Tabla de contenidos
VÍDEOS DE LA CLASE
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Producto de un polinomio por un monomio
En esta clase vamos a ver la multiplicación de polinomios.
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica por dicho monomio cada uno de los monomios del polinomio.
Ejemplo:
\(\large p(x) = 2x^2 + 3\) \(\large a(x) = 2x \) \(\large p(x)\cdot a(x) = (2x^2 + 3)\cdot 2x = 2x^2\cdot 2x + 3\cdot 2x = 4x^3 + 6x \)El grado del producto de un polinomio por un monomio es igual a la suma de los grados de los factores
Producto de dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por el otro polinomio y se suman los polinomios restantes.
Existen dos formas en las que podemos multiplicar dos polinomios:
1. En columna
2. En fila
Multiplicación de polinomios en columna
Para multiplicar dos polinomios en columna, seguiremos estos pasos:
1. Colocamos los polinomios uno debajo del otro.
2. Multiplicamos cada monomio del polinomio situado más abajo por cada uno de los monomios del otro polinomio, colocando los monomios de igual grado en la misma columna.
Ejemplo:
\(\large \large p(x) = 2x^2 + 3\) \(\large q(x) = x + 1 \) \(\large \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2 + 3\) \(\large \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x + 1\)___________________________
\(\large \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^2 \ \ \ \ \ \ \ + 3\) \(\large \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 3x\)___________________________
\(\large \ \ \ \ \ \ \ \ 2x^3\ \ + 2x^2\ \ + 3x \ \ + 3\)Multiplicación de polinomios en fila
Para multiplicar polinomios en fila se multiplica cada monomio de uno de los polinomios por todos los monomios del otro polinomio.
Ejemplo:
\(\large p(x) = 2x^2 + 3\) \(\large q(x) = x + 1\) \(\large p(x)\cdot q(x) = (2x^2 +3) \cdot (x + 1) = 2x^2\cdot (x + 1) + 3\cdot (x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 3x + 3\)El grado del producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados de los factores
Propiedades del producto de polinomios
Las propiedades del producto de polinomios son las siguientes:
- Propiedad conmutativa
- Propiedad asociativa
- Elemento neutro
- Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
Propiedad conmutativa del producto de polinomios
La propiedad conmutativa del producto de polinomios nos dice que el orden de los factores no altera el producto
Esto significa que cuando tengamos que multiplicar dos polinomios, podemos multiplicarlos en el orden que queramos.
Ejemplo:
\(\large p(x) = 2x^2 + 3\) \(\large q(x) = x + 1\) \(\large \begin{eqnarray*}p(x)\cdot q(x) &=& \mathrm{ (2x^2 + 3)\cdot (x + 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 2x^2\cdot (x + 1) + 3\cdot (x + 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 2x^3 + 2x^2 + 3x + 3}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*}q(x)\cdot p(x) &=& \mathrm{ (x + 1)\cdot (2x^2 + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ x\cdot (2x^2 + 3) + 1\cdot (2x^2 + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 2x^3 + 3x + 2x^2 + 3} \nonumber\\&=&\mathrm{ 2x^3 + 2x^2 + 3x + 3}\end{eqnarray*}\) \(\large Entonces \Rightarrow p(x)\cdot q(x) = q(x)\cdot p(x)\)Propiedad asociativa del producto de polinomios
La propiedad asociativa del producto de polinomios dice que cuando tengamos más de dos polinomios que se están multiplicando, podemos asociarlos de la manera que queramos
Ejemplo:
\(\large p(x) = 2x^2 + 3\) \(\large q(x) = x + 1\) \(\large r(x) = 2x – 1\) \(\large \begin{eqnarray*}[p(x)\cdot q(x)]\cdot r(x) &=& \mathrm{ [(2x^2 + 3)\cdot (x + 1)]\cdot (2x – 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{ (2x^3 + 2x^2 + 3x + 3)\cdot (2x – 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 4x^4 – 2x^3 + 4x^3 – 2x^2 + 6x^2 – 3x + 6x – 3} \nonumber\\&=&\mathrm{ 4x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x – 3}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*}p(x)\cdot [q(x)\cdot r(x)] &=& \mathrm{ (2x^2 + 3)\cdot [(x + 1)\cdot (2x – 1)] = (2x^2 + 3)\cdot (2x^2 – x + 2x – 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{ (2x^2 + 3)\cdot (2x^2 + x – 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 4x^4 + 2x^3 – 2x^2 + 6x^2 + 3x – 3} \nonumber\\&=&\mathrm{ 4x^4 + 2x^3 +4x^2 + 3x – 3}\end{eqnarray*}\)Entonces \(\large [p(x)\cdot q(x)]\cdot r(x) = p(x\cdot [q(x)\cdot r(x)]\)
Elemento neutro del producto de polinomios
Para la multiplicación de polinomios existe elemento neutro, que es el polinomio en el que cada uno de sus términos es cero, excepto el término independiente, que es 1
Elemento neutro del producto de polinomios \(\large = u(x) = 1 + 0x + 0x^2 + 0x^3 +\cdots = 1\)
Esto significa que si multiplicamos cualquier polinomio por 1, el resultado da el mismo polinomio.
Ejemplo:
\(\large p(x) = 2x^3 + 2x^2 – x + 3\) \(\large p(x)\cdot 1 = (2x^3 + 2x^2 – x + 3)\cdot 1 = 2x^3 + 2x^2 – x + 3 = p(x)\)Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
Cuando tengamos un polinomio multiplicando a una suma o resta de polinomios, podemos aplicar la propiedad distributiva
Ejemplo:
\(\large p(x) = 2x^2 + 3\) \(\large q(x) = x + 1\) \(\large r(x) = 2x – 1\) \(\large \begin{eqnarray*}p(x)\cdot [q(x) +r(x)] &=& \mathrm{ (2x^2 + 3)\cdot [(x + 1) + ( 2x – 1)]} \nonumber\\&=&\mathrm{ (2x^2 + 3)\cdot (3x)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 6x^3 + 9x}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*}p(x)\cdot q(x) + p(x\cdot r(x) &=& \mathrm{ [(2x^2 + 3)\cdot (x + 1)] + [(2x^2 + 3)\cdot (2x – 1)]} \nonumber\\&=&\mathrm{ (2x^3 + 2x^2 + 3x + 3) + (4x^3 – 2x^2 + 6x – 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 6x^3 + 9x }\end{eqnarray*}\)Entonces \(\large p(x)\cdot [q(x) \pm r(x)] = p(x)\cdot q(x) \pm p(x)\cdot r(x)\)
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EJERCICIOS
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Ejercicios sobre la multiplicación de polinomios
Aquí tienes los ejercicios sobre la multiplicación de polinomios.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
gabriela guedez dice
realmente aqui sale todo sobre el polinomio este sitio web es muy bueno