Tabla de contenidos
- 1 VÍDEOS DE LA CLASE
- 2 POLINOMIOS
- 2.1 ¿Qué es un polinomio?
- 2.2 Términos de un polinomio
- 2.3 Clases de polinomios según el número de términos
- 2.4 Polinomios nulos
- 2.5 Forma reducida de un polinomio
- 2.6 Grado de un polinomio
- 2.7 Polinomios iguales
- 2.8 Polinomios semejantes
- 2.9 Polinomios ordenados
- 2.10 Polinomios completos y polinomios incompletos
- 2.11 Polinomios homogéneos y polinomios heterogéneos
- 2.12 Valor numérico de un polinomio
- 3 CUESTIONARIO
- 4 EJERCICIOS
VÍDEOS DE LA CLASE
POLINOMIOS
¿Qué es un polinomio?
En esta clase vamos a ver los polinomios. Un polinomio es una suma de un número finito de monomios.
Términos de un polinomio
Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llaman términos del polinomio.
Al monomio que no lleva la letra se le llama término independiente.
Los grados de los monomios siempre tienen que ser números naturales (0, 1, 2, ..)
En un polinomio, la variable (la letra) no puede aparecer en el denominador, ni tampoco como exponente, ni dentro de un radical.
El polinomio \(\large 2x^2 + 5x – 3\)
está formado por una suma de tres monomios.
Muchas veces vais a ver los polinomios representados con una letra:
P(x) = \(\large 2x^2 + 5x – 3\)
A esto se le llama función polinómica, pero este tema ya lo veremos más adelante
Clases de polinomios según el número de términos
Monomio: Es un polinomio que consta de un solo monomio
\(\large P(x) = x^2\)Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios
\(\large P(x) = 2x^2 + 3x\)Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios
\(\large P(x) = 3x^2 + 2x – 3\)Polinomios nulos
El polinomio nulo (también llamado polinomio cero) es aquel en que todos los coeficientes son cero
\(\large P(x) = 0x^n + 0x^(n-1) + … + 0x + 0 = 0\)Forma reducida de un polinomio
Un polinomio no nulo se dice que está escrito en forma reducida si está expresado como una suma de monomios no nulos, todos ellos de distinto grado.
Si partimos del polinomio:
\(\large P (x) = 2x^3 + 3x^2 – 6x + x^3 – 5x^2 +2\)Observamos que varios de los términos tienen el mismo grado. Este polinomio lo podemos simplificar haciendo las operaciones de los monomios que sean semejantes:
\(\large P (x) = (2x^3 + x^3) + (3x^2 – 5x^2) – 6x + 2\) \(\large P (x) = x^3 – 2x^2 – 6x + 2\)Esta simplificación se llama reducción de términos semejantes, y cuando realizamos esta simplificación obtenemos la forma reducida de ese polinomio
Grado de un polinomio
Grado de un polinomio no nulo
El grado de un polinomio no nulo es el grado del monomio de mayor grado que tenga el polinomio. Es decir, es el mayor exponente que tenga la letra.
Por ejemplo:
El polinomio \(\large P(x) = 2x^2 + 5x – 3\) tiene grado 2 (también decimos que este polinomio es de segundo grado) porque de todos los monomios que hay en este polinomio, el que tiene mayor grado es 2, y este monomio tiene grado 2.
Grado de un polinomio nulo
Un polinomio nulo (el que tiene todos los coeficientes cero), no tiene grado (porque los monomios nulos tampoco tienen grado)
Por ejemplo:
\(\large P (x) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0\)No tiene grado porque todos los monomios del polinomio son nulos, lo que hace que todo el polinomio sea nulo, y no tenga grado.
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si cumplen estas dos condiciones:
1. Si tienen el mismo grado
2. Si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales
Por ejemplo:
\(\large P (x) = 5x^2 + 2 – 3x\) \(\large Q (x) = 2 – 3x + 5x^2\)Son polinomios iguales
Polinomios semejantes
Los polinomios semejantes son los que tienen las mismas partes literales
Por ejemplo:
\(\large P (x) = 2x^3 + 3x – 5\) \(\large Q (x) = 4x^3 – 2x + 3\)Polinomios ordenados
Los términos de un polinomio se suelen escribir ordenados según el grado de sus monomios
El orden puede ser creciente o decreciente
Polinomios ordenados de forma creciente: los monomios se ordena de mayor a menor grado
Polinomios ordenados de forma decreciente: los monomios se ordenan de menor a mayor grado
Por ejemplo:
El polinomio \(\large P (x) = 5x^2 + 2 – 3x\)
Lo podemos ordenar de forma creciente:
\(\large P (x) = 2 – 3x + 5x^2\)o bien lo podemos ordenar de forma decreciente:
\(\large P (x) = 5x^2 – 3x + 2\)Polinomios completos y polinomios incompletos
Un polinomio completo es el que tiene todos los términos, desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
Por ejemplo:
\(\large P (x) = 5x^2 – 3x + 2\)Un polinomio incompleto es al que le falta algún término, desde el término independiente hasta el término de mayor grado
Por ejemplo:
\(\large Q (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3\) \(\large R (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x\)Polinomios homogéneos y polinomios heterogéneos
En los polinomios homogéneos, todos los términos tienen el mismo grado
Por ejemplo:
\(\large P (x) = 2x^2 + 3xy\)En los polinomios heterogéneos, todos los términos tienen diferente grado
Por ejemplo:
\(\large Q (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3\)Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el número que resulta de hacer los cálculos en el polinomio cuando las letras tienen un valor determinado: sustituimos la letra por el valor de la letra y hacemos los cálculos
Por ejemplo:
El valor numérico de \(\large P (x) = 2x^3 – 5x^2 + 3\) cuando x = 2 es:
\(\large P (2) = 2 \cdot 2^3 – 5 \cdot 2^2 + 3 = 2 \cdot 8 – 5 \cdot 4 + 3 = 16 – 20 + 3 = -1\)CUESTIONARIO
¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!
EJERCICIOS
Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que aparecen después de los ejercicios para ver cómo se resuelve.
Ejercicios sobre polinomios
Aquí tienes los ejercicios sobre polinomios algebraicos.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
