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SUMA DE NÚMEROS REALES
En esta clase vamos a ver la suma de números reales. Veremos cómo se suman los números reales y cuáles son sus propiedades.
Suma de números reales
Caso particular
Consideremos los números reales \(\sqrt{3}\) y \(\pi\).
\(\sqrt{3}=\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\;1,732\; ,\; 1,7320\; ,… \right )\) \(\pi =\left ( 3\; , \; 3,1\; \; 3,14\; ,\; 3,141\; ,\; 3,1415\; ,… \right )\)Si queremos hallar el número \(\sqrt{3}+\pi\) sumaremos término a término las dos sucesiones anteriores, obteniendo:
\(\sqrt{3}+\pi =\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\;1,732\; ,\; 1,7320\; ,… \right )+\left ( 3\; , \; 3,1\; \; 3,14\; ,\; 3,141\; ,\; 3,1415\; ,… \right )= \) \(= \left ( 1+3\; ,\; 1,7+3,1\; ,\; 1,73+3,14\; ,\; 1,732+3,141\; ,\; 1,7320+3,1415\; ,… \right )=\) \(=\left ( 4\, ,\, 4,8\; ,\; 4,87\; ,\; 4,873\; ,\; 4,8735\; ,… \right )\)Caso general
Sean \(x=\left ( x_{1},\; x_{2},\;x_{3},… \right )\) e \(y=\left ( y_{1},\; y_{2},\;y_{3},… \right )\) dos números reales cualesquiera expresados mediante sucesiones decimales. Se llama suma de x e y y se expresa \(x+y\) al número real dado por la sucesión decimal \(\left ( x_{1}+y_{1},\; x_{2}+y_{2},\;x_{3}+y_{3},… \right )\)
Esta operación es un aplicación de ℝ x ℝ en ℝ y por tanto es una ley de composición interna en ℝ.
Propiedades de la suma de números reales
La suma de los números reales verifica las propiedades siguientes:
- Asociativa
- Conmutativa
- Existencia de elemento neutro
- Existencia de elemento opuesto
- Sustracción de números reales
Propiedad asociativa
Dados tres números reales cualesquiera x, y , z se verifica que (x + y) + z= x + (y +z)
Propiedad conmutativa
Dados dos números reales cualesquiera x e y se verifica que x + y = y + x
Existencia de elemento neutro
Llamamos número real 0 al que viene dado por la sucesión decimal 0 = (0, 0, 0, …)
Este número es el elemento neutro de la adición y verifica:
\(\forall x\in \mathbb{R},\; x+0=x\)
Existencia de elemento opuesto
Dado un número real \(x=\left ( x_{1},\; x_{2},\;x_{3},… \right )\), llamaremos opuesto de x, y representaremos por –x al que tiene la siguiente sucesión decimal:
Este número verifica:
\(x+\left ( -x \right )=0\)
Ejemplo: El opuesto de \(\sqrt{2}=\left ( 1\; ,\; 1,4\; ,\; 1,41\; ,\; 1,414\; ,… \right )\) es:
\(-\sqrt{2}=\left ( -1\; ,\; -1,4\; ,\; -1,41\; ,\; -1,414\; ,… \right )\)
Como consecuencia de estas cuatro propiedades de la adición diremos que el par (ℝ, +) es un grupo conmutativo
Resta de números reales
Por ser (ℝ, +) un grupo, todo elemento posee opuesto y en consecuencia es posible definir la operación opuesta.
Sean x e y dos números reales. Se llama diferencia de x e y, y se escribe x – y a la suma de x con el opuesto de y; es decir:
Si \(x=\left ( x_{1},\; x_{2},\;x_{3},… \right )\), e \(y=\left ( y_{1},\; y_{2},\;y_{3},… \right )\), entonces:
\(x-y=\left ( x_{1}-y_{1},\; x_{2}-y_{2},\;x_{3}-y_{3},… \right )\)
Ejemplo: Calcular \(\sqrt{3}-\frac{1}{3}\)
\(\sqrt{3}=\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\; 1,732\; ,\; 1,7320\; ,… \right )\) \(\frac{1}{3}=\left ( 0\; ,\; 0,3\; ,\; 0,33\; ,\; 0,333\; ,\; 0,3333\; ,… \right )\)Entonces:
\(\sqrt{3}-\frac{1}{3}=\left ( 1-0\; ,\; 1,7-0,3\; ,\; 1,73-0,33\; ,\; 1,732-0,333\; ,\; 1,7320-0,3333\; ,… \right )\) \(\sqrt{3}-\frac{1}{3}=\left ( 1\; ,\; 1,4\; ,\; 1,40\; ,\; 1,399\; ,\; 1,3987\; ,… \right )\)EJERCICIOS
Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.
Ejercicios sobre la suma de números reales
Aquí tienes los ejercicios sobre la suma de números reales.
Aquí podrás encontrar las clases con más ejercicios para practicar la suma de números reales:
- Ejercicios sobre la suma de números enteros
- Ejercicios sobre las propiedades de la suma de los números enteros
- Ejercicios sobre de suma de números racionales
- Ejercicios sobre las propiedades de la suma de los números racionales
- Ejercicios sobre la suma de números decimales
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.