Tabla de contenidos
- 1 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
- 1.1 Multiplicación de números reales
- 1.2 Propiedades de la multiplicación
- 1.2.1 Propiedad asociativa de la multiplicación de números reales
- 1.2.2 Propiedad conmutativa de la multiplicación de números reales
- 1.2.3 Existencia de elemento unidad en la multiplicación de números reales
- 1.2.4 Existencia de elemento inverso en la multiplicación de números reales
- 1.2.5 División de números reales
- 1.3 El cuerpo de los números reales
- 2 EJERCICIOS
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
En esta clase vamos a ver la multiplicación de números reales. Veremos cómo se multiplican los números reales y cuáles son sus propiedades.
Multiplicación de números reales
Caso particular
Consideremos los números reales \(\sqrt{3}\) y \(\pi\)
\(\sqrt{3}=\left (1\; \; ,\; \; 1,7\; \; ,\; \; 1,73\; \; ,\; \; 1,732\; \; ,\; \; 1,7320,… \right )\) \(\pi = \left (3,\; \; 3,1, \; \; 3,14, \; \; 3,141,\; \; 3,1415,… \right )\)Para calcular el número \(\sqrt{3}\cdot \pi\) multiplicamos término a término las dos sucesiones anteriores, obteniendo:
\(\sqrt{3}\cdot \pi =\left (1\; \; ,\; \; 1,7\; \; ,1,73\; \; ,\; \; 1,732\; \; ,\; \; 1,7320\; \; ,… \right )\cdot \left (3\; \; ,\; \; 3,1\; \; ,\; \; 3,14\; \; ,\; \; 3,141\; \; ,\; \; 3,1415\; \; , … \right ) = \left ( 1\times 3\: \: ,\: \:1,7\times 3,1\; \; ,\; \; 1,73\times 3,14\; \; ,\; \; 1,732\times 3,141\; \; ,\; \; 1,7320\times 3,1415,… \right )= \left (3\; \; ,\; \; 5,2\; \; ,\; \; 5,43\; \; ,\; \; 5,440,… \right )\)
Caso general
Sean \(x=\left (x_{1},\; x_{2},\; x_{3},… \right )\) e \(y=\left (y_{1},\; y_{2},\; y_{3},… \right )\) dos números reales cualesquiera expresados mediante sucesiones decimales. Se llama producto de x e y y se expresa \(x\cdot y\) o \(xy\) al número real dado por la sucesión decimal \(\left (x_{1}\cdot y_{1},\; x_{2}\cdot y_{2},\; x_{3}\cdot y_{3},… \right )\)
Esta operación es una aplicación de ℝ x ℝ en ℝ y por tanto es una ley de composición interna en ℝ.
Ejemplo: Sean los números reales \(\large \frac{5}{9}\) y \(\large \frac{1}{6}\).
\(\large \frac{5}{9}=\left ( 0\; \; ,\; \; 0,5\; \; ,\; \; 0,55\; \; ,\; \; 0,555\; \; ,… \right )\) \(\large \frac{1}{6}=\left ( 0\; \; ,\; \; 0,1\; \; ,\; \; 0,16\; \; ,\; \; 0,166\; \; ,… \right )\)Entonces:
\(\large \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{6}=\left ( 0\times 0\; \; ,\; \; 0,5\times 0,1\; \; ,\; \; 0,55\times 0,16\; \; ,\; \; 0,555\times 0,166\; \; ,… \right )=\left ( 0\; \; ,\; \; 0,1\; \; ,\; \; 0,09\; \; ,\; \; 0,092\; \; ,… \right )\)
Comprobamos estos resultados operando en ℚ:
\(\large \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5\times 1}{9\times 6}=\frac{5}{54}\)Si dividimos 5 entre 54 obtenemos: 0,0925925…, que es el mismo número que se obtiene multiplicando término a término las sucesiones.
Propiedades de la multiplicación
El producto de números reales verifica las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
- Propiead conmutativa
- Existencia de elemento unidad
- Existencia de elemento inverso
Propiedad asociativa de la multiplicación de números reales
Dados tres números reales cualesquiera x, y , z se verifica que \(\left ( x\cdot y \right )\cdot z =x\cdot \left ( y\cdot z \right )\)
Propiedad conmutativa de la multiplicación de números reales
Dados dos números reales cualesquiera x e y se verifica que \(x\cdot y=y\cdot x\)
Existencia de elemento unidad en la multiplicación de números reales
Llamamos número real 1 al que viene dado por la siguiente sucesión decimal:
Este número es el elemento neutro de la adición y verifica:
Existencia de elemento inverso en la multiplicación de números reales
Cualquiera que sea el número real x no nulo, llamaremos inverso de x y representamos por o por x-1 a un número real tal que:
Como consecuencia de estas cuatro propiedades de la multiplicación diremos que el par (ℝ*, ·) es un grupo conmutativo.
División de números reales
Por ser (ℝ*, ·) un grupo, todo número real no nulo posee inverso y, en consecuencia, es posible definir la operación inversa.
Sean x e y dos números reales con y ≠ 0; se llama cociente de x e y , y se escribe \(x\div y\) o \(\frac{x}{y}\) al producto de x con el inverso de y.
Es decir:
El cuerpo de los números reales
Hemos visto que:
- (ℝ, +) es un grupo conmutativo.
2. (ℝ*, ·) es un grupo conmutativo.
Además se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
Propiedad distributiva en la multiplicación de números reales
Dados tres números reales cualesquiera x, y z, se verifica:
3. Entonces, por cumplirse 1, 2 y 3 (ℝ, +, · ) tiene estructura de cuerpo conmutativo.
EJERCICIOS
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