POLINOMIOS

POLINOMIOS

¿Qué es un polinomio?

En esta clase vamos a ver los polinomios. Un polinomio es una suma de un número finito de monomios.

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Términos de un polinomio

Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llaman términos del polinomio.

Al monomio que no lleva la letra se le llama término independiente.

Los grados de los monomios siempre tienen que ser números naturales (0, 1, 2, ..)

En un polinomio, la variable (la letra) no puede aparecer en el denominador, ni tampoco como exponente, ni dentro de un radical.

El polinomio \(\large 2x^2 + 5x – 3\)

está formado por una suma de tres monomios.

Muchas veces vais a ver los polinomios representados con una letra:

P(x) = \(\large 2x^2 + 5x – 3\)

A esto se le llama función polinómica, pero este tema ya lo veremos más adelante

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Clases de polinomios según el número de términos

Monomio: Es un polinomio que consta de un solo monomio

\(\large P(x) = x^2\)

Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios

\(\large P(x) = 2x^2 + 3x\)

Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios

\(\large P(x) = 3x^2 + 2x – 3\)

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Polinomios nulos

El polinomio nulo (también llamado polinomio cero) es aquel en que todos los coeficientes son cero

\(\large P(x) = 0x^n + 0x^(n-1) + … + 0x + 0 = 0\)

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Forma reducida de un polinomio

Un polinomio no nulo se dice que está escrito en forma reducida si está expresado como una suma de monomios no nulos, todos ellos de distinto grado.

Si partimos del polinomio:

\(\large P (x) = 2x^3 + 3x^2 – 6x + x^3 – 5x^2 +2\)

Observamos que varios de los términos tienen el mismo grado. Este polinomio lo podemos simplificar haciendo las operaciones de los monomios que sean semejantes:

\(\large P (x) = (2x^3 + x^3) + (3x^2 – 5x^2) – 6x + 2\) \(\large P (x) = x^3 – 2x^2 – 6x + 2\)

Esta simplificación se llama reducción de términos semejantes, y cuando realizamos esta simplificación obtenemos la forma reducida de ese polinomio

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Grado de un polinomio

Grado de un polinomio no nulo

El grado de un polinomio no nulo es el grado del monomio de mayor grado que tenga el polinomio. Es decir, es el mayor exponente que tenga la letra.

Por ejemplo:

El polinomio \(\large P(x) = 2x^2 + 5x – 3\) tiene grado 2 (también decimos que este polinomio es de segundo grado) porque de todos los monomios que hay en este polinomio, el que tiene mayor grado es 2, y este monomio tiene grado 2.

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Grado de un polinomio nulo

Un polinomio nulo (el que tiene todos los coeficientes cero), no tiene grado (porque los monomios nulos tampoco tienen grado)

Por ejemplo:

\(\large P (x) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0\)

No tiene grado porque todos los monomios del polinomio son nulos, lo que hace que todo el polinomio sea nulo, y no tenga grado.

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Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si cumplen estas dos condiciones:

1. Si tienen el mismo grado

2. Si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales

Por ejemplo:

\(\large P (x) = 5x^2 + 2 – 3x\)

\(\large Q (x) = 2 – 3x + 5x^2\)

Son polinomios iguales

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Polinomios semejantes

Los polinomios semejantes son los que tienen las mismas partes literales

Por ejemplo:

\(\large P (x) = 2x^3 + 3x – 5\) \(\large Q (x) = 4x^3 – 2x + 3\)

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Polinomios ordenados

Los términos de un polinomio se suelen escribir ordenados según el grado de sus monomios

El orden puede ser creciente o decreciente

Polinomios ordenados de forma creciente: los monomios se ordena de mayor a menor grado

Polinomios ordenados de forma decreciente: los monomios se ordenan de menor a mayor grado

Por ejemplo:

El polinomio \(\large P (x) = 5x^2 + 2 – 3x\)

Lo podemos ordenar de forma creciente:

\(\large P (x) = 2 – 3x + 5x^2\)

o bien lo podemos ordenar de forma decreciente:

\(\large P (x) = 5x^2 – 3x + 2\)

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Polinomios completos y polinomios incompletos

Un polinomio completo es el que tiene todos los términos, desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

Por ejemplo:

\(\large P (x) = 5x^2 – 3x + 2\)

Un polinomio incompleto es al que le falta algún término, desde el término independiente hasta el término de mayor grado

Por ejemplo:

\(\large Q (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3\) \(\large R (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x\)

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Polinomios homogéneos y polinomios heterogéneos

En los polinomios homogéneos, todos los términos tienen el mismo grado

Por ejemplo:

\(\large P (x) = 2x^2 + 3xy\)

En los polinomios heterogéneos, todos los términos tienen diferente grado

Por ejemplo:

\(\large Q (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3\)

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Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el número que resulta de hacer los cálculos en el polinomio cuando las letras tienen un valor determinado: sustituimos la letra por el valor de la letra y hacemos los cálculos

Por ejemplo:

El valor numérico de \(\large P (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3\) cuando x = 2 es:

\(\large P (2) = 2 \cdot 2^3 – 5 \cdot 2^2 + 3 = 2 \cdot 8 – 5 \cdot 4 + 3 = 16 – 20 + 3 = -1\)

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VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

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CUESTIONARIO

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EJERCICIOS

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