VALORES APROXIMADOS DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES

VALORES APROXIMADOS DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES

En esta clase vamos a ver los valores aproximados de los números reales y vamos a identificar los errores derivados de dichas aproximaciones.

Valor aproximado de un número real

Cuando hacemos cálculos es habitual utilizar valores aproximados. A veces lo hacemos porque es más cómodo operar con números con pocas cifras decimales y otras veces utilizamos aproximaciones porque es difícil conocer el valor exacto del número o es imposible calcularlo.

Ejemplo: el número \({\sqrt{3}}\) tiene una escritura decimal de infinitas cifras no periódicas por ser un número irracional:

\({\sqrt{3}}=1,732050…\)

Los siguientes números:

1,   1,7,   1,73,   1,732,   1,7320,   1,73205,   …..

son aproximaciones o valores aproximados al número \({\sqrt{3}}\), pero ninguno de ellos es el número \({\sqrt{3}}\).

Aproximación de orden n

Llamamos aproximación de orden n a un número real cuando expresamos dicho número real con n cifras decimales finitas.

• Cuando n= 1 (orden 1) decimos que aproximamos el número real a las décimas.
• Cuando n = 2 (orden 2) decimos que aproximamos el número real a las centésimas.
• Cuando n = 3 (orden 3) decimos que aproximamos el número real a las milésimas.

Y así sucesivamente.

Entonces:

• Si sustituimos \({\sqrt{3}}\) por 1,7 estamos haciendo una aproximación a \({\sqrt{3}}\) de orden 1.
• Si sustituimos \({\sqrt{3}}\) por 1,73 estamos haciendo una aproximación a \({\sqrt{3}}\) de orden 2.
• Si sustituimos \({\sqrt{3}}\) por 1,732 estamos haciendo una aproximación a \({\sqrt{3}}\) de orden 3.

Aproximación a un número real y errores

Cuando sustituimos \({\sqrt{3}}\) por 1,7 estamos cometiendo un error.

Los errores se derivan de hacer aproximaciones al valor exacto o real de un número.

Por tanto, el error de una aproximación a un número es lo que nos estamos desviando del valor real del número al hacer dicha aproximación. De esto deducimos que una aproximación a un número será mejor cuanto menor sea el error cometido.

Debemos tener siempre en cuenta que, aunque el error que podamos estar cometiendo al aproximarnos a un número pueda no ser significativo, la acumulación de errores al realizar los cálculos con ese número y otros números que también sean aproximaciones de su valor real, puede hacer que el error cometido en el resultado de final de dichas operaciones sí pueda ser significativo y se aleje significativamente del valor verdadero del resultado.

Definición general de error

Sean a, x, ε tres números reales con ε > 0.

Se dice que x es un valor aproximado de a con error menor o igual que ε si se verifica:

o también:

Ejemplo: El número 3,14 es un valor aproximado de π con error menor o igual que 0,01, ya que:

3,14 – 0,01 ≤ π ≤ 3,14 + 0,01

3,13  ≤ π ≤ 3,15

Cifras significativas de una aproximación

En este contexto llamaremos cifras significativas de una aproximación a las cifras que se usan para expresar el valor aproximado a un número real.

Sólo utilizaremos las cifras que sean relevantes y que expresen de forma más real el resultado que queremos transmitir. El resto de las cifras no las vamos a escribir puesto que serán consideradas no relevantes.

Por ejemplo para hacer cálculos con el número π, en general utilizaremos una aproximación con 3 cifras significativas π = 3’14 (aunque en algunos casos tendríamos que ampliar las cifras significativas si fuese necesario aumentar el nivel de precisión, por ejemplo π = 3’1416)

Tipos de aproximaciones

Vamos a definir con exactitud la limitación de este error; para ello vamos a ver las siguientes definiciones:

• Valor aproximado de un número por defecto o truncamiento con error menor o igual que ε
• Valor aproximado de un número por exceso con error menor o igual que ε
• Valor aproximado de un número por redondeo.

a) Aproximación por defecto o truncamiento

Cuando hacemos una aproximación a un número por defecto o truncamiento, eliminamos las cifras decimales a partir del orden que consideremos, es decir sólo incluimos las décimas si hacemos una aproximación de orden 1, las centésimas si hacemos una aproximación de orden 2, las milésimas si hacemos una aproximación de orden 3,….

Ejemplo: Vamos a hacer una aproximación al número π = 3,14159… por defecto o truncamiento:

• Aproximación por defecto o truncamiento a las décimas: π = 3,1 (cortamos o truncamos el número a partir de las décimas)
• Aproximación por defecto o truncamiento a las centésimas: π = 3,14 (cortamos o truncamos el número a partir de las centésimas)
• Aproximación por defecto o truncamiento a las milésimas: π = 3,141 (cortamos o truncamos el número a partir de las milésimas)

Sean a, x, ε tres números reales con ε > 0.

