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Portada » MATEMÁTICAS » POLINOMIOS ALGEBRAICOS » DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Tabla de contenidos

  • 1 VÍDEOS DE LA CLASE
  • 2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
    • 2.1 División exacta de polinomios
    • 2.2 División entera de polinomios
    • 2.3 División de un polinomio por un monomio
    • 2.4 División de un polinomio por otro polinomio
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS
    • 4.1 Ejercicios sobre la división de polinomios
    • 4.2 Solución a los ejercicios
    • 4.3 Resolución de los ejercicios

VÍDEOS DE LA CLASE

Aquí tienes el vídeo de la clase sobre la división de polinomios

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DIVISIÓN DE POLINOMIOS

División exacta de polinomios

En esta clase vamos a ver la división de polinomios. Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):

División exacta de polinomios
División exacta de polinomios

En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.

Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor dé el dividendo:

División exacta de polinomios
División exacta de polinomios

En esta caso se dice que la división es exacta y se dice que dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x). También se dice que d(x) y c(x) son divisores del polinomio D(x).


División entera de polinomios

Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):

División entera
División entera de polinomios

En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.

En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), y siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división:

Propiedad fundamental de la división
Propiedad fundamental de la división

El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).

Grado del resto
Grado del resto

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada monomio del polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.

Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si se cumple la propiedad fundamental de la división:

Propiedad fundamental de la división
Propiedad fundamental de la división

Ejemplo:

\(\large D(x) = 2x^2 + x – 2 \)
\(\large d(x) = x\)
División de polinomios


Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división:

\(\large D(x) = d(x) \cdot c(x) + R(x\)
\(\large D(x) = 2x^{2} + x – 2\)
\(\large d(x) \cdot c(x) + R(x) = x \cdot (2x + 1) – 2 = (2x^{2} + x) – 2 = 2x^{_{2}} + x – 2\)

El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:

Grado del cociente
Grado del cociente

En nuestro ejemplo:
D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2

d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1

c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1


División de un polinomio por otro polinomio

Consideremos estos dos polinomios:

\(\large D(x) = x^4 – 2x^3 – 11x^2 + 30x – 20 \Rightarrow Dividendo\)
\(\large d(x) = x^{2} + 3x – 2 \Rightarrow Divisor\)

Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
1. Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.

2. Se divide el primer monomio del dividendo  por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.

3. Se multiplica el cociente  por el divisor  y el producto obtenido se resta del dividendo:

\(\large (x^2 + 3x – 2) \cdot x^2 = x^4 + 3x^3 – 2x^2\)

Como hay que restar \(\large x^4 + 3x^3 + 2x^2\) del  dividendo, le sumamos el opuesto:

\(\large – (x^4 + 3x^3 – 2x^2) = – x^4 – 3x^3 + 2x^2\)

4. Se baja el término siguiente, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²)
\(\large -5x^{3} \div x^{2} = -5x\)

y se coloca -5x en el cociente

5. Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:

\(\large (x^2 + 3x – 2) \cdot (-5x) = -5x^3 – 15x^2 + 10x\)

Como hay que restar -5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto:

\(\large – (-5x^3 – 15x^2 + 10x) = 5x^3 + 15x^2 – 10x\)

6. Se baja el último término, -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente

7. Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:

\(\large (x^{2} + 3x – 2) \cdot 6 = 6x^{2} + 18x – 12\)

Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto:

\(\large -(6x^{2} + 18x – 12) = – 6x^{2} – 18x + 12\)
División de polinomios

Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.

Entonces obtenemos que el polinomio cociente es:

\(\large c(x) = x^2 – 5x + 6\)

y el polinomio resto es:

\(\large R(x) = 2x – 8\)

Comprobamos que:

Grado c(x) = grado D(x) – grado d(x)

Grado c(x) = 4 – 2 =2

y que:

\(\large D(x) = d(x) \cdot c(x) + R(x)\)
\(\large D(x) = (x^2 + 3x – 2) \cdot (x^2 – 5x + 6) + (2x – 8) = x^4 – 2x^3 – 11x^2 + 30x – 20\)

CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre la división de polinomios

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Solución a los ejercicios

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Resolución de los ejercicios

Símbolo de una lista de reproducción de Youtube Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explican los ejercicios de esta clase. 

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APRENDE MÁS SOBRE LOS POLINOMIOS ALGEBRAICOS…

Expresiones algebraicas

Monomios

Polinomios

Suma y resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

Igualdades notables

Regla de Ruffini

Descomposición factorial de polinomios

Razones algebraicas

Comentarios

  1. Yamira Manzanillo dice

    28 mayo, 2020 a las 5:53

    Hola me encanta este sitio, muchas gracias. Quisiera saber como resolvdr este ejercicio, creo no tiene solución: 3X^3+5X^2-X-7/6X-9

    • Isabel dice

      28 mayo, 2020 a las 9:53

      Hola Yamira. Qué te piden que hagas en el ejercicio?

