamente, ya que se pasa de las fracciones a los números 4, 3 y 8 multiplicando por 12.
Reducción de fracciones a común denominador
Se reparte 3.000 en partes proporcionales a los numeradores 4, 3 y 8 y así resulta que:
A la fracción \(\LARGE \frac{2}{3}\) corresponden 1.600.
Regla de compañía
La regla de compañía tiene por objeto calcular el reparto de las ganancias o pérdidas de una sociedad o empresa entre los socios que la componen.
El reparto de los beneficios debe hacerse siempre de acuerdo con lo establecido en los Estatutos de la Sociedad, pero lo más frecuente es que el reparto se haga en forma proporcional al capital aportado por cada socio y al tiempo de inversión de cada capital.
Primer caso: Cuando los capitales aportados por cada socio son distintos, pero el tiempo de inversión es el mismo
Dos socios forman una empresa, para lo cual uno aporta 1.000 euros y el otro aporta 1.500 euros. Al cabo de un año han obtenido un beneficio de 750 euros. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Cantidad a repartir: 750
Suma de capitales: 1.000+ 1.500= 2.500
Al primer socio le corresponde: \(\LARGE \frac{750}{2.500}\times 1.000= 300\)
Al segundo socio le corresponde \(\LARGE \frac{750}{2.500}\times 1.500= 450\)
Al primer socio le corresponden 300 euros y al segundo 450 euros
Segundo caso: Cuando los capitales aportados por cada socio son iguales, pero los tiempos de inversión son distintos
Dos socios aportan cada uno 500 euros para un negocio. El primero de ellos tuvo el dinero invertido 6 meses y el segundo lo tuvo 4 meses. ¿Cómo deben repartir una ganancia de 1.500 euros?
Cantidad a repartir: 1.500 euros
Suma de tiempos: 6 + 4 = 10 meses
Al primer socio le corresponde: \(\LARGE \frac{1.500}{10}\times 6= 900\)
Al segundo socio le corresponde: \(\LARGE \frac{1.500}{10}\times 4= 600\)
Al primer socio le corresponden 900 € y al segundo 600 €
Tercer caso: Cuando los capitales aportados por cada socio son distintos y los tiempos de inversión son también distintos
Julia inicia un negocio con 2.000 euros. Ocho meses después se le une Sonia, que aporta a la empresa 3.000. Al final del primer año obtienen una ganancia de 1.500 euros. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Capitales y tiempos
Capital a repartir → 1.500 euros
Hay que repartir 1.500 euros en partes proporcionales a 24.000 y 12.000 euros o, simplificando, en partes proporcionales a 24 y 12
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