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Portada » MATEMÁTICAS » POLINOMIOS ALGEBRAICOS » REGLA DE RUFFINI

REGLA DE RUFFINI

Tabla de contenidos

  • 1 VÍDEO DE LA CLASE
  • 2 REGLA DE RUFFINI
    • 2.1 División de un polinomio por el binomio x – a
    • 2.2 Relación entre los coeficientes
    • 2.3 Regla de Ruffini
      • 2.3.1 Relaciones en la regla de Ruffini
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS
    • 4.1 Ejercicios sobre la Regla de Ruffini
    • 4.2 Solución a los ejercicios
    • 4.3 Resolución de los ejercicios

VÍDEO DE LA CLASE

Aquí tienes el vídeo de la clase sobre la regla de Ruffini.

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REGLA DE RUFFINI

División de un polinomio por el binomio x – a

En esta clase vamos a ver la regla de Ruffini. Vamos a hacer la división del polinomio D(x) por el binomio de primer grado d(x):

\(\large D(x) = 6x^3 + 5x^2 – 3x + 4\)
\(\large d(x) = x – 2\)

Para hacer esta división se procede así:

1. Se divide el primer monomio del dividendo (\(\large 6x^{3}\)) por el primer monomio del divisor (x):

\(\large 6x^3 \div x = 6x^2\)

Después se multiplica \(\large 6x^{2}\) por \(\large x – 2\) y el producto se resta del dividendo:

División de un polinomio entre un binomio

2. Se baja el término siguiente (\(\large -3x\)) y se divide, como en el apartado 1, el primer monomio (\(\large -3x\)) por el primer monomio del divisor (\(\large x\)):

\(\large 17x^2 \div x = 17x\)

Se multiplica \(\large 17x\) por \(\large 17x\) y el producto se resta del dividendo

División de un polinomio entre un binomio
División de un polinomio entre un binomio

3. Se baja el término 4 y se divide, como en el apartado 1, 31x entre x:

\(\large 31x \div x = 31\)

Se multiplica 31 por x – 2 y el producto se resta del dividendo.

Regla de Ruffini
División de un polinomio entre un binomio

Así se obtiene el cociente \(\large c(x) = 6x^{2} + 17x + 31\) y el resto \(\large R(x)=66\)

Por otra parte, como el grado del resto ha de ser menor que el grado del divisor, el resto es de grado cero, es decir, el resto es una constante.


Relación entre los coeficientes

Los coeficientes del cociente (6, 17 y 31) están relacionados con los coeficientes del dividendo y con el término independiente (2) del binomio (x – 2). Estas relaciones permitirán calcular los coeficientes del cociente sin hacer la división

a) El primer coeficiente (6) es igual al primer coeficiente del dividendo (6):
6=6

b) El segundo coeficiente del cociente (17) se obtiene multiplicando el primer coeficiente del cociente (6) por 2 (de x – 2) y sumándole el segundo coeficiente del dividendo:
17 = 6 x 2 + 5

c) El tercer coeficiente del cociente (31) se obtiene multiplicando el segundo coeficiente (17) por 2 y sumándole el tercer coeficiente del dividendo (-3):
31 = 17 x 2 + (-3)

En general, cada coeficiente del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el término independiente del divisor cambiado de signo y sumándole el correspondiente coeficiente del polinomio dividendo.


Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a.

La regla de Ruffini también se utiliza para transformar un polinomio en un producto de factores, pero eso lo veremos en la siguiente clase.

Considera esta división:

Regla de Ruffini

Llamemos c(x) al cociente c(x) = Ax² + B’x + C’, y llamaremos R al resto.

Se puede probar que entre los coeficientes del cociente y del dividendo se verifican las siguientes relaciones:


Relaciones en la regla de Ruffini

A’ = A ⇒ El primer coeficiente del cociente A es igual al primer coeficiente del dividendo A

B’ = Aa + B ⇒ El segundo coeficiente del cociente B’ se obtiene mediante la relación B’ = Aa + B

C’ = B’a + C ⇒ El tercer coeficiente del cociente C’ se obtiene mediante la relación C’ = B’a + C

R = C’a + D ⇒ El resto R se obtiene mediante la relación R = C’a + D

Estas relaciones constituyen la regla de Ruffini

Ejemplo:

Vamos a hacer la siguiente división por Ruffini:

\(\large (6x^3 – 3x + 4) \div (x – 2)\)

1. Se ordena en forma decreciente el dividendo y se colocan ordenados sus coeficientes. Si en el polinomio dividendo faltan términos, como en este caso que es incompleto, se ponen ceros en los lugares de los términos que faltan. Debajo, y desplazado a la izquierda, se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo (a = 2). El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; por eso el número 6 se baja simplemente.

Regla de Ruffini

2. El segundo coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema:

\(\large 2 \cdot 6 = 12\)

\(\large 0 + 12 = 12\)

Regla de Ruffini

3. El tercer coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema:

\(\large 2 \cdot 12 = 24\)

\(\large -3 + 24 = 21\)

Regla de Ruffini

4. El resto se obtiene como se indica en el esquema:

\(\large 21 \cdot 2 + 4 = 46\)

Regla de Ruffini

Como el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo, resulta que el cociente es el polinomio:

\(\large c(x) = 6x^2 + 12x + 21\)

y el resto R = 46


CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay después de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre la Regla de Ruffini

Aquí tienes los ejercicios sobre la Regla de Ruffini.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Símbolo de una lista de reproducción de Youtube Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explican los ejercicios de esta clase. 

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APRENDE MÁS SOBRE LOS POLINOMIOS ALGEBRAICOS…

Expresiones algebraicas

Monomios

Polinomios

Suma y resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

Igualdades notables

División de polinomios

Descomposición factorial de polinomios

Razones algebraicas

Comentarios

  1. sergio dice

    1 noviembre, 2017 a las 21:08

    muy bueno gracias

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