Tabla de contenidos
- 1 MAGNITUDES PROPORCIONALES
- 2 CUESTIONARIO
- 3 EJERCICIOS
- 4 PROBLEMAS
MAGNITUDES PROPORCIONALES
En esta clase vamos a ver las magnitudes proporcionales, y para ello vamos a ver algunos conceptos fundamentales para entender lo que son las magnitudes proporcionales.
Razones
Se llama razón de dos números al cociente indicado de dichos números.
Por ejemplo: \(\large \frac{3}{5}, \frac{0,3}{2},\frac{8}{2,5},\frac{9}{0,2}\), etc…
No hay que confundir razón con fracción.
Si \(\large \frac{a}{b}\) es una fracción, entonces a y b son números enteros con b ≠ 0, mientras que en la razón \(\large \frac{a}{b}\) los números a y b pueden ser decimales.
Los términos enteros de una razón son el antecedente y el consecuente.
Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.
Consideremos la aplicación lineal y = 2 · x
Si x = 4 , entonces y = 2x 4 = 8
Si x = 6, entonces y = 2 x 6 = 12
Observa que la razón formada por los originales es igual a la razón formada por las imágenes
Se dice que 4 es a 6 como 8 es a 12.
También se observa que en cada caso la razón entre una imagen y su original es constante: \(\large \frac{8}{4}=\frac{12}{6}\)
La igualdad de dos razones se llama proporción.
Series de razones iguales
Consideremos la aplicación lineal y = 0,5 · x y observa la tabla en la que se han escrito cuatro originales y sus respectivas imágenes.
Esta serie expresa la proporcionalidad que existe entre las imágenes y los originales de una aplicación lineal.
Como la razón entre las imágenes y sus originales es constante, se tiene la siguiente serie de igualdades, que se llama serie de razones iguales.
\(\large \frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{4,5}{9}\)
Propiedades de las proporciones
Primera propiedad
En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En la proporción \(\large\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\) y en la proporción \(\large \frac{5}{20}=\frac{2,5}{10}\) se observa que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En general, en una proporción \(\large \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) se verifica \(a\cdot d=b\cdot c\)
Esta propiedad permite calcular un término desconocido en una proporción.
Calculemos el extremo x en la proporción \(\large \frac{5}{7}=\frac{15}{x}\):
\(\large 5\cdot x=7\cdot 15\)
de donde \(\large x=\frac{7\cdot 15}{5}=21\)
Segunda propiedad
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
Consideremos la proporción \(\large\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\) y formemos la razón siguiente:
\(\large \frac{Suma\, de \, antecedentes}{Suma \, de\, consecuentes}=\frac{2+6}{3+9}= \frac{8}{12}\)
Se observa que esta razón forma proporción con las otras dos razones:
\(\large \frac{2}{3}= \frac{8}{12};\frac{6}{9}= \frac{8}{12}\)
Lo mismo ocurre en una serie de razones iguales:
\(\large \frac{1}{2}= \frac{2}{4}= \frac{3}{6}\)
En general, en una serie de razones iguales
\(\large \frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}\)
se verifica que:
\(\large \frac{a+c+e}{b+d+f}= \frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}\)
Proporción continua
Una proporción continua es una proporción que tiene iguales los dos medios.
Así la proporción \(\large \frac{2}{4}= \frac{4}{8}\) es una proporción continua.
Así la medida proporcional o media geométrica de 12 y 27 se calcula así:
\(\large \frac{12}{x}= \frac{x}{27}\)
\(\large x^{2}= 12\cdot 27= 324 \Rightarrow x= \sqrt{324}= 18\)
Cantidades de magnitud
Una magnitud es un conjunto en el que se definen una igualdad, una suma y una ordenación. Los elementos de una magnitud se llaman cantidades.
Los segmentos tienen longitud, los recipientes tienen capacidad, los cuerpos tienen masa. La longitud, la capacidad y la masa son magnitudes.
Observa el siguiente cuadro, en el que se distinguen magnitudes y cantidades:
Medida de una cantidad
Para medir una cantidad de magnitud se elige una cantidad de la misma especie (homogénea) llamada unidad y se compara la cantidad a medir con dicha unidad. Se pueden presentar dos casos principales:
Primer caso: cuando la cantidad a medir es un múltiplo de la unidad
El segmento a contiene exactamente tres veces al segmento unidad u.
Escribimos a = 3 u
Segundo caso: Cuando la cantidad a medir no es múltiplo de la unidad, pero sí de algún divisor de la unidad
Así el segmento b contiene 1 vez el segmento u y 5 décimas partes del mismo:
a = 1,5 u
Razón de dos cantidades homogéneas
Razón de dos cantidades homogéneas es el número que expresa la medida de la primera cuando se toma la segunda como unidad.
La razón de dos cantidades homogéneas es independiente de la unidad elegida.
- María lleva el segmento CD dos veces sobre el segmento AB.
- Si María mide los segmentos AB y CD con la unidad u obtiene los resultados siguientes:
AB = 4u
CD = 2u
- Si ahora María utiliza como unidad de medida el segmento u’ resulta:
CD = 4· u’ y AB = 8 · u’
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son proporcionales cuando la razón de dos cantidades cualesquiera de una de ellas las correspondientes en la otra es una proporción.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.
Observa la tabla, en la que aparecen los valores de varias cantidades de cuerda. Tenemos aquí dos magnitudes:
Se observa:
- Que la razón de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud y la razón de las correspondientes cantidades de la segunda magnitud forman proporción:
\(\large \frac{2}{3}= \frac{12}{18}\)
\(\large \frac{2}{4}= \frac{12}{24}\)
- Que los valores de una magnitud son proporcionales a los valores correspondientes de la otra, es decir, se forma una serie de razones iguales:
\(\large \frac{12}{2}= \frac{18}{3}= \frac{24}{4}= \frac{30}{5}= 6\)
- Que a doble número de metros corresponde doble cantidad de euros; a triple número de metros, triple número de euros, etc.
Por cumplirse estas condiciones se dice que las magnitudes “metros de cuerda” y “precio” son directamente proporcionales.
Si designamos por x el número de metros de cuerda y por y el valor en euros se tiene la aplicación lineal y = 600 · x, que permite obtener la tabla A.
Observación importante
Para que dos magnitudes sean directamente proporcionales no basta con que al aumentar una de ellas aumente también la otra.
Por ejemplo, sea L la magnitud longitud del lado de un cuadrado y S la magnitud superficie del mismo cuadrado.
Observa que las razones y no forman proporción.
Por tanto, las magnitudes L (longitud) y S (superficie) no son proporcionales.
CUESTIONARIO
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EJERCICIOS
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PROBLEMAS
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Carolina dice
Me pareció muy útil gracias
Isabel dice
Muchas gracias Carolina. Me alegro que te sirva.
Anónimo dice
Muchas gracias