Se dice que x es un valor aproximado de a por defecto o truncamiento con error menor o igual que ε si se verifica:

o también:

Ejemplo: El número 1,73 es un valor aproximado de \(\sqrt{3}\) por defecto o truncamiento con error menor o igual que 0,01, ya que:

\(1,73\leq \sqrt{3}\leq 1,73+0,01\)

\(1,73\leq \sqrt{3}\leq 1,74\)

b) Aproximación por exceso

Cuando hacemos una aproximación a un número por exceso, eliminamos las cifras decimales a partir del orden que consideremos y sumamos uno a la última cifra decimal.

Ejemplo: Vamos a hacer una aproximación al número π = 3,14159… por exceso:

• Aproximación por exceso a las décimas: π = 3,2 (cortamos el número a partir de las décimas y sumamos +1 a las décimas)
• Aproximación por exceso a las centésimas: π = 3,15 (cortamos el número a partir de las centésimas y sumamos +1 a las centésimas)
• Aproximación por defecto o truncamiento a las milésimas: π = 3,142 (cortamos el número a partir de las milésimas y sumamos +1 a las milésimas)

Se dice que x es un valor aproximado de a por exceso con error menor o igual que ε si se verifica:

o también:

Ejemplo: El número 1,415 es un valor aproximado de \(\sqrt{2}\) por exceso, con error menor o igual que 0,001, ya que:

\(1,415-0,001\leq \sqrt{2}\leq 1,415\)

\(1,414\leq \sqrt{2}\leq 1,415\)

c) Aproximación por redondeo

Cuando nos aproximamos a un número real por redondeo, eliminamos todas las cifras decimales a partir del orden considerado y, si la cifra siguiente al orden considerado es mayor o igual a 5, se suma +1 a la última cifra decimal que incluimos.

Ejemplos de aproximación por redondeo a las centésimas (orden 2):

• 1,251 ≅ 1,25 (como la milésima es menor que 5 cortamos por las décimas)
• 1,255 ≅ 1,26 (como la milésima es igual a 5 cortamos por las décimas y sumamos +1 a las milésimas)
• 1,258 ≅ 1,26 (como la milésima es mayor que 5 cortamos por las décimas y sumamos +1 a las milésimas)

Tipos de Errores

Como hemos mencionado antes, siempre que hagamos una aproximación a un número real vamos a cometer un error. Este error necesita ser controlado para que el valor aproximado sea suficientemente bueno.

Hay dos tipos principales de errores: error absoluto y error relativo (este último también se puede expresar en forma porcentual).

Además de cometer errores al hacer aproximaciones a números, también se pueden cometer errores al hacer mediciones.

En el cálculo de estos errores, conocemos tanto el valor real como el valor aproximado del número en cuestión.

Error absoluto

El Error Absoluto (\(E_{a}\) ) es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto o valor real (\(V_{r}\)) de un número y la aproximación que estamos haciendo a dicho valor (\(V_{a}\)):

\(E_{a}=\left | V_{r}-V_{a} \right |\)

El Error Absoluto nos indica la precisión de la aproximación (a mayor error más nos estamos alejando del Valor Exacto del número).

Ejemplo:

Valor Real = \(V_{r}\) = 20,0000 cm

Valor Aproximado = \(V_{a}\) = 19,9999 cm

\(E_{a}=\left | 20-19,9999 \right |=\left | 0,0001 \right |=0,0001\) cm

Error relativo

Un problema a la hora de utilizar la aproximación a un número es que en ocasiones la aproximación no está bien calibrada (el error absoluto no nos da suficiente información para saber si ese error es grande o pequeño, y por lo tanto tampoco garantiza que la aproximación sea buena).

Por ejemplo, aproximar a los centímetros un guisante nos daría un error enorme y nos podríamos estar desviando mucho del valor verdadero de la medida del guisante si aproximamos su medida a los centímetros; cometeríamos un error mucho menor si aproximásemos a los milímetros la medida del guisante, por ejemplo. Por eso muchas veces lo que se hace es normalizar (o relativizar) el error respecto al verdadero valor. Cuantas más cifras significativas utilicemos para calcular el error relativo, éste será menor.

Para decidir si una aproximación es buena o mala utilizaremos el error relativo.

El Error Relativo (\(E_{r}\)) es el cociente entre el Error Absoluto (\(E_{a}\)) y el Valor Real (\(V_{r}\)) del número:

\(\large E_{r}=\left | \frac{E_{a}}{V_{r}} \right |=\left | \frac{V_{r}-V_{a}}{V_{r}} \right |\)

Ejemplo:

Valor Real=  = 20,0000 cm

Valor Aproximado =  = 19,9999 cm

\(\large E_{r}=\left | \frac{20-19,9999}{20} \right |=\left | \frac{0,0001}{20} \right |=0,000005\) cm.

Error Relativo Porcentual

Muchas veces nos interesa definir el error relativo como un porcentaje para ver más fácilmente si el error relativo es lo suficientemente pequeño para asegurar que nuestra aproximación sea lo suficientemente buena.

