Tabla de contenidos
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
División exacta de polinomios
En esta clase vamos a ver la división de polinomios. Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):
En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.
Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor dé el dividendo:
En esta caso se dice que la división es exacta y se dice que dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x). También se dice que d(x) y c(x) son divisores del polinomio D(x).
División entera de polinomios
Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):
En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.
En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), y siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división:
El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada monomio del polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.
Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si se cumple la propiedad fundamental de la división:
Ejemplo:
\(\large D(x) = 2x^2 + x – 2 \) \(\large d(x) = x\)
Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división:
El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:
En nuestro ejemplo:
D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2
d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1
c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1
División de un polinomio por otro polinomio
Consideremos estos dos polinomios:
\(\large D(x) = x^4 – 2x^3 – 11x^2 + 30x – 20 \Rightarrow Dividendo\) \(\large d(x) = x^{2} + 3x – 2 \Rightarrow Divisor\)Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
1. Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.
2. Se divide el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.
3. Se multiplica el cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
\(\large (x^2 + 3x – 2) \cdot x^2 = x^4 + 3x^3 – 2x^2\)Como hay que restar \(\large x^4 + 3x^3 + 2x^2\) del dividendo, le sumamos el opuesto:
\(\large – (x^4 + 3x^3 – 2x^2) = – x^4 – 3x^3 + 2x^2\)
4. Se baja el término siguiente, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²)
\(\large -5x^{3} \div x^{2} = -5x\)
y se coloca -5x en el cociente
5. Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:
\(\large (x^2 + 3x – 2) \cdot (-5x) = -5x^3 – 15x^2 + 10x\)Como hay que restar -5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto:
\(\large – (-5x^3 – 15x^2 + 10x) = 5x^3 + 15x^2 – 10x\)
6. Se baja el último término, -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente
7. Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
\(\large (x^{2} + 3x – 2) \cdot 6 = 6x^{2} + 18x – 12\)Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto:
\(\large -(6x^{2} + 18x – 12) = – 6x^{2} – 18x + 12\)
Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.
Entonces obtenemos que el polinomio cociente es:
\(\large c(x) = x^2 – 5x + 6\)y el polinomio resto es:
\(\large R(x) = 2x – 8\)Comprobamos que:
Grado c(x) = grado D(x) – grado d(x)
Grado c(x) = 4 – 2 =2
y que:
\(\large D(x) = d(x) \cdot c(x) + R(x)\) \(\large D(x) = (x^2 + 3x – 2) \cdot (x^2 – 5x + 6) + (2x – 8) = x^4 – 2x^3 – 11x^2 + 30x – 20\)VÍDEOS DE LA CLASE
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Yamira Manzanillo dice
Hola me encanta este sitio, muchas gracias. Quisiera saber como resolvdr este ejercicio, creo no tiene solución: 3X^3+5X^2-X-7/6X-9
Isabel dice
Hola Yamira. Qué te piden que hagas en el ejercicio?
CARLOS dice
ES UNA DIVISION SI NO QUE LA RESPUESTA VA A DAR CON DECIMALES
Leidy Rojas dice
Muchas Gracias por tomarse el tiempo a resolver y copiar toda esta información, me ayudas mucho
Isabel dice
Gracias Leidy
Melany dice
Muy útil, en mi experiencia y criterio esta es de las mejores páginas de matemáticas que eh visto, muy buenas las explicaciones y los ejercicios.
Isabel dice
Gracias Melany:)
Anónimo dice
GRACIAS
Juan Carlos dice
Holaaa gracias por el artículo.
Tengo unas dudas….
Las divisiones de polinomios en los que el primer coeficiente del divisor es mayor que el del dividendo, se pueden realizar? o no tienen sol.
Puede el resto de una division polinómica dar un numero negativo?
Muchas gracias otra vez!!!
Isabel dice
Hola Juan Carlos,
Si el grado del dividendo es menor que el grado del divisor, prueba a hacer una descomposición factorial de polinomios para al menos poder simplificar. El resto de una división polinómica sí puede dar un número negativo.
Saludos.
Anónimo dice
Preguntó por el coeficiente, no por el grado. Tengo la misma duda Ej: coeficiente del dividendo 9 y el coeficiente del divisor 5.
Isabel dice
Los números enteros siempre se pueden dividir, independientemente de que la división sea exacta o no, porque siempre puedes poner una división en forma de fracción o en forma decimal.
Lucia cruz dice
Está información me sirvió mucho .Gracias.
SAR ernesto de sajonia-coburgo gotha dice
GRACIAS POR LOS EJERCICIOS
muchas gracias sdeverdad !!!
jenny dice
Hola, está perfectamente explicado, muchas gracias, has sido de gran ayuda. En mi caso no logro hacer un ejercicio que tengo como tarea, aunque este se ve bien y puedo hacer otros, cuando incluye fracciones se me complica y no he logrado encontrar otras explicaciones de esto. Saludos!!
Jose Carlos Bejarano dice
Eres un gran divulgador del conocimiento. Llevaba sin hacerlo años y simplemente con una lectura lo entendí perfectamente y lo explique igual de bien. Piensa q yo sólo educo a mi hija, y que todos estos conocimientos tendría q tenerlos frescos, pero no es así, aún siendo licenciado ingeniero de caminos , canales y puertos. Lo importante es q ella recibe el conocimiento y su padre lo recuerda, que no es poco. Salud y mucha fuerza para seguir con esta incontestable fuente de sabiduría. Un abrazo desde España!!!
Isabel dice
Muchas gracias Jose Carlos 🙂
stefania rendon dice
me sirvio de mucha ayuda
yusney salazar dice
ella es mi amiga y si es verdad por q las 2 miramos la pagina y es muy importante para todos q necesitamos de esta gran ayuda GRACIAS POR SU ATENCION
Isabel dice
Muchas gracias a las dos 🙂
marina dice
cuando en el polinomio tenes x elevado a la 3 pero en la «casita» tenes x….
como se resuelve ?
(x’3 – 6x’2 – 5x + 2) : (x-1)
explicar porfavor
saludos 😀
candida belen dice
Esta muy bn.pero me gustaria saber si en la division de polinomios se puede poner el numero trece en el cociente si es la occion que te da el numero exacto que necesitas para restar es decir .necesito 52 y el unico numero que al multiplicar por 4 que me de 52 es 13 pero ya siendo un primo me gustario saber si se puede usas.porfa
Isabel dice
Hola Candida. Sí, puedes usar los números primos también.
Saludos.