Tabla de contenidos
- 1 RAZONES ALGEBRAICAS
- 2 CUESTIONARIO
- 3 EJERCICIOS
RAZONES ALGEBRAICAS
Fracciones algebraicas enteras
Las razones algebraicas son una extensión natural de los números racionales. Las operaciones se definen de la misma forma y tienen las mismas propiedades.
Una fracción algebraica entera es el cociente indicado de dos polinomios enteros, siendo el divisor un polinomio no nulo.
Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción se reduce a un polinomio.
Ejemplo:
\(\LARGE \frac{x^{3}- 1}{x-1}=x^{2}+x+1\)
Valor numérico de una fracción algebraica
El cálculo del valor numérico de una fracción algebraica se realiza sustituyendo las letras o variables por los valores de las mismas. Como se trata de un cociente, tenemos que tener en cuenta que la división entre cero no está definida (no da como resultado un número real)
Pueden darse dos casos cuando el denominador es cero:
Primer caso: el denominador es 0 y el numerador es distinto de cero
En este caso no existe el valor numérico de la fracción ya que en este caso no tendría sentido la división entre cero.
Ejemplo: El valor numérico de la fracción \(\LARGE \frac{x^{3}- 2x^{2}+3y}{2y-6x}\) para x = 1 e y = 3 no existe, ya que el denominador es 0:
\(\LARGE \frac{1-2+9}{6-6}=\frac{8}{0}\)
Segundo caso: el numerador y el denominador son 0
En este caso el valor numérico tampoco tendría sentido en matemáticas (es una indeterminación)
Ejemplo: El valor numérico de la fracción algebraica \(\LARGE \frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\) para x = 1 se obtiene sustituyendo la x por un 1:
\(\LARGE \frac{1^{3}-1}{1^{2}-1}=\frac{0}{0}\)
Los valores de x para los cuales no existe valor numérico en una fracción son las raíces del denominador, es decir, son los valores para los que el denominador se hace cero.
Fracciones algebraicas equivalentes. Razones algebraicas
Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico para cualesquiera valores que atribuyamos a sus letras.
Como vemos, la definición de fracciones algebraicas equivalentes es la misma que la dada para expresiones algebraicas en general.
Ejemplo: Las fracciones \(\LARGE \frac{x^{2}+y^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}\) y \(\LARGE \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}\) son fracciones algebraicas equivalentes ya que los numeradores son iguales y los denominadores son polinomios enteros equivalentes.
Para comprobar esto vamos a utilizar letras:
Si \(\LARGE \frac{A}{B}\) y \(\LARGE \frac{C}{D}\) son dos fracciones algebraicas, entonces:
Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando el producto de medios es igual al producto de extremos.
El conjunto de las fracciones equivalentes se llama razón algebraica.
En adelante tomaremos la palabra fracción como sinónima de razón, ya que una fracción particular determina todo el conjunto de fracciones equivalentes.
Verdadero valor de una fracción algebraica
La fracción algebraica \(\LARGE \frac{3x-3}{x^{2}-x}\) toma valores numéricos para todos los valores de x, excepto para los que anulan al denominador, que son x = 0 y x = 1.
Para x = 0 tenemos que \(\LARGE \frac{0-3}{0-0}=\frac{-3}{0}\), que no tiene sentido
Para x = 1 tenemos que \(\LARGE \frac{3-3}{1-1}=\frac{0}{0}\), que es una indeterminación
En el segundo caso, como el numerador y el denominador se anulan para x = 1, podemos dividir ambos por x – 1 (teorema del factor) y obtenemos:
\(\LARGE \frac{3x-3}{x^{2}-x}=\frac{3\left ( x-1 \right )}{x\left ( x-1 \right )}=\frac{3}{x}\)
Las fracciones \(\LARGE \frac{3x-3}{x^{2}-x}\) y \(\LARGE \frac{3}{x}\) son equivalentes ya que el producto de extremos es igual al producto de medios.
La fracción dada no tiene valor numérico para x = 1 ya que aparece la expresión \(\LARGE \frac{0}{0}\).
La fracción equivalente \(\LARGE \frac{3}{x}\) tiene para x = 1 el valor numérico 3
Por tanto, parece conveniente asociar la fracción dada, para x = 1 el valor numérico 3, ya que así también son equivalentes desde el punto de vista numérico. Este valor dado por definición recibe el nombre de verdadero valor de la fracción para x = 1.
Si en una fracción algebraica aparece la expresión \(\LARGE \frac{0}{0}\) al sustituir x por a, se puede dividir numerador y denominador por x – a (teorema del factor), obteniéndose otra fracción equivalente. Si esta fracción toma un valor determinado para x = a, se dice que es el verdadero valor de la fracción dada. Si aparece de nuevo la expresión \(\LARGE \frac{0}{0}\) , se repite el proceso.
Algunas propiedades de las fracciones algebraicas
Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio, distinto del polinomio nulo, obtenemos otra fracción algebraica equivalente a la dada.
La simplificación de fracciones algebraicas y la reducción de éstas a común denominador son también propiedades que se derivan de esta propiedad.
Simplificación de fracciones algebraicas
Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por un mismo factor no nulo.
Una fracción es irreducible cuando no puede simplificarse más. En este caso se dice que el numerador y el denominador son polinomios primos entre sí.
Para simplificar las fracciones algebraicas se descomponen el numerador y el denominador en factores y luego se suprimen los factores comunes.
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir dos o más fracciones algebraicas a común denominador es hallar otras fracciones, equivalentes a las primeras, que tengan todas ellas el mismo denominador.
Para ello utilizamos el método del mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo: Tenemos estas tres fracciones:
\(\LARGE \frac{3}{x-1}\), \(\LARGE \frac{x}{x-1}\) y \(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}-1}\)
Para calcular sus fracciones equivalentes con igual denominador, primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
\(\large x-1=x-1\)
\(\large x+1=x+1\)
\(\large x^{2}-1=\left ( x+1 \right )\cdot \left ( x-1 \right )\)
Entonces el m.c.m. de los denominadores es: \(\large x^{2}-1\)
Ahora calculamos las fracciones algebraicas equivalentes a las dadas:
\(\LARGE \frac{3}{x-1}=\frac{3\left ( x+1 \right )}{x^{2}-1}\)
\(\LARGE \frac{x}{x+1}=\frac{x\left ( x-1 \right )}{x^{2}-1}\)
\(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{x^{2}-1}\)
por lo tanto, las fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador son:
\(\LARGE\frac{3\left ( x+1 \right )}{x^{2}-1}\), y \(\LARGE \frac{x\left ( x-1 \right )}{x^{2}-1}\) y \(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}-1}\)
Suma y resta de fracciones algebraicas
La suma o resta de dos fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador es otra fracción algebraica que tiene por numerador la suma o diferencia de los numeradores y por denominador el denominador común.
Si las fracciones algebraicas no tienen el mismo denominador, para poder sumarlas o restarlas, primero tenemos que reducirlas a común denominador y luego hacer la suma o resta.
Para sumar o restar fracciones algebraicas es conveniente simplificarlas antes de operar para que los cálculos sean más fáciles.
Ejemplo: Sumar las razones algebraicas \(\LARGE \left [ \frac{x}{x^{2}+2x-8} \right ]+\left [ \frac{x-1}{x^{2}+x-6} \right ]\)
Como m.c.m. \(\large \left ( x^{2}+2x-8,\: \; x^{2}+x-6 \right )=x^{3}+5x-2x-24=\left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x+4 \right )\), se tiene:
\(\LARGE \left [ \frac{x}{x^{2}+2x-8} \right ]=\left [ \frac{x}{\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )} \right ]=\left [ \frac{x\left ( x+3 \right )}{\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )\left ( x+3 \right )} \right ]= \left [ \frac{x^{2}+3x}{\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )\left ( x+3 \right )} \right ]\)
\(\LARGE \left [ \frac{x-1}{x^{2}+x-6} \right ]=\left [ \frac{x-1}{\left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )} \right ]= \left [ \frac{\left ( x-1 \right )\left ( x+4 \right )}{\left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x+4 \right )} \right ]=\left [ \frac{x^{2}+3x-4}{\left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x+4 \right )} \right ]\)
Por lo tanto:
\(\LARGE \left [ \frac{x}{x^{2}+2x-8} \right ]+\left [ \frac{x-1}{x^{2}+x-6} \right ]= \left [ \frac{x^{2}+3x}{\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )\left ( x+3 \right )} \right ]+\left [ \frac{x^{2}+3x-4}{\left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x+4 \right )} \right ]=\left [ \frac{2x^{2}+6x-4}{\left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x+4 \right )} \right ]\)
Ejemplo: Hallar la diferencia entre entre las razones algebraicas: \(\LARGE \frac{2x}{x+1}-\frac{3}{x}\) y \(\LARGE \frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{x}{x+1}\).
\(\LARGE \frac{2x}{x+1}-\frac{3}{x}= \frac{2x}{x+1}+\frac{-3}{x}= \frac{2x^{2}}{x\left ( x+1 \right )}+\frac{-3\left ( x+1 \right )}{x\left ( x+1 \right )}=\frac{2x^{2}-3x-3}{x\left ( x+1 \right )}\)
\(\LARGE \frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{x}{x+1}= \frac{x^{2}}{x^{2}+1}+\frac{-x}{x+1}= \frac{x^{2}\left ( x+1 \right )+\left ( x^{2}+1 \right )\left ( -x \right )}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )}=\frac{x^{2}-x}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )}\)
Propiedades de la suma de fracciones algebraicas
Las propiedades de la suma de fracciones algebraicas son:
-Propiedad conmutativa
-Propiedad asociativa
-Elemento neutro (que es la fracción cero, es decir, aquella fracción cuyo numerador es cero y cuyo denominador es distinto de cero)
-Elemento opuesto. Dos fracciones algebraicas son opuestas cuando su suma es 0.
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
Propiedades del producto de fracciones algebraicas
El producto de fracciones algebraicas verifica las siguientes propiedades:
-Propiedad conmutativa
-Propiedad asociativa
-Elemento neutro (que es la fracción unidad, es decir, aquella cuyo numerador y denominador son iguales)
-Elemento inverso (siempre que la fracción sea no nula). Dos fracciones son inversas cuando su producto es 1.
Las fracciones \(\LARGE \frac{2x-5y}{x^{2}-1}\) y \(\LARGE \frac{x^{2}-1}{2x-5y}\) son inversas porque su producto es la fracción unidad:
\(\LARGE \frac{2x-5y}{x^{2}-1}\cdot \frac{x^{2}-1}{2x-5y}=1\)
El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando el dividendo por la inversa del divisor (producto de medios partido de producto de extremos)
Para multiplicar o dividir fracciones algebraicas es conveniente simplificarlas antes de operar para que los cálculos sean más fáciles.
Ejemplo: Multiplicar las razones algebraicas: \(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}-2}\cdot \frac{x-1}{x^{2}+2}\)
\(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}-2}\cdot \frac{x-1}{x^{2}+2}=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{\left ( x^{2}-2 \right )\left ( x^{2}+2 \right )}=\frac{x^{2}-1}{x^{4}-4}\)
Ejemplo: Hallar los cocientes entre las razones algebraicas: \(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}+1}\div \frac{x}{x^{2}-1}\)
\(\LARGE \frac{x+1}{x^{2}+1}\div \frac{x}{x^{2}-1}= \frac{x+1}{x^{2}+1}\cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}-1 \right )}{\left ( x^{2}+1 \right )x}=\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x^{3}+x}\)
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