    • CARLOS dice

      2 junio, 2020 a las 1:31

      ES UNA DIVISION SI NO QUE LA RESPUESTA VA A DAR CON DECIMALES

  2. Leidy Rojas dice

    19 mayo, 2020 a las 12:39

    Muchas Gracias por tomarse el tiempo a resolver y copiar toda esta información, me ayudas mucho

    • Isabel dice

      19 mayo, 2020 a las 16:25

      Gracias Leidy

  3. Melany dice

    6 marzo, 2018 a las 1:17

    Muy útil, en mi experiencia y criterio esta es de las mejores páginas de matemáticas que eh visto, muy buenas las explicaciones y los ejercicios.

    • Isabel dice

      13 marzo, 2018 a las 11:05

      Gracias Melany:)

      • Anónimo dice

        18 abril, 2018 a las 21:27

        GRACIAS

  4. Juan Carlos dice

    20 febrero, 2018 a las 19:06

    Holaaa gracias por el artículo.

    Tengo unas dudas….
    Las divisiones de polinomios en los que el primer coeficiente del divisor es mayor que el del dividendo, se pueden realizar? o no tienen sol.

    Puede el resto de una division polinómica dar un numero negativo?

    Muchas gracias otra vez!!!

    • Isabel dice

      13 marzo, 2018 a las 10:55

      Hola Juan Carlos,

      Si el grado del dividendo es menor que el grado del divisor, prueba a hacer una descomposición factorial de polinomios para al menos poder simplificar. El resto de una división polinómica sí puede dar un número negativo.

      Saludos.

      • Anónimo dice

        4 abril, 2020 a las 21:39

        Preguntó por el coeficiente, no por el grado. Tengo la misma duda Ej: coeficiente del dividendo 9 y el coeficiente del divisor 5.

        • Isabel dice

          5 abril, 2020 a las 9:50

          Los números enteros siempre se pueden dividir, independientemente de que la división sea exacta o no, porque siempre puedes poner una división en forma de fracción o en forma decimal.

  5. Lucia cruz dice

    5 febrero, 2018 a las 13:45

    Está información me sirvió mucho .Gracias.

  6. SAR ernesto de sajonia-coburgo gotha dice

    4 febrero, 2018 a las 4:32

    GRACIAS POR LOS EJERCICIOS
    muchas gracias sdeverdad !!!

  7. jenny dice

    3 febrero, 2018 a las 17:51

    Hola, está perfectamente explicado, muchas gracias, has sido de gran ayuda. En mi caso no logro hacer un ejercicio que tengo como tarea, aunque este se ve bien y puedo hacer otros, cuando incluye fracciones se me complica y no he logrado encontrar otras explicaciones de esto. Saludos!!

  8. Jose Carlos Bejarano dice

    21 diciembre, 2017 a las 5:18

    Eres un gran divulgador del conocimiento. Llevaba sin hacerlo años y simplemente con una lectura lo entendí perfectamente y lo explique igual de bien. Piensa q yo sólo educo a mi hija, y que todos estos conocimientos tendría q tenerlos frescos, pero no es así, aún siendo licenciado ingeniero de caminos , canales y puertos. Lo importante es q ella recibe el conocimiento y su padre lo recuerda, que no es poco. Salud y mucha fuerza para seguir con esta incontestable fuente de sabiduría. Un abrazo desde España!!!

    • Isabel dice

      8 enero, 2018 a las 20:05

      Muchas gracias Jose Carlos 🙂

  9. stefania rendon dice

    18 octubre, 2017 a las 22:37

    me sirvio de mucha ayuda

    • yusney salazar dice

      18 octubre, 2017 a las 22:40

      ella es mi amiga y si es verdad por q las 2 miramos la pagina y es muy importante para todos q necesitamos de esta gran ayuda GRACIAS POR SU ATENCION

    • Isabel dice

      28 octubre, 2017 a las 21:21

      Muchas gracias a las dos 🙂

  10. marina dice

    19 febrero, 2017 a las 4:22

    cuando en el polinomio tenes x elevado a la 3 pero en la «casita» tenes x….
    como se resuelve ?
    (x’3 – 6x’2 – 5x + 2) : (x-1)
    explicar porfavor
    saludos 😀

  11. candida belen dice

    30 agosto, 2016 a las 8:50

    Esta muy bn.pero me gustaria saber si en la division de polinomios se puede poner el numero trece en el cociente si es la occion que te da el numero exacto que necesitas para restar es decir .necesito 52 y el unico numero que al multiplicar por 4 que me de 52 es 13 pero ya siendo un primo me gustario saber si se puede usas.porfa

    • Isabel dice

      13 septiembre, 2016 a las 16:35

      Hola Candida. Sí, puedes usar los números primos también.
      Saludos.

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