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Ordenación de los números reales
Anteriormente hemos visto que el cuerpo de los números racionales ℚ es un cuerpo totalmente ordenado. Ahora vamos a ver que ℝ también es un cuerpo totalmente ordenado, respetando el orden de ℚ. Aquí veremos la ordenación de los números reales.
Nomenclatura
Llamaremos números reales positivos a todos los números reales que tienen una representación sobre la recta a la derecha de cero, y llamaremos números reales negativos a todos los números reales que tienen una representación sobre la recta a la izquierda de cero.
De ahora en adelante representaremos por:
\(\large \mathbb{R}^{+}\)el conjunto de los números reales positivos incluido el cero.
\(\large \mathbb{R}^{-}\) el conjunto de los números reales negativos incluido el cero.
\(\large \mathbb{R}^{*}\) el conjunto de los números reales excluido el cero.
\(\large \mathbb{R}_{+}^{*}\) el conjunto de los números reales positivos excluido el cero.
\(\large \mathbb{R}_{-}^{*}\) el conjunto de los números reales negativos excluido el cero.
Definición de orden
Dados dos números reales cualesquiera a y b, se dice que a es menor o igual que b, y se escribe a ≤ b si se verifica que b – a ∈ ℝ +, es decir:
- La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a y se lee “b mayor o igual que a”
- Cuando a ≤ b y a ≠ b, s escribe a < b y se lee “a menor estrictamente que b”
- La relación a< b se escribe también b > a y se lee “b mayor estrictamente que a”
Por ejemplo, si a = 2,2568 y b = 2,2569, se verifica que a ≤ b ya que b – a ∈ ℝ +. Como existe una biyección entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de la recta r, esta biyección transporta la estructura de orden de ℝ a la recta.
De esta forma, dados dos puntos A y B de la recta, que son abscisas de los números reales a y b, respectivamente, se dice que A precede a B y se se escribe A≤B si a es menor o igual a b, es decir:
Ejemplo:
Esta relación es de orden total en ℝ y en consecuencia el par (ℝ , ≤) es un cuerpo totalmente ordenado.
La relación “menor o igual” es un orden total en ℝ
Por cumplirse las siguientes propiedades:
- Reflexiva: Para todo número real a, se cumple que a ≤ a ya que a – a = 0 ∈ ℝ +.
- Antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a, entonces se cumple que a = b:
- Transitiva: Si a ≤ b y b ≤ c, entonces se cumple que a ≤ c:
Entonces también se cumple la siguiente propiedad:
- Tricotomía: Para cualquier a, b se verifica que a ≤ b o b ≤ a.
Esta propiedad también se llama propiedad de orden total y también se puede formular de la siguiente forma:
a<b o b<a o a =b
En consecuencia, el conjunto de los números reales con la ordenación ≤ es un conjunto totalmente ordenado.
Análogamente, el conjunto de puntos de la recta r con la ordenación ≤ es un conjunto totalmente ordenado.
Propiedades de las operaciones respecto al orden de ℝ
Las operaciones de adición y multiplicación de ℝ tienen las siguientes propiedades con respecto al orden (≤):
Propiedades del orden respecto de la adición
- Sean a, b y c tres números reales, entonces.
En efecto:
\(\large a\leq b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb{R}^{+}\)\(\large b-a\in \mathbb{R}^{+}\Leftrightarrow \left ( b+c \right )-\left ( a+c \right )\in \mathbb{R}^{+}\) Por definición de orden en \(\large \mathbb{R}\) sumando y restando c.
\(\large \left ( b+c \right )-\left ( a+c \right )\in \mathbb{R}^{+}\Leftrightarrow a+c\leq b+c\) Por definición de orden en \(\large \mathbb{R}\).
Ejemplo: 1 ≤ 2 ⇔ 1 + 3 ≤ 2 + 3
Análogamente se verifica:
- Sean a, b y c tres números reales, entonces.
En efecto, aplicando la propiedad anterior se tiene:
\(\large \left.\begin{matrix} a\leq b\Leftrightarrow a+c\leq b+c\\ \\ c\leq d\Leftrightarrow b+c\leq b+d\end{matrix}\right\}a+c\leq b+d\) por la propiedad transitiva
Ejemplo:
\(\large \left.\begin{matrix} 1\leq 2\\ \\ 3\leq 4\end{matrix}\right\}\Rightarrow 1+3\leq 2+4\)Análogamente se verifica:
Propiedades el orden respecto de la multiplicación
- Sean a, b y c tres números reales, entonces.
\(\large a\leq b\Leftrightarrow b-a\geq 0\) por definición de orden en \(\large \mathbb{R}\).
