Tabla de contenidos
VÍDEOS DE LA CLASE
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Suma de polinomios
En esta clase vamos a ver la suma y resta de polinomios. La suma de polinomios es otro polinomio y el grado de la suma es igual o menor que el mayor de los grados de los polinomios sumandos
Existen dos maneras de sumar polinomios:
- Suma horizontal
- Suma vertical
Cómo hacer la suma de polinomios
Suma horizontal
Para realizar la suma de polinomios de esta manera, seguimos los siguientes pasos:
- Ordenamos los polinomios (si no están ordenados ya)
- Ponemos los polinomios uno a continuación del otro con el signo de la suma de por medio
- Agrupamos los monomios que tengan el mismo grado
- Sumamos los monomios semejantes
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3 + 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\)1) Ordenamos los polinomios:
\(\large P(x) = 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2\) \(\large Q(x) = 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1\)2) Ponemos los polinomios uno a continuación del otro, con el signo de la suma por medio
\(\large P(x) + Q(x) = 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1\)3) Agrupamos los monomios que tengan el mismo grado
\(\large P(x) + Q(x) = 5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 2x) – 2 + 1\)4) Sumamos los monomios semejantes
\(\large P(x) + Q(x) = 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1\)Suma vertical
Para sumar los polinomios verticalmente, tenemos que seguir los siguientes pasos:
- Ordenamos los polinomios (si no están ordenados ya)
- Ponemos los polinomios uno debajo del otro de manera que los monomios semejantes queden en la misma columna
- Sumamos los monomios semejantes
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3 + 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\)1) Ordenamos los polinomios
\(\large P(x) = 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2\) \(\large Q(x) = 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1\)2)Ponemos los polinomios en columna y sumamos los monomios semejantes
\(\large \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2\)\(\large 5x^4 – 3x^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2x + 1\)
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Propiedades de la suma de polinomios
La suma de polinomios tiene las siguientes propiedades:
- Propiedad conmutativa
- Propiedad asociativa
- Elemento neuto
- Elemento opuesto
Propiedad conmutativa de la suma de polinomios
La propiedad conmutativa de la suma de polinomios dice que el orden en que sumemos los polinomios no altera la suma.
Esto quiere decir que podemos sumar los polinomios en el orden que queramos.
siendo P(x) y Q(x) dos polinomios cualesquiera.
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\) \(\large \begin{eqnarray*} P(x) + Q(x) &=& \mathrm{6x^3 + 7x^2 + 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 2x) – 2 + 1} \nonumber\\&=& \mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*} Q(x) + P(x) &=&\mathrm{2x + 5x^4 – 3x^3 + 1 + 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + (- 3x^3 + 6x^3) + 7x^2 + (2x + 3x) + 1 – 2} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1}\end{eqnarray*}\)Propiedad asociativa de la suma de polinomios
La propiedad asociativa de la suma de polinomios dice que el resultado de la suma no depende de la forma en que se asocien los sumandos.
Esto quiero decir que podemos sumar primero dos polinomios cualesquiera, y al resultado sumarle los polinomios que faltan.
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\) \(\large R(x) = 2x + 3\) \(\large \begin{eqnarray*}[P(x) + Q (x)] + R(x) &=&\mathrm{ (6x^3 + 7x^2 + 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1) + (2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ [5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 2x) – 2 + 1] + (2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{(5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1) + (2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1 + 2x + 3} \nonumber\\&=& \mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + (5x + 2x) – 1 + 3} \nonumber\\&=&\mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 7x + 2}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) + [Q (x) + R(x)] &=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + (2x + 5x^4 – 3x^3 + 1 + 2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + [5x^4 – 3x^3 + (2x + 2x) + 1 + 3]} \nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 +(5x^4 – 3x^3 + 4x + 4)}\nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3 + 4x + 4}\nonumber\\&=&\mathrm{5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 4x) – 2 + 4}\nonumber\\&=&\mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 7x + 2}\end{eqnarray*}\)Elemento neutro de la suma de polinomios
El elemento neutro de la suma de polinomios es el polinomio nulo (o polinomio cero).
Esto significa que si a cualquier polinomio le sumamos el polinomio nulo, el resultado será el mismo polinomio.
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large 0 = 0x^3+ 0x^2 + 0x + 0\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) + 0 &=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + 0x^3+ 0x^2 + 0x + 0} \nonumber\\&=&\mathrm{(6x^3+ 0x^3) + (7x^2+ 0x^2) + (3x + 0x) – 2 + 0}\nonumber\\&=& \mathrm{6x^3+ 7x^2+ 3x = P(x)}\end{eqnarray*}\)Elemento opuesto de la suma de polimios
El elemento opuesto de un polinomio se obtiene cambiando de signo a los coeficientes de todos sus términos.
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 6x^3+ 7x^2 + 3x – 2\) \(\large Op (P(x)) = – P(x) = -[6x^3+ 7x^2 + 3x – 2] = – 6x^3 – 7x^2 – 3x + 2\)La suma de dos polinomios opuestos da como resultado el polinomio nulo (o el polinomio cero)
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 6x^3+ 7x^2 + 3x – 2\) \(\large -P(x) = – 6x^3 – 7x^2 – 3x + 2\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) + [- P(x)] &=&\mathrm{6x^3+ 7x^2 + 3x – 2 – 6x^3- 7x^2 – 3x + 2} \nonumber\\&=&\mathrm{(6x^3 – 6x^3) + (7x^2 – 7x^2) + (3x – 3x) – 2 + 2}\nonumber\\&=&\mathrm{0x^3 + 0x^2 + 0x + 0 = 0}\end{eqnarray*}\)Resta de polinomios
Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) – Q(x) &=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + (- 2x – 5x^4 + 3x^3 – 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 – 2x- 5x^4 + 3x^3 – 1}\nonumber\\&=&\mathrm{- 5x^4 + (6x^3+ 3x^3) + 7x^2 + (3x – 2x) – 2 – 1}\nonumber\\&=&\mathrm{- 5x^4 + 9x^3 + 7x^2 + x – 3}\end{eqnarray*}\)Equivalencias fundamentales
Si P(x), Q(x) y R(x) son tres polinomios, donde P(x) + Q(x) = R(x), las siguientes igualdades son equivalentes:
Por ejemplo:
\(\large P(x) = 7x^2 + 3x – 2\) \(\large Q(x) = 3x^2 + 1\) \(\large R(x) = 10x^2 + 3x – 1\) \(\large P(x) + Q(x) = R(x)\) \(\large P(x) + Q(x) = 7x^2 + 3x – 2 + 3x^2 + 1 = 10x^2 + 3x – 1 = R(x)\)Entonces:
\(\large P(x) = R(x) – Q(x)\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) &=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – (3x^2 + 1)}\nonumber\\&=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – 3x^2 – 1}\nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 3x – 2}\end{eqnarray*}\) \(\large Q(x) = R(x) – P (x)\) \(\large \begin{eqnarray*}Q(x) &=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – (7x^2 + 3x – 2)}\nonumber\\&=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – 7x^2 – 3x + 2}\nonumber\\&=&\mathrm{3x^2 + 2}\end{eqnarray*}\)CUESTIONARIO
¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!
EJERCICIOS
Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.
Ejercicios sobre la suma y resta de polinomios
Aquí tienes los ejercicios sobre la suma y resta de polinomios
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
anonimo dice
hola sugeriría poner mejore explicaciones
samantha dice
hola es para una tarea para poder aprobar si me podrían ayudar se lo agradezco
(x^4+3.x+2.x^2).4.x
(x+3).(x^2+3)
(x^2-2).(x+x^3)