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Portada » MATEMÁTICAS » POLINOMIOS ALGEBRAICOS » DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

Tabla de contenidos

  • 1 VÍDEOS DE LA CLASE
  • 2 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS
    • 2.1 ¿Qué es la descomposición factorial de polinomios?
      • 2.1.1 Descomposición factorial sacando factor común
      • 2.1.2 Descomposición factorial de un trinomio cuadrado perfecto
      • 2.1.3 Descomposición factorial de una diferencia de cuadrados
      • 2.1.4 Descomposición factorial de un trinomio de segundo grado
      • 2.1.5 Descomposición factorial aplicando la regla de Ruffini y el teorema del Resto
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS
    • 4.1 Ejercicios sobre la descomposición factorial de polinomios
    • 4.2 Solución a los ejercicios
    • 4.3 Resolución de los ejercicios

VÍDEOS DE LA CLASE

Símbolo de una lista de reproducción de Youtube Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explica la teoría sobre la descomposición factorial de polinomios.

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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

¿Qué es la descomposición factorial de polinomios?

La descomposición factorial de un polinomio consiste en expresar un polinomio como producto de otros polinomios de menor grado. A la descomposición factorial de polinomios también se la denomina factorización de polinomios.

Para conseguir esta factorización se pueden usar varios procedimientos, ya sea por separado o bien combinando varios de ellos.

Hay que tener en cuenta que no todos los polinomios son susceptibles de ser descompuestos en factores.


Descomposición factorial sacando factor común

Sacar factor común en un polinomio es expresar el polinomio de forma que lo que está repetido en todos los términos del polinomio aparezca sólo una vez y multiplicando al resto del polinomio.

Para poder aplicar este método para hacer una descomposición factorial, todos los monomios del polinomio tienen que tener un mismo factor común.

En todos los casos en los que extraemos factor común es muy interesante realizar la multiplicación para ver si nos da lo que teníamos al principio, y asegurarnos así de que no nos hemos equivocado.

Sacar factor común es muy conveniente cuando nos encontremos con fracciones algebraicas y queramos simplificarlas.

Ejemplo:

\(\large p(x) = 25x^4 – 30x^3 + 5x^2 = 5x^2 \cdot (5x^2 – 6x + 1)\)

Descomposición factorial de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado:

Trinomios cuadrados perfectos
Trinomios cuadrados perfectos

Ejemplo:

\(\large x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\)

Ejemplo:

\(\large x^2 – 2x + 1 = (x-1)^2\)

Descomposición factorial de una diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por una diferencia.

Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados

Ejemplo:

\(\large x^2 – 4 = x^2 – 2^2 = (x + 2) \cdot (x – 2)\)

Descomposición factorial de un trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores un trinomio de segundo grado, igualamos el polinomio a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante.

Descomposición factorial de polinomios
Ecuación de segundo grado

Para resolver esta ecuación aplicamos la siguiente fórmula:

Descomposición factorial de polinomios
Fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado

donde a es el coeficiente del monomio de segundo grado, b es el coeficiente del monomio de primer grado y c es el término independiente.

Estas ecuaciones pueden tener ninguna, una o dos soluciones (las soluciones de una ecuación de segundo grado también reciben el nombre de raíces). A estas soluciones o raíces las vamos a denotar como x1 y x2.

Una vez que tengamos las soluciones de la ecuación (x1 y x2), ya podemos descomponer en factores el polinomio:

Descomposición factorial de polinomios

Ejemplo:

\(\large p(x) = 3x^2 – x – 2\)
\(\large 3x^2 – x – 2 = 0\)

Aplicamos la fórmula

\(\large x=-b\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}} = 1\pm \sqrt{\frac{(-1)^2-4\cdot 3\cdot (-2)}{2\cdot 3}} = 1\pm \sqrt{\frac{1+24}{6}} = 1\pm \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{1\pm 5}{6}\)

Entonces:

\(\large x_1 = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
\(\large x_2 = \frac{1-5}{6} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}\)

Por lo tanto:

\(\large p(x) = 3 \cdot (x – 1) \cdot (x + 2/3)\)

Descomposición factorial aplicando la regla de Ruffini y el teorema del Resto

La regla de Ruffini es una herramienta para realizar divisiones de polinomios cuando el divisor es un polinomio de primer grado, pero también lo podemos utilizar para factorizar polinomios con raíces (soluciones) enteras. (La raíz o solución de un polinomio es la solución obtenida de igualar el polinomio a cero)

Teorema del Resto: dado un polinomio p(x), su valor numérico para x=a vale lo mismo que el resto de la división de p(x) entre x – a, es decir:

p(a) = R

Si el resto es igual a cero entonces el divisor es factor del dividendo y es en esto en lo que nosotros nos basamos para poder factorizar polinomios.

Entonces, para factorizar por este método:

1. Buscamos los divisores del término independiente (tanto de signo positivo como negativo)

2. Aplicamos el teorema del resto, así sabremos para qué valores la división es exacta

3. Dividimos por Ruffini

Ejemplo:

\(\large p(x) = 2x^4 + x^3 – 8x^2 – x + 6\)

1. Buscamos los divisores del término independiente:

D(6) = ±1, ±2, ±3, ±6

2. Miramos para cuáles de estos valores la división es exacta (Estamos aplicando el teorema del Resto):

\(\large p(1) = 2 \cdot 1^4 + 1^3 – 8 \cdot 1^2 – 1 + 6 = 2 + 1 – 8 – 1 + 6 = 0\)

3. Dividimos por Ruffini:

06-ruffini-1-optimizado

4. Por ser la división exacta, D = d · c

\(\large (x – 1) \cdot (2x^3 + 3x^2- 5x- 6)\)

5. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar con 1 porque el primer factor podría estar elevado a más uno.

\(\large p(1) = 2\cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 – 5 \cdot 1 – 6 \neq 0\)
\(\large p(-1) = 2\cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 – 5 \cdot (-1) – 6 = – 2 + 3 + 5 – 6 = 0\)
07-ruffini-2-optimizado

\(\large p(x) = (x – 1) \cdot (x + 1) \cdot (2x^2 + x – 6)\)

6. Continuamos con el tercer factor:

El tercer factor se podría descomponer igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado, pero vamos a continuar descomponiendo utilizando Ruffini.

Seguimos probando con -1:

\(\large p(-1) = 2(-1)^2 + (-1) – 6 = 2 – 1 + 6 \neq 0\)
\(\large p(2) = 2 \cdot 2^2 + 2 – 6 = 8 + 2 – 6 \neq 0\)
\(\large p(-2) = 2(-2)^2 + (-2) – 6 = 8 – 2 + 6 = 0\)
08-ruffini-3-optimizado

Entonces: \(\large p(x) = (x – 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (2x – 3)\)

Sacamos factor común 2 en el último factor:

\(\large 2x – 3 = 2 \cdot (x – \frac{3}{2})\)

Por tanto:

\(\large p(x) = 2 (x – 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x – 3/2)\)

CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre la descomposición factorial de polinomios

Aquí tienes los ejercicios sobre la descomposición factorial de polinomios.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

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APRENDE MÁS SOBRE LOS POLINOMIOS ALGEBRAICOS…

Expresiones algebraicas

Monomios

Polinomios

Suma y resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

Igualdades notables

División de polinomios

Regla de Ruffini

Razones algebraicas

Comentarios

  1. luz merly pomar hoyos dice

    1 octubre, 2017 a las 23:05

    quiero molestarlos haber si me ayudan a factorizar el polinomio y graficar .
    x al cubo ,si x m mayor 1
    x al cuadrado -1 si x menor igual 1

Trackbacks

  1. Como dominar en trinomio cuadrado perfecto. – Reglas para sobrevivir a las matematicas dice:
    11 mayo, 2018 a las 19:43

    […] Escuela en casa. (2013). DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS. 11/05/2018, de Mate Sitio web: https://laescuelaencasa.com/matematicas-2/polinomios/clase-9-descomposicion-factorial-de-polinomios/ […]

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