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SUMA DE NÚMEROS REALES
En esta clase vamos a ver la suma de números reales. Veremos cómo se suman los números reales y cuáles son sus propiedades.
Suma de números reales
Caso particular
Consideremos los números reales \(\sqrt{3}\) y \(\pi\).
\(\sqrt{3}=\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\;1,732\; ,\; 1,7320\; ,… \right )\) \(\pi =\left ( 3\; , \; 3,1\; \; 3,14\; ,\; 3,141\; ,\; 3,1415\; ,… \right )\)Si queremos hallar el número \(\sqrt{3}+\pi\) sumaremos término a término las dos sucesiones anteriores, obteniendo:
\(\sqrt{3}+\pi =\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\;1,732\; ,\; 1,7320\; ,… \right )+\left ( 3\; , \; 3,1\; \; 3,14\; ,\; 3,141\; ,\; 3,1415\; ,… \right )= \left ( 1+3\; ,\; 1,7+3,1\; ,\; 1,73+3,14\; ,\; 1,732+3,141\; ,\; 1,7320+3,1415\; ,… \right )=\left ( 4\, ,\, 4,8\; ,\; 4,87\; ,\; 4,873\; ,\; 4,8735\; ,… \right )\)
Caso general
Sean \(x=\left ( x_{1},\; x_{2},\;x_{3},… \right )\) e \(y=\left ( y_{1},\; y_{2},\;y_{3},… \right )\) dos números reales cualesquiera expresados mediante sucesiones decimales. Se llama suma de x e y y se expresa \(x+y\) al número real dado por la sucesión decimal \(\left ( x_{1}+y_{1},\; x_{2}+y_{2},\;x_{3}+y_{3},… \right )\)
Esta operación es un aplicación de ℝ x ℝ en ℝ y por tanto es una ley de composición interna en ℝ.
Propiedades de la suma de números reales
La suma de los números reales verifica las propiedades siguientes:
- Asociativa
- Conmutativa
- Existencia de elemento neutro
- Existencia de elemento opuesto
- Sustracción de números reales
Propiedad asociativa
Dados tres números reales cualesquiera x, y , z se verifica que (x + y) + z= x + (y +z)
Propiedad conmutativa
Dados dos números reales cualesquiera x e y se verifica que x + y = y + x
Existencia de elemento neutro
Llamamos número real 0 al que viene dado por la sucesión decimal 0 = (0, 0, 0, …)
Este número es el elemento neutro de la adición y verifica:
\(\forall x\in \mathbb{R},\; x+0=x\)
Existencia de elemento opuesto
Dado un número real \(x=\left ( x_{1},\; x_{2},\;x_{3},… \right )\), llamaremos opuesto de x, y representaremos por –x al que tiene la siguiente sucesión decimal:
Este número verifica:
\(x+\left ( -x \right )=0\)
Ejemplo: El opuesto de \(\sqrt{2}=\left ( 1\; ,\; 1,4\; ,\; 1,41\; ,\; 1,414\; ,… \right )\) es:
\(-\sqrt{2}=\left ( -1\; ,\; -1,4\; ,\; -1,41\; ,\; -1,414\; ,… \right )\)
Como consecuencia de estas cuatro propiedades de la adición diremos que el par (ℝ, +) es un grupo conmutativo
Resta de números reales
Por ser (ℝ, +) un grupo, todo elemento posee opuesto y en consecuencia es posible definir la operación opuesta.
Sean x e y dos números reales. Se llama diferencia de x e y, y se escribe x – y a la suma de x con el opuesto de y; es decir:
Si \(x=\left ( x_{1},\; x_{2},\;x_{3},… \right )\), e \(y=\left ( y_{1},\; y_{2},\;y_{3},… \right )\), entonces:
\(x-y=\left ( x_{1}-y_{1},\; x_{2}-y_{2},\;x_{3}-y_{3},… \right )\)
Ejemplo: Calcular \(\sqrt{3}-\frac{1}{3}\)
\(\sqrt{3}=\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\; 1,732\; ,\; 1,7320\; ,… \right )\) \(\frac{1}{3}=\left ( 0\; ,\; 0,3\; ,\; 0,33\; ,\; 0,333\; ,\; 0,3333\; ,… \right )\)Entonces:
\(\sqrt{3}-\frac{1}{3}=\left ( 1-0\; ,\; 1,7-0,3\; ,\; 1,73-0,33\; ,\; 1,732-0,333\; ,\; 1,7320-0,3333\; ,… \right )\) \(\sqrt{3}-\frac{1}{3}=\left ( 1\; ,\; 1,4\; ,\; 1,40\; ,\; 1,399\; ,\; 1,3987\; ,… \right )\)EJERCICIOS
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