SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Suma de polinomios

En esta clase vamos a ver la suma y resta de polinomios. La suma de polinomios es otro polinomio y el grado de la suma es igual o menor que el mayor de los grados de los polinomios sumandos

Existen dos maneras de sumar polinomios:

• Suma horizontal
• Suma vertical

---

Cómo hacer la suma de polinomios

Suma horizontal

Para realizar la suma de polinomios de esta manera, seguimos los siguientes pasos:

1. Ordenamos los polinomios (si no están ordenados ya)
2. Ponemos los polinomios uno a continuación del otro con el signo de la suma de por medio
3. Agrupamos los monomios que tengan el mismo grado
4. Sumamos los monomios semejantes

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3 + 3x – 2\)

\(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\)

1) Ordenamos los polinomios:

\(\large P(x) = 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2\)

\(\large Q(x) = 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1\)

2) Ponemos los polinomios uno a continuación del otro, con el signo de la suma por medio

\(\large P(x) + Q(x) = 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1\)

3) Agrupamos los monomios que tengan el mismo grado

\(\large P(x) + Q(x) = 5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 2x) – 2 + 1\)

4) Sumamos los monomios semejantes

\(\large P(x) + Q(x) = 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1\)

---

Suma vertical

Para sumar los polinomios verticalmente, tenemos que seguir los siguientes pasos:

1. Ordenamos los polinomios (si no están ordenados ya)

2. Ponemos los polinomios uno debajo del otro de manera que los monomios semejantes queden en la misma columna

3. Sumamos los monomios semejantes

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3 + 3x – 2\)

\(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\)

1) Ordenamos los polinomios

\(\large P(x) = 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2\)

\(\large Q(x) = 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1\)

2)Ponemos los polinomios en columna y sumamos los monomios semejantes

\(\large \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^3 + 7x^2 + 3x – 2\)

\(\large 5x^4 – 3x^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2x + 1\)
_______________________________

\(\large 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1\)

\(\large P(x) + Q(x) = 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1\)

---

Propiedades de la suma de polinomios

La suma de polinomios tiene las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa
• Propiedad asociativa
• Elemento neuto
• Elemento opuesto

---

Propiedad conmutativa de la suma de polinomios

La propiedad conmutativa de la suma de polinomios dice que el orden en que sumemos los polinomios no altera la suma.

Esto quiere decir que podemos sumar los polinomios en el orden que queramos.

siendo P(x) y Q(x) dos polinomios cualesquiera.

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\) \(\large \begin{eqnarray*} P(x) + Q(x) &=& \mathrm{6x^3 + 7x^2 + 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 2x) – 2 + 1} \nonumber\\&=& \mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*} Q(x) + P(x) &=&\mathrm{2x + 5x^4 – 3x^3 + 1 + 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + (- 3x^3 + 6x^3) + 7x^2 + (2x + 3x) + 1 – 2} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1}\end{eqnarray*}\)

---

Propiedad asociativa de la suma de polinomios

La propiedad asociativa de la suma de polinomios dice que el resultado de la suma no depende de la forma en que se asocien los sumandos.

Esto quiero decir que podemos sumar primero dos polinomios cualesquiera, y al resultado sumarle los polinomios que faltan.

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\) \(\large R(x) = 2x + 3\) \(\large \begin{eqnarray*}[P(x) + Q (x)] + R(x) &=&\mathrm{ (6x^3 + 7x^2 + 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3+ 2x + 1) + (2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ [5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 2x) – 2 + 1] + (2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{(5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1) + (2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{ 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 5x – 1 + 2x + 3} \nonumber\\&=& \mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + (5x + 2x) – 1 + 3} \nonumber\\&=&\mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 7x + 2}\end{eqnarray*}\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) + [Q (x) + R(x)] &=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + (2x + 5x^4 – 3x^3 + 1 + 2x + 3)} \nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + [5x^4 – 3x^3 + (2x + 2x) + 1 + 3]} \nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 +(5x^4 – 3x^3 + 4x + 4)}\nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + 5x^4 – 3x^3 + 4x + 4}\nonumber\\&=&\mathrm{5x^4 + (6x^3 – 3x^3) + 7x^2 + (3x + 4x) – 2 + 4}\nonumber\\&=&\mathrm{5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 7x + 2}\end{eqnarray*}\)

---

Elemento neutro de la suma de polinomios

El elemento neutro de la suma de polinomios es el polinomio nulo (o polinomio cero).