\(\large b-a\geq 0\Leftrightarrow \left ( b-a \right )c\geq 0\) por ser (b –a ) y c positivos.
\(\large \left ( b-a \right )c\geq 0\Leftrightarrow bc-ac\geq 0\) por la propiedad distributiva en \(\large \mathbb{R}\).
\(\large bc-ac\geq 0\Leftrightarrow bc\geq ac\) sumando ac a los dos miembros.
\(\large bc\geq ac\Leftrightarrow ac\leq bc\)Ejemplo:
\(\large \left.\begin{matrix} 1\leq 2\\ \\ 3\geq 0\end{matrix}\right\}\Rightarrow 1\cdot 3\leq 2\cdot 3\)- Sean a, b y c tres números reales, entonces.
\(\large a\leq b\Leftrightarrow b-a\geq 0\) por definición de orden en \(\large \mathbb{R}\).
\(\large b-a\geq 0\Rightarrow \left ( b-a \right )c\leq 0\) por ser c ≤ 0
\(\large \left ( b-a \right )c\leq 0\Leftrightarrow bc-ac\leq 0\) por la propiedad distributiva en \(\large \mathbb{R}\).
\(\large bc-ac\leq 0\Leftrightarrow bc\leq ac\) sumando ac a los dos miembros.
Ejemplo:
\(\large \left.\begin{matrix} 1\leq 2\\ \\ -3\leq 0\end{matrix}\right\}\Rightarrow 2\cdot \left ( -3 \right )\leq 1\cdot \left ( -3 \right )\)Como consecuencia de esta propiedad se tiene:
y también:
- Sean a, b, c y d cuatro números reales, entonces.
\(\large 0\leq a\leq b\Leftrightarrow 0\leq ac\leq bc\) por ser \(\large c\geq 0\)
\(\large 0\leq c\leq d\Leftrightarrow 0\leq bc\leq bd\) por ser \(\large b\geq 0\)
Entonces \(\large 0\leq ac\leq bc\) por la transtividad de \(\large \leq\).
Ejemplo:
\(\large \left.\begin{matrix} 0\leq 1\leq 2\\ \\ 0\leq 3\leq 4\end{matrix}\right\}\Rightarrow 0\leq 1\cdot 3\leq 2\cdot 4\)Sean a y b dos números reales, entonces:
O también:
Demostremos la primera.
En efecto, si a y b son dos números reales positivos entonces \(\large ab> 0\) y \(\large \frac{1}{ab}\) es también un número real positivo, por tanto, multiplicando todos los miembros de la desigualdad \(\large 0< a< b\) por \(\large \frac{1}{ab}\) resulta:
Ejemplo:
\(\LARGE \frac{1}{ab}\cdot 0< \frac{a}{ab}< \frac{b}{ab}\Rightarrow 0< \frac{1}{b}< \frac{1}{a}\)Es conveniente tener en cuenta estas propiedades a la hora de operar con desigualdades.
Densidad de ℝ
La representación gráfica de los números racionales en una recta permite entender intuitivamente una importante propiedad que distingue a estos números de los enteros.
Entre dos números enteros consecutivos cualesquiera, por ejemplo el 2 y el 3, no es posible encontrar ningún otro número entero. Sin embargo, entre dos números racionales cualesquiera, p y q, siempre es posible encontrar, no sólo uno, sino infinitivos números racionales. A esta propiedad se le llama propiedad de densidad.
Supongamos que tenemos dos números reales suficientemente próximos; sean, por ejemplo:
x = 0,125698 e y = 0,125699
¿Cuántos números reales habrá entre x e y?
Para saberlo, trataremos de escribiros y contarlos:
x = 0,125698
x1 = 0,1256981
x2 = 0,1256982
….
y = 0,125699
También podemos ver los números que hay entre x y x1:
x = 0,12569800
x01 = 0,12569801
x02 = 0,12569802
…
x1 = 0,1256981
Como este procedimiento lo podemos repetir indefinidamente, concluimos diciendo que entre x e y hay infinitos puntos reales.
Esta propiedad es importante en ℝ y la enunciaremos así:
Entre dos números reales distintos hay siempre un número real y, en consecuencia, infinitos.
Ejemplo: Halla dos números reales comprendidos entre x = 0,123456 e y = 0,123457
Los números que nos piden podrían ser: 0,1231561 y 0,1234562 por ejemplo.
EJERCICIOS
Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelve.
Ejercicios sobre la ordenación de los números reales
Aquí tienes los ejercicios sobre la ordenación de los números reales.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores
Resolución de los ejercicios
Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.