Anteriormente hemos visto que el cuerpo de los números racionales ℚ es un cuerpo totalmente ordenado. Ahora vamos a ver que ℝ también es un cuerpo totalmente ordenado, respetando el orden de ℚ. Aquí veremos la ordenación de los números reales.
Nomenclatura
Llamaremos números reales positivos a todos los números reales que tienen una representación sobre la recta a la derecha de cero, y llamaremos números reales negativos a todos los números reales que tienen una representación sobre la recta a la izquierda de cero.
De ahora en adelante representaremos por:
\(\large \mathbb{R}^{+}\)el conjunto de los números reales positivos incluido el cero.
\(\large \mathbb{R}^{-}\) el conjunto de los números reales negativos incluido el cero.
\(\large \mathbb{R}^{*}\) el conjunto de los números reales excluido el cero.
\(\large \mathbb{R}_{+}^{*}\) el conjunto de los números reales positivos excluido el cero.
\(\large \mathbb{R}_{-}^{*}\) el conjunto de los números reales negativos excluido el cero.
Definición de orden
Dados dos números reales cualesquiera a y b, se dice que a es menor o igual que b, y se escribe a ≤ b si se verifica que b – a ∈ ℝ +, es decir:
Relación de orden
La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a y se lee “b mayor o igual que a”
Cuando a ≤ b y a ≠ b, s escribe a < b y se lee “a menor estrictamente que b”
La relación a< b se escribe también b > a y se lee “b mayor estrictamente que a”
Por ejemplo, si a = 2,2568 y b = 2,2569, se verifica que a ≤ b ya que b – a ∈ ℝ +. Como existe una biyección entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de la recta r, esta biyección transporta la estructura de orden de ℝ a la recta.
De esta forma, dados dos puntos A y B de la recta, que son abscisas de los números reales a y b, respectivamente, se dice que A precede a B y se se escribe A≤B si a es menor o igual a b, es decir:
El punto A precede al punto B en la recta real
Ejemplo:
A≤B, ya que sus abscisas a = -2 y b = 1 verifican la relación -2≤1
Esta relación es de orden total en ℝ y en consecuencia el par (ℝ , ≤) es un cuerpo totalmente ordenado.
La relación “menor o igual” es un orden total en ℝ
Por cumplirse las siguientes propiedades:
Reflexiva: Para todo número real a, se cumple que a ≤ a ya que a – a = 0 ∈ ℝ +.
Antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a, entonces se cumple que a = b:
\(\large b-a\in \mathbb{R}^{+}\Leftrightarrow \left ( b+c \right )-\left ( a+c \right )\in \mathbb{R}^{+}\) Por definición de orden en \(\large \mathbb{R}\) sumando y restando c.
\(\large \left ( b+c \right )-\left ( a+c \right )\in \mathbb{R}^{+}\Leftrightarrow a+c\leq b+c\) Por definición de orden en \(\large \mathbb{R}\).
Ejemplo: 1 ≤ 2 ⇔ 1 + 3 ≤ 2 + 3
Análogamente se verifica:
Sean a, b y c tres números reales, entonces.
Segunda propiedad de orden respecto a la suma de números reales
En efecto, aplicando la propiedad anterior se tiene:
\(\large \left.\begin{matrix} a\leq b\Leftrightarrow a+c\leq b+c\\ \\ c\leq d\Leftrightarrow b+c\leq b+d\end{matrix}\right\}a+c\leq b+d\) por la propiedad transitiva
En efecto, si a y b son dos números reales positivos entonces \(\large ab> 0\) y \(\large \frac{1}{ab}\) es también un número real positivo, por tanto, multiplicando todos los miembros de la desigualdad \(\large 0< a< b\) por \(\large \frac{1}{ab}\) resulta:
Es conveniente tener en cuenta estas propiedades a la hora de operar con desigualdades.
Densidad de ℝ
La representación gráfica de los números racionales en una recta permite entender intuitivamente una importante propiedad que distingue a estos números de los enteros. Entre dos números enteros consecutivos cualesquiera, por ejemplo el 2 y el 3, no es posible encontrar ningún otro número entero. Sin embargo, entre dos números racionales cualesquiera, p y q, siempre es posible encontrar, no sólo uno, sino infinitivos números racionales. A esta propiedad se le llama propiedad de densidad.
Supongamos que tenemos dos números reales suficientemente próximos; sean, por ejemplo:
x = 0,125698 e y = 0,125699
¿Cuántos números reales habrá entre x e y?
Para saberlo, trataremos de escribiros y contarlos:
x = 0,125698
x1 = 0,1256981
x2 = 0,1256982
….
y = 0,125699
También podemos ver los números que hay entre x y x1:
x = 0,12569800
x01 = 0,12569801
x02 = 0,12569802
…
x1 = 0,1256981
Como este procedimiento lo podemos repetir indefinidamente, concluimos diciendo que entre x e y hay infinitos puntos reales.
Esta propiedad es importante en ℝ y la enunciaremos así:
Entre dos números reales distintos hay siempre un número real y, en consecuencia, infinitos.
Ejemplo: Halla dos números reales comprendidos entre x = 0,123456 e y = 0,123457
Los números que nos piden podrían ser: 0,1231561 y 0,1234562 por ejemplo.
EJERCICIOS
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