DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

División exacta de polinomios

En esta clase vamos a ver la división de polinomios. Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):

En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.

Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor dé el dividendo:

En esta caso se dice que la división es exacta y se dice que dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x). También se dice que d(x) y c(x) son divisores del polinomio D(x).

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División entera de polinomios

Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):

En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.

En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), y siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división:

El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).

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División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada monomio del polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.

Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si se cumple la propiedad fundamental de la división:

Ejemplo:

\(\large D(x) = 2x^2 + x – 2 \) \(\large d(x) = x\)

Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división:

\(\large D(x) = d(x) \cdot c(x) + R(x\) \(\large D(x) = 2x^{2} + x – 2\) \(\large d(x) \cdot c(x) + R(x) = x \cdot (2x + 1) – 2 = (2x^{2} + x) – 2 = 2x^{_{2}} + x – 2\)

El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:

En nuestro ejemplo:
D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2

d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1

c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1

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División de un polinomio por otro polinomio

Consideremos estos dos polinomios:

\(\large D(x) = x^4 – 2x^3 – 11x^2 + 30x – 20 \Rightarrow Dividendo\) \(\large d(x) = x^{2} + 3x – 2 \Rightarrow Divisor\)

Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
1. Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.

2. Se divide el primer monomio del dividendo  por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.

3. Se multiplica el cociente  por el divisor  y el producto obtenido se resta del dividendo:

\(\large (x^2 + 3x – 2) \cdot x^2 = x^4 + 3x^3 – 2x^2\)

Como hay que restar \(\large x^4 + 3x^3 + 2x^2\) del  dividendo, le sumamos el opuesto:

\(\large – (x^4 + 3x^3 – 2x^2) = – x^4 – 3x^3 + 2x^2\)

4. Se baja el término siguiente, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²)
\(\large -5x^{3} \div x^{2} = -5x\)

y se coloca -5x en el cociente

5. Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:

\(\large (x^2 + 3x – 2) \cdot (-5x) = -5x^3 – 15x^2 + 10x\)

Como hay que restar -5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto:

\(\large – (-5x^3 – 15x^2 + 10x) = 5x^3 + 15x^2 – 10x\)

6. Se baja el último término, -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente

7. Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:

\(\large (x^{2} + 3x – 2) \cdot 6 = 6x^{2} + 18x – 12\)

Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto:

\(\large -(6x^{2} + 18x – 12) = – 6x^{2} – 18x + 12\)

Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.

Entonces obtenemos que el polinomio cociente es:

\(\large c(x) = x^2 – 5x + 6\)

y el polinomio resto es:

\(\large R(x) = 2x – 8\)

Comprobamos que:

Grado c(x) = grado D(x) – grado d(x)

Grado c(x) = 4 – 2 =2

y que:

\(\large D(x) = d(x) \cdot c(x) + R(x)\) \(\large D(x) = (x^2 + 3x – 2) \cdot (x^2 – 5x + 6) + (2x – 8) = x^4 – 2x^3 – 11x^2 + 30x – 20\)

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VÍDEOS DE LA CLASE

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