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Portada » MATEMÁTICAS » POLINOMIOS ALGEBRAICOS » IGUALDADES NOTABLES

IGUALDADES NOTABLES

Tabla de contenidos

  • 1 IGUALDADES NOTABLES
    • 1.1 Cuadrado de una suma
    • 1.2 Cuadrado de una diferencia
    • 1.3 Suma por diferencia
    • 1.4 Cubo de una suma
    • 1.5 Cubo de una diferencia
    • 1.6 Cuadrado de un trinomio
  • 2 VÍDEOS DE LA CLASE
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS

IGUALDADES NOTABLES

Las igualdades notables son identidades que podemos utilizar siempre que queramos para hacer los cálculos más sencillos.
Las igualdades notables que vamos a ver en esta clase son:

  • Cuadrado de una suma
  • Cuadrado de una diferencia
  • Suma por diferencia
  • Cubo de una suma
  • Cubo de una diferencia
  • Cuadrado de un trinomio

Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Cuadrado de una suma
Cuadrado de una suma

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a+b)^2&=& \mathrm{(a + b) \cdot (a + b)}\nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + ab + ba + b^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + 2ab + b^2}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x+1)^2 = x^2 + 2x\cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1\)


Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Cuadrado de una diferencia
Cuadrado de una diferencia

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a-b)^2&=&\mathrm{(a – b) \cdot (a – b)}\nonumber\\&=&\mathrm{a^2 – ab – ba + b^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 – 2ab + b^2}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x-1)^2 = x^2 – 2x\cdot 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1\)


Suma por diferencia

Una suma de dos términos multiplicada por la diferencia de los mismos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.

Suma por diferencia
Suma por diferencia

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a + b) \cdot (a – b)&=& \mathrm{a^2 – ab + ba – b^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 – b^2}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x + 1) \cdot (x – 1) = x^2 – x + x – 1 = x^2 – 1\)


Cubo de una suma

El cubo de una suma es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

Igualdades notables
Cubo de una suma

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a+b)^3&=& \mathrm{[(a + b) \cdot (a + b)] \cdot (a + b)} \nonumber\\&=&\mathrm{(a^2 + 2ab + b^2) \cdot (a + b)} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x+1)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2+ 3x + 1\)


Cubo de una diferencia

El cubo de una diferencia es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo.

Igualdades notables
Cubo de una diferencia

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a-b)^3&=& \mathrm{[(a – b) \cdot (a – b)] \cdot (a – b)} \nonumber\\&=&\mathrm{(a^2 – 2ab + b^2) \cdot (a – b)} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 – a^2b – 2a^2b + 2ab^2 + b^2a – b^3} \nonumber\\&=&\mathrm{a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x-1)^3 = x^3 – 3x^2\cdot 1 + 3x \cdot 1^2 – 1^3 = x^3 – 3x^2+ 3x – 1\)


Cuadrado de un trinomio

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término más el duplo de los productos que resultan de multiplicar cada término del polinomio por cada uno de los términos que le siguen.

Igualdades notables
Cuadrado de un trinomio

Demostración:
\(\large \begin{eqnarray*}(a+b-c)^2&=& \mathrm{(a + b – c) \cdot (a + b – c)} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + ab – ac + ba + b^2 – bc – ca – cb + c^2} \nonumber\\&=&\mathrm{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – 2ac – 2bc}\end{eqnarray*}\)

Ejemplo:
\(\large (x^2+x-1)^2 = x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 – 2x^2 – 2x\)


VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

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EJERCICIOS

Pulsa el botón «EJERCICIOS» para acceder todos los ejercicios de esta clase y haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en el vídeo de arriba para ver cómo se resuelve el ejercicio.

EJERCICIOS


APRENDE MÁS SOBRE LOS POLINOMIOS ALGEBRAICOS…

Expresiones algebraicas

Monomios

Polinomios

Suma y resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

División de polinomios

Regla de Ruffini

Descomposición factorial de polinomios

Razones algebraicas


Comentarios

  1. Vladi dice

    21 abril, 2020 en 16:16

    Como se resuelve (2x+1/2)elevado a 2

  2. Vanessa dice

    4 abril, 2018 en 5:50

    Hola me podrian decir como se resuelve esta operacion
    Convertir la igualdad:
    Raiz cuadrada de x menos raiz cuarta de x igual a uno sobre raiz cuadrada de x
    A una igualdad entre polinomios

    • Andrés Salas dice

      8 abril, 2018 en 3:55

      Pasa multiplicando la raíz cuadrada de x que está dividiendo a 1. Te va a quedar como:
      x – x^3/4 = 1
      Luego, mueve el 1 a la izquierda (restando) y la x^3/4 a la derecha (sumando). Debe quedar como:
      x – 1 = x^3/4
      Después, eleva ambas partes de la igualdad a la cuarta potencia, obteniendo del lado izquierdo un binomio a la cuarta potencia «(x – 1)^4», y del lado derecho equis cúbica «(x^3)».
      Por último, desarrolla «(x – 1)^4» y pasa «x^3» a la izquierda (restando). Efectúas las operaciones y te dará como resultado la opción D (lo encontré en mi Guía IPN).
      Si aún tienes alguna duda, puedes mandarme un correo: a.salas.espino@gmail.com
      Espero te haya servido 🙂

  3. Mar dice

    8 enero, 2018 en 19:39

    Hola no entiendo cómo resolver este tipo de ejercicio

    Expresa ,Si es posible, como el cuadrado de una suma o de una diferencia

    4X elevado a 4 – 12X al cuadrado + 9

    • Isabel dice

      8 enero, 2018 en 21:26

      Hola Mar,
      Mira en esta clase a ver si te ayuda:
      Descomposicion factorial de polinomios

  4. HECTOR dice

    14 febrero, 2017 en 20:37

    PUES A MI TAMBIEN GRACIAS A ESTO SAQUE UN 9,75 EN MATES

    GRACIAS

    • Isabel dice

      16 febrero, 2017 en 12:13

      Gracias a ti Hector, y mi enhorabuena 😉

  5. isabella chimpantaxi dice

    2 noviembre, 2014 en 21:40

    muchas gracias por la ayuda, me encanta esta página porque me ayuda a resolver mis tareas y aclara inquietudes que tengo.

    • La escuela en casa dice

      4 noviembre, 2014 en 13:25

      Gracias a ti Isabella. Estoy encantada de que te sea útil. Un abrazo.

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