IGUALDADES NOTABLES

IGUALDADES NOTABLES

Las igualdades notables son identidades que podemos utilizar siempre que queramos para hacer los cálculos más sencillos.
Las igualdades notables que vamos a ver en esta clase son:

• Cuadrado de una suma
• Cuadrado de una diferencia
• Suma por diferencia
• Cubo de una suma
• Cubo de una diferencia
• Cuadrado de un trinomio

Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a+b)^2&=& \mathrm{(a + b) \cdot (a + b)}\nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + ab + ba + b^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + 2ab + b^2}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x+1)^2 = x^2 + 2x\cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1\)

Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a-b)^2&=&\mathrm{(a – b) \cdot (a – b)}\nonumber\\&=&\mathrm{a^2 – ab – ba + b^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 – 2ab + b^2}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x-1)^2 = x^2 – 2x\cdot 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1\)

Suma por diferencia

Una suma de dos términos multiplicada por la diferencia de los mismos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a + b) \cdot (a – b)&=& \mathrm{a^2 – ab + ba – b^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 – b^2}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x + 1) \cdot (x – 1) = x^2 – x + x – 1 = x^2 – 1\)

Cubo de una suma

El cubo de una suma es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a+b)^3&=& \mathrm{[(a + b) \cdot (a + b)] \cdot (a + b)} \nonumber\\&=&\mathrm{(a^2 + 2ab + b^2) \cdot (a + b)} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x+1)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2+ 3x + 1\)

Cubo de una diferencia

El cubo de una diferencia es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo.

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a-b)^3&=& \mathrm{[(a – b) \cdot (a – b)] \cdot (a – b)} \nonumber\\&=&\mathrm{(a^2 – 2ab + b^2) \cdot (a – b)} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 – a^2b – 2a^2b + 2ab^2 + b^2a – b^3} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x-1)^3 = x^3 – 3x^2\cdot 1 + 3x \cdot 1^2 – 1^3 = x^3 – 3x^2+ 3x – 1\)

Cuadrado de un trinomio

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término más el duplo de los productos que resultan de multiplicar cada término del polinomio por cada uno de los términos que le siguen.

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a+b-c)^2&=& \mathrm{(a + b – c) \cdot (a + b – c)} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + ab – ac + ba + b^2 – bc – ca – cb + c^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – 2ac – 2bc}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x^2+x-1)^2 = x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 – 2x^2 – 2x\)

VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

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