Esto significa que si a cualquier polinomio le sumamos el polinomio nulo, el resultado será el mismo polinomio.

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large 0 = 0x^3+ 0x^2 + 0x + 0\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) + 0 &=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + 0x^3+ 0x^2 + 0x + 0} \nonumber\\&=&\mathrm{(6x^3+ 0x^3) + (7x^2+ 0x^2) + (3x + 0x) – 2 + 0}\nonumber\\&=& \mathrm{6x^3+ 7x^2+ 3x = P(x)}\end{eqnarray*}\)

---

Elemento opuesto de la suma de polimios

El elemento opuesto de un polinomio se obtiene cambiando de signo a los coeficientes de todos sus términos.

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 6x^3+ 7x^2 + 3x – 2\) \(\large Op (P(x)) = – P(x) = -[6x^3+ 7x^2 + 3x – 2] = – 6x^3 – 7x^2 – 3x + 2\)

La suma de dos polinomios opuestos da como resultado el polinomio nulo (o el polinomio cero)

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 6x^3+ 7x^2 + 3x – 2\) \(\large -P(x) = – 6x^3 – 7x^2 – 3x + 2\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) + [- P(x)] &=&\mathrm{6x^3+ 7x^2 + 3x – 2 – 6x^3- 7x^2 – 3x + 2} \nonumber\\&=&\mathrm{(6x^3 – 6x^3) + (7x^2 – 7x^2) + (3x – 3x) – 2 + 2}\nonumber\\&=&\mathrm{0x^3 + 0x^2 + 0x + 0 = 0}\end{eqnarray*}\)

---

Resta de polinomios

Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 6x^3+ 3x – 2\) \(\large Q(x) = 2x + 5x^4 – 3x^3 + 1\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) – Q(x) &=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 + (- 2x – 5x^4 + 3x^3 – 1)} \nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 6x^3+ 3x – 2 – 2x- 5x^4 + 3x^3 – 1}\nonumber\\&=&\mathrm{- 5x^4 + (6x^3+ 3x^3) + 7x^2 + (3x – 2x) – 2 – 1}\nonumber\\&=&\mathrm{- 5x^4 + 9x^3 + 7x^2 + x – 3}\end{eqnarray*}\)

---

Equivalencias fundamentales

Si P(x), Q(x) y R(x) son tres polinomios, donde P(x) + Q(x) = R(x),   las siguientes igualdades son equivalentes:

Por ejemplo:

\(\large P(x) = 7x^2 + 3x – 2\) \(\large Q(x) = 3x^2 + 1\) \(\large R(x) = 10x^2 + 3x – 1\) \(\large P(x) + Q(x) = R(x)\) \(\large P(x) + Q(x) = 7x^2 + 3x – 2 + 3x^2 + 1 = 10x^2 + 3x – 1 = R(x)\)

Entonces:

\(\large P(x) = R(x) – Q(x)\) \(\large \begin{eqnarray*}P(x) &=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – (3x^2 + 1)}\nonumber\\&=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – 3x^2 – 1}\nonumber\\&=&\mathrm{7x^2 + 3x – 2}\end{eqnarray*}\) \(\large Q(x) = R(x) – P (x)\) \(\large \begin{eqnarray*}Q(x) &=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – (7x^2 + 3x – 2)}\nonumber\\&=&\mathrm{10x^2 + 3x – 1 – 7x^2 – 3x + 2}\nonumber\\&=&\mathrm{3x^2 + 2}\end{eqnarray*}\)

---

VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar

---

CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO

---

EJERCICIOS

Pulsa el botón «EJERCICIOS» para acceder todos los ejercicios de esta clase y haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en el vídeo de arriba para ver cómo se resuelve el ejercicio.

EJERCICIOS

---