Entonces utilizaremos el Error Relativo Porcentual (\(E_{r}(\%)\)):

\(E_{r}(\%)=E_{r}\times 100\)

\(\large E_{r}(\%)=\left | \frac{V_{r}-V_{a}}{V_{r}} \right |\times 100\)

Ejemplo:

Valor Real =\(V_{r}\) = 20,0000 cm

Valor Aproximado = \(V_{a}\) = 19,9999 cm

\(\large E_{r}(\%)=\left | \frac{20-19,9999}{20} \right |\times 100=0,0005\%\)

Cotas de los errores

En las aproximaciones a los números irracionales, el cálculo de los errores no va a ser exacto debido a que el número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Aquí debemos de tener mucho cuidado a la hora de utilizar aproximaciones y, como no podemos calcular el error (ni el absoluto ni el relativo) al no disponer del valor real, necesitamos al menos poner límites a los errores que estamos cometiendo.

Para ello introducimos el concepto de cota del error, que nos indican cuánto nos podemos equivocar como máximo al utilizar una aproximación.

El uso de las cotas de los errores implica que no conocemos el valor real del número; sólo conocemos su aproximación y se utilizan para valora si la aproximación que hemos hecho es lo suficientemente buena.

Cota de error absoluto

Una cota del error absoluto es un número k que cumple:

\(E_{a}< k\)

Las cotas de error se obtienen a partir de la última cifra significativa utilizada. En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una unidad del orden n de la última cifra significativa de la aproximación:

\(\large k=\frac{1}{10^{n}}\)

El orden n será 1 si la última cifra significativa de la aproximación son las décimas; 2 si la última cifra significativa son las centésimas, y así sucesivamente.

Ejemplo: Si aproximamos π a las milésimas tenemos que π = 3,141. Esta sería una aproximación de orden 3 porque tiene tres cifras decimales, por lo tanto la cota de error absoluto en este caso sería:

\(\large k=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1000}=0,001\)

En este caso el error absoluto no debería ser mayor que 0,001.

\(E_{a}< 0,001\)

Entonces 0,001 sería la cota de error absoluto al hacer la aproximación π = 3,141

Caso particular: Cota de error absoluto en los redondeos

En el caso particular de que la aproximación se hubiese hecho por redondeo, este error se divide por la mitad ya que en el proceso de redondeo se establece si la siguiente cifra a la última cifra considerada es menor que 5 (se habría hecho en este caso una aproximación por defecto) o mayor o igual a 5 (se haría hecho en este caso una aproximación por exceso)

Ejemplo: si redondeamos π = 3,14159… a las centésimas por redondeo obtenemos π = 3,142 (le hemos sumado +1 a las centésimas porque la siguiente cifra es 5), con lo cual estamos haciendo un redondeo por exceso, pero este error no va a ser de una milésima (como hemos visto en el caso anterior), sino de media porque al conocer que es un redondeo por exceso, sabemos que la cuarta cifra decimal es mayor que cinco, con lo cual el error cometido es como mucho de media milésima, es decir, entre 3,14159… y 3,142 hay menos de media milésima (menos de 0,5 milésimas):

3,142 – 3,14159.. = 0,00041…  0,0005

\(E_{a}< 0,0005\)

Por lo tanto, para calcular la cota del error absoluto cuando la aproximación se halla hecho por redondeo, podemos utilizar esta fórmula:

\(\large k=\frac{1}{2\cdot 10^{n}}\)

En el ejemplo de antes, al hacer π = 3,142 (aproximación por redondeo), calcularíamos así la cota de error absoluto:

\(\large k=\frac{1}{2\cdot 10^{3}}=\frac{1}{2000}=0,0005\)

Por lo tanto:\(E_{a}< 0,0005\)

Dicho de otro modo, en las aproximaciones hechas por redondeo, la cota de error absoluto es media unidad  (0,5) del orden de la última cifra significativa considerada o también podemos decir que esta cota es de 5 unidades del orden de la primera cifra no significativa (en nuestro ejemplo, media milésima o 5 diezmilésimas, que son lo mismo: 0,0005 unidades)

Cota de error relativo

Una cota del error relativo es un número k’ que cumple: \(E_{r}< k’\)

La cota de error relativo se obtiene dividiendo la cota de error absoluta entre el valor real:

\(\large k’=\frac{k}{V_{r}}\approx \frac{k}{V_{a}}\)

Al no disponer del valor real del número, tendremos que utilizar su valor aproximado.

Ejemplo: Vamos a dar una cota del error absoluto y otra del error relativo de la distancia desde un pueblo A hasta otro pueblo B, que se han medido en 15,30 Km. aproximadamente.

La cota de error absoluto sería (ya que n = 2):

\(\large k=\frac{1}{10^{n}}=\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{100}=0,01\Rightarrow E_{a}=0,01\)

La cota del error relativo sería:

\(\large k’=\frac{k}{V_{a}}=\frac{0,01}{15,30}=0,0006535\Rightarrow E_{r}< 0,0006535\Rightarrow E_{r}(\%)<0,06\%\)

EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

Ejercicios sobre los valores aproximados de los números reales y los errores

Aquí tienes los ejercicios sobre los valores aproximados de los números reales y los errores cometidos en las aproximaciones.

Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.

PROBLEMAS

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