DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

¿Qué es la descomposición factorial de polinomios?

La descomposición factorial de un polinomio consiste en expresar un polinomio como producto de otros polinomios de menor grado. A la descomposición factorial de polinomios también se la denomina factorización de polinomios.

Para conseguir esta factorización se pueden usar varios procedimientos, ya sea por separado o bien combinando varios de ellos.

Hay que tener en cuenta que no todos los polinomios son susceptibles de ser descompuestos en factores.

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Descomposición factorial sacando factor común

Sacar factor común en un polinomio es expresar el polinomio de forma que lo que está repetido en todos los términos del polinomio aparezca sólo una vez y multiplicando al resto del polinomio.

Para poder aplicar este método para hacer una descomposición factorial, todos los monomios del polinomio tienen que tener un mismo factor común.

En todos los casos en los que extraemos factor común es muy interesante realizar la multiplicación para ver si nos da lo que teníamos al principio, y asegurarnos así de que no nos hemos equivocado.

Sacar factor común es muy conveniente cuando nos encontremos con fracciones algebraicas y queramos simplificarlas.

Ejemplo:

\(\large p(x) = 25x^4 – 30x^3 + 5x^2 = 5x^2 \cdot (5x^2 – 6x + 1)\)

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Descomposición factorial de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado:

Ejemplo:

\(\large x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\)

Ejemplo:

\(\large x^2 – 2x + 1 = (x-1)^2\)

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Descomposición factorial de una diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por una diferencia.

Ejemplo:

\(\large x^2 – 4 = x^2 – 2^2 = (x + 2) \cdot (x – 2)\)

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Descomposición factorial de un trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores un trinomio de segundo grado, igualamos el polinomio a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante.

Para resolver esta ecuación aplicamos la siguiente fórmula:

donde a es el coeficiente del monomio de segundo grado, b es el coeficiente del monomio de primer grado y c es el término independiente.

Estas ecuaciones pueden tener ninguna, una o dos soluciones (las soluciones de una ecuación de segundo grado también reciben el nombre de raíces). A estas soluciones o raíces las vamos a denotar como x₁ y x₂.

Una vez que tengamos las soluciones de la ecuación (x₁ y x₂), ya podemos descomponer en factores el polinomio:

Ejemplo:

\(\large p(x) = 3x^2 – x – 2\)

\(\large 3x^2 – x – 2 = 0\)

Aplicamos la fórmula

\(\large x=-b\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}} = 1\pm \sqrt{\frac{(-1)^2-4\cdot 3\cdot (-2)}{2\cdot 3}} = 1\pm \sqrt{\frac{1+24}{6}} = 1\pm \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{1\pm 5}{6}\)

Entonces:

\(\large x_1 = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

\(\large x_2 = \frac{1-5}{6} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}\)

Por lo tanto:

\(\large p(x) = 3 \cdot (x – 1) \cdot (x + 2/3)\)

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Descomposición factorial aplicando la regla de Ruffini y el teorema del Resto

La regla de Ruffini es una herramienta para realizar divisiones de polinomios cuando el divisor es un polinomio de primer grado, pero también lo podemos utilizar para factorizar polinomios con raíces (soluciones) enteras. (La raíz o solución de un polinomio es la solución obtenida de igualar el polinomio a cero)

Teorema del Resto: dado un polinomio p(x), su valor numérico para x=a vale lo mismo que el resto de la división de p(x) entre x – a, es decir:

p(a) = R

Si el resto es igual a cero entonces el divisor es factor del dividendo y es en esto en lo que nosotros nos basamos para poder factorizar polinomios.

Entonces, para factorizar por este método:

1. Buscamos los divisores del término independiente (tanto de signo positivo como negativo)

2. Aplicamos el teorema del resto, así sabremos para qué valores la división es exacta

3. Dividimos por Ruffini

Ejemplo:

\(\large p(x) = 2x^4 + x^3 – 8x^2 – x + 6\)

1. Buscamos los divisores del término independiente:

D(6) = ±1, ±2, ±3, ±6

2. Miramos para cuáles de estos valores la división es exacta (Estamos aplicando el teorema del Resto):

\(\large p(1) = 2 \cdot 1^4 + 1^3 – 8 \cdot 1^2 – 1 + 6 = 2 + 1 – 8 – 1 + 6 = 0\)

3. Dividimos por Ruffini:

4. Por ser la división exacta, D = d · c

\(\large (x – 1) \cdot (2x^3 + 3x^2- 5x- 6)\)

5. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar con 1 porque el primer factor podría estar elevado a más uno.

\(\large p(1) = 2\cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 – 5 \cdot 1 – 6 \neq 0\)

\(\large p(-1) = 2\cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 – 5 \cdot (-1) – 6 = – 2 + 3 + 5 – 6 = 0\)

\(\large p(x) = (x – 1) \cdot (x + 1) \cdot (2x^2 + x – 6)\)

6. Continuamos con el tercer factor:

El tercer factor se podría descomponer igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado, pero vamos a continuar descomponiendo utilizando Ruffini.

Seguimos probando con -1:

\(\large p(-1) = 2(-1)^2 + (-1) – 6 = 2 – 1 + 6 \neq 0\)

\(\large p(2) = 2 \cdot 2^2 + 2 – 6 = 8 + 2 – 6 \neq 0\)

\(\large p(-2) = 2(-2)^2 + (-2) – 6 = 8 – 2 + 6 = 0\)

Entonces: \(\large p(x) = (x – 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (2x – 3)\)

Sacamos factor común 2 en el último factor:

\(\large 2x – 3 = 2 \cdot (x – \frac{3}{2})\)

Por tanto:

\(\large p(x) = 2 (x – 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x – 3/2)\)

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