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REGLA DE RUFFINI
División de un polinomio por el binomio x – a
En esta clase vamos a ver la regla de Ruffini. Vamos a hacer la división del polinomio D(x) por el binomio de primer grado d(x):
\(\large D(x) = 6x^3 + 5x^2 – 3x + 4\) \(\large d(x) = x – 2\)Para hacer esta división se procede así:
1. Se divide el primer monomio del dividendo (\(\large 6x^{3}\)) por el primer monomio del divisor (x):
\(\large 6x^3 \div x = 6x^2\)
Después se multiplica \(\large 6x^{2}\) por \(\large x – 2\) y el producto se resta del dividendo:
2. Se baja el término siguiente (\(\large -3x\)) y se divide, como en el apartado 1, el primer monomio (\(\large -3x\)) por el primer monomio del divisor (\(\large x\)):
\(\large 17x^2 \div x = 17x\)
Se multiplica \(\large 17x\) por \(\large 17x\) y el producto se resta del dividendo
3. Se baja el término 4 y se divide, como en el apartado 1, 31x entre x:
\(\large 31x \div x = 31\)
Se multiplica 31 por x – 2 y el producto se resta del dividendo.
Así se obtiene el cociente \(\large c(x) = 6x^{2} + 17x + 31\) y el resto \(\large R(x)=66\)
Por otra parte, como el grado del resto ha de ser menor que el grado del divisor, el resto es de grado cero, es decir, el resto es una constante.
Relación entre los coeficientes
Los coeficientes del cociente (6, 17 y 31) están relacionados con los coeficientes del dividendo y con el término independiente (2) del binomio (x – 2). Estas relaciones permitirán calcular los coeficientes del cociente sin hacer la división
a) El primer coeficiente (6) es igual al primer coeficiente del dividendo (6):
6=6
b) El segundo coeficiente del cociente (17) se obtiene multiplicando el primer coeficiente del cociente (6) por 2 (de x – 2) y sumándole el segundo coeficiente del dividendo:
17 = 6 x 2 + 5
c) El tercer coeficiente del cociente (31) se obtiene multiplicando el segundo coeficiente (17) por 2 y sumándole el tercer coeficiente del dividendo (-3):
31 = 17 x 2 + (-3)
En general, cada coeficiente del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el término independiente del divisor cambiado de signo y sumándole el correspondiente coeficiente del polinomio dividendo.
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a.
La regla de Ruffini también se utiliza para transformar un polinomio en un producto de factores, pero eso lo veremos en la siguiente clase.
Considera esta división:
Llamemos c(x) al cociente c(x) = Ax² + B’x + C’, y llamaremos R al resto.
Se puede probar que entre los coeficientes del cociente y del dividendo se verifican las siguientes relaciones:
Relaciones en la regla de Ruffini
A’ = A ⇒ El primer coeficiente del cociente A es igual al primer coeficiente del dividendo A
B’ = Aa + B ⇒ El segundo coeficiente del cociente B’ se obtiene mediante la relación B’ = Aa + B
C’ = B’a + C ⇒ El tercer coeficiente del cociente C’ se obtiene mediante la relación C’ = B’a + C
R = C’a + D ⇒ El resto R se obtiene mediante la relación R = C’a + D
Estas relaciones constituyen la regla de Ruffini
Ejemplo:
Vamos a hacer la siguiente división por Ruffini:
\(\large (6x^3 – 3x + 4) \div (x – 2)\)
1. Se ordena en forma decreciente el dividendo y se colocan ordenados sus coeficientes. Si en el polinomio dividendo faltan términos, como en este caso que es incompleto, se ponen ceros en los lugares de los términos que faltan. Debajo, y desplazado a la izquierda, se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo (a = 2). El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; por eso el número 6 se baja simplemente.
2. El segundo coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema:
\(\large 2 \cdot 6 = 12\)
\(\large 0 + 12 = 12\)
3. El tercer coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema:
\(\large 2 \cdot 12 = 24\)
\(\large -3 + 24 = 21\)
4. El resto se obtiene como se indica en el esquema:
\(\large 21 \cdot 2 + 4 = 46\)
Como el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo, resulta que el cociente es el polinomio:
\(\large c(x) = 6x^2 + 12x + 21\)
y el resto R = 46
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sergio dice
muy bueno gracias