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Portada » MATEMÁTICAS » PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA » MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Tabla de contenidos

  • 1 MAGNITUDES PROPORCIONALES
    • 1.1 Razones
    • 1.2 Proporciones
    • 1.3 Series de razones iguales
    • 1.4 Propiedades de las proporciones
      • 1.4.1 Primera propiedad
      • 1.4.2 Segunda propiedad
    • 1.5 Proporción continua
    • 1.6 Cantidades de magnitud
    • 1.7 Medida de una cantidad
      • 1.7.1 Primer caso: cuando la cantidad a medir es un múltiplo de la unidad
      • 1.7.2 Segundo caso: Cuando la cantidad a medir no es múltiplo de la unidad, pero sí de algún divisor de la unidad
    • 1.8 Razón de dos cantidades homogéneas
    • 1.9 Magnitudes directamente proporcionales
    • 1.10 Observación importante
  • 2 CUESTIONARIO
  • 3 EJERCICIOS
    • 3.1 Ejercicios sobre las magnitudes proporcionales
    • 3.2 Solución a los ejercicios
    • 3.3 Resolución de los ejercicios
  • 4 PROBLEMAS

MAGNITUDES PROPORCIONALES

En esta clase vamos a ver las magnitudes proporcionales, y para ello vamos a ver algunos conceptos fundamentales para entender lo que son las magnitudes proporcionales.


Razones

Se llama razón de dos números al cociente indicado de dichos números.

Por ejemplo: \(\LARGE \frac{3}{5}, \frac{0,3}{2},\frac{8}{2,5},\frac{9}{0,2}\), etc…

No hay que confundir razón con fracción.

Si \(\LARGE \frac{a}{b}\) es una fracción, entonces a y b son números enteros con b ≠ 0, mientras que en la razón \(\LARGE \frac{a}{b}\) los números a y b pueden ser decimales.

Los términos enteros de una razón son el antecedente y el consecuente.

El antecedente es el numerador de la razón y el consecuente es el denominador.
El antecedente es el numerador de la razón y el consecuente es el denominador.

Proporciones

Una proporción es la igualdad de dos razones.

Consideremos la aplicación lineal y = 2 · x

Si x = 4 , entonces y = 2x 4 = 8

Si x = 6, entonces y = 2 x 6 = 12

Observa que la razón formada por los originales es igual a la razón formada por las imágenes

Se dice que 4 es a 6 como 8 es a 12.

También se observa que en cada caso la razón entre una imagen y su original es constante: \(\LARGE \frac{8}{4}=\frac{12}{6}\)

La igualdad de dos razones se llama proporción.

Extremos y medios de una razón
Extremos y medios de una razón

Series de razones iguales

Consideremos la aplicación lineal y = 0,5 · x y observa la tabla en la que se han escrito cuatro originales y sus respectivas imágenes.

Series de razones iguales

Esta serie expresa la proporcionalidad que existe entre las imágenes y los originales de una aplicación lineal.

Como la razón entre las imágenes y sus originales es constante, se tiene la siguiente serie de igualdades, que se llama serie de razones iguales.

\(\LARGE \frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{4,5}{9}\)


Propiedades de las proporciones

Primera propiedad

En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Magnitudes proporcionales - Primera propiedad de las proporciones
Primera propiedad de las proporciones

En la proporción \(\LARGE \frac{4}{3}=\frac{8}{6}\)  y en la proporción \(\LARGE \frac{5}{20}=\frac{2,5}{10}\) se observa que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Magnitudes proporcionales

En general, en una proporción \(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)  se verifica \(a\cdot d=b\cdot c\)

Esta propiedad permite calcular un término desconocido en una proporción.

Calculemos el extremo x en la proporción \(\LARGE \frac{5}{7}=\frac{15}{x}\):

\( 5\cdot x=7\cdot 15\)

de donde \(\LARGE x=\frac{7\cdot 15}{5}=21\)


Segunda propiedad

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Magnitudes proporcionales - Segunda propiedad de las proporciones
Segunda propiedad de las proporciones

Consideremos la proporción \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{6}{9}\)   y formemos la razón siguiente:

\(\LARGE \frac{Suma\, de \, antecedentes}{Suma \, de\, consecuentes}=\frac{2+6}{3+9}= \frac{8}{12}\)

Se observa que esta razón forma proporción con las otras dos razones:

\(\LARGE \frac{2}{3}= \frac{8}{12};\frac{6}{9}= \frac{8}{12}\)

Lo mismo ocurre en una serie de razones iguales:

\(\LARGE \frac{1}{2}= \frac{2}{4}= \frac{3}{6}\)

En general, en una serie de razones iguales

\(\LARGE \frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}\)

se verifica que:

\(\LARGE \frac{a+c+e}{b+d+f}= \frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}\)
Magnitudes proporcionales
Fórmulas de la segunda propiedad de las proporciones

Proporción continua

Una proporción continua es una proporción que tiene iguales los dos medios.

Así la proporción \(\LARGE \frac{2}{4}= \frac{4}{8}\) es una proporción continua.

Magnitudes proporcionales
Proporción continua
Magnitudes proporcionales

Así la medida proporcional o media geométrica de 12 y 27 se calcula así:

\(\LARGE \frac{12}{x}= \frac{x}{27}\)
\( x^{2}= 12\cdot 27= 324 \Rightarrow x= \sqrt{324}= 18\)

Cantidades de magnitud

Una magnitud es un conjunto en el que se definen una igualdad, una suma y una ordenación. Los elementos de una magnitud se llaman cantidades.

Los segmentos tienen longitud, los recipientes tienen capacidad, los cuerpos tienen masa. La longitud, la capacidad y la masa son magnitudes.

Observa el siguiente cuadro, en el que se distinguen magnitudes y cantidades:

Magnitudes proporcionales
Los segmentos tienen longitud, los triángulos tienen superficie y los ángulos tienen amplitud
Magnitudes proporcionales


Medida de una cantidad

Para medir una cantidad de magnitud se elige una cantidad de la misma especie (homogénea) llamada unidad y se compara la cantidad a medir con dicha unidad. Se pueden presentar dos casos principales:

Primer caso: cuando la cantidad a medir es un múltiplo de la unidad

El segmento a contiene exactamente tres veces al segmento unidad u.

Escribimos a = 3 u

Magnitudes proporcionales
Medida de una cantidad. Primer caso

Segundo caso: Cuando la cantidad a medir no es múltiplo de la unidad, pero sí de algún divisor de la unidad

Así el segmento b contiene 1 vez el segmento u y 5 décimas partes del mismo:

a =  1,5 u

Magnitudes proporcionales
Medida de una cantidad. Segundo caso

Razón de dos cantidades homogéneas

Razón de dos cantidades homogéneas es el número que expresa la medida de la primera cuando se toma la segunda como unidad.

La razón de dos cantidades homogéneas es independiente de la unidad elegida.

  1. María lleva el segmento CD dos veces sobre el segmento AB.
Magnitudes proporcionales
La razón entre los segmentos CD y AB es un medio: \(\large \frac{CD}{AB}= \frac{1}{2}\)

 

  1. Si María mide los segmentos AB y CD con la unidad u obtiene los resultados siguientes:

AB = 4u

CD = 2u

Magnitudes proporcionales
La razón entre el segmento CD y el segmento AB es también un medio: \(\large \frac{CD}{AB}= \frac{4\cdot u’}{8\cdot u’}= \frac{4}{8}= \frac{1}{2}\)

 

  1. Si ahora María utiliza como unidad de medida el segmento u’ resulta:

CD = 4· u’   y   AB = 8 · u’

Magnitudes proporcionales
La razón sigue siendo un medio: \(\large \frac{CD}{AB}= \frac{1}{2}\)

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son proporcionales cuando la razón de dos cantidades cualesquiera de una de ellas  las correspondientes en la otra es una proporción.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

Observa la tabla, en la que aparecen los valores de varias cantidades de cuerda. Tenemos aquí dos magnitudes:

Magnitudes proporcionales
Magnitudes directamente proporcionales

Se observa:

  • Que la razón de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud y la razón de las correspondientes cantidades de la segunda magnitud forman proporción:

\(\LARGE \frac{2}{3}= \frac{12}{18}\)

\(\LARGE \frac{2}{4}= \frac{12}{24}\)

  • Que los valores de una magnitud son proporcionales a los valores correspondientes de la otra, es decir, se forma una serie de razones iguales:

\(\LARGE \frac{12}{2}= \frac{18}{3}= \frac{24}{4}= \frac{30}{5}= 6\)

  • Que a doble número de metros corresponde doble cantidad de euros; a triple número de metros, triple número de euros, etc.

Por cumplirse estas condiciones se dice que las magnitudes “metros de cuerda” y “precio” son directamente proporcionales.

Si designamos por x el número de metros de cuerda y por y el valor en euros se tiene la aplicación lineal y = 600 · x, que permite obtener la tabla A.


Observación importante

Para que dos magnitudes sean directamente proporcionales no basta con que al aumentar una de ellas aumente también la otra.

Por ejemplo, sea L la magnitud longitud del lado de un cuadrado y S la magnitud superficie del mismo cuadrado.

Magnitudes proporcionales
A mayor lado corresponde mayor área, pero a doble lado no corresponde doble área.

Observa que las razones  y  no forman proporción.

Por tanto, las magnitudes L (longitud) y S (superficie) no son proporcionales.


CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre las magnitudes proporcionales

Aquí tienes los ejercicios sobre las magnitudes proporcionales.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.


PROBLEMAS

Haz clic en el botón de abajo para acceder a los problemas.

PROBLEMAS


APRENDE MÁS SOBRE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA…

La  proporcionalidad directa

La proporcionalidad inversa

La proporcionalidad compuesta

La proporcionalidad de segmentos y el teorema de Thales

Semejanza y escalas

Comentarios

  1. Carolina dice

    1 abril, 2020 a las 2:35

    Me pareció muy útil gracias

    • Isabel dice

      1 abril, 2020 a las 12:12

      Muchas gracias Carolina. Me alegro que te sirva.

    • Anónimo dice

      2 abril, 2020 a las 17:35

      Muchas gracias

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