MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

En esta clase vamos a ver la multiplicación de números reales. Veremos cómo se multiplican los números reales y cuáles son sus propiedades.

Multiplicación de números reales

Caso particular

Consideremos los números reales  \(\sqrt{3}\) y \(\pi\)

\(\sqrt{3}=\left (1\; \; ,\; \; 1,7\; \; ,\; \; 1,73\; \; ,\; \; 1,732\; \; ,\; \; 1,7320,… \right )\) \(\pi = \left (3,\; \; 3,1, \; \; 3,14, \; \; 3,141,\; \; 3,1415,… \right )\)

Para calcular el número \(\sqrt{3}\cdot \pi\) multiplicamos término a término las dos sucesiones anteriores, obteniendo:

\(\sqrt{3}\cdot \pi =\left (1\; \; ,\; \; 1,7\; \; ,1,73\; \; ,\; \; 1,732\; \; ,\; \; 1,7320\; \; ,… \right )\cdot \left (3\; \; ,\; \; 3,1\; \; ,\; \; 3,14\; \; ,\; \; 3,141\; \; ,\; \; 3,1415\; \; , … \right ) = \) \( = \left ( 1\times 3\: \: ,\: \:1,7\times 3,1\; \; ,\; \; 1,73\times 3,14\; \; ,\; \; 1,732\times 3,141\; \; ,\; \; 1,7320\times 3,1415,… \right )=\) \(= \left (3\; \; ,\; \; 5,2\; \; ,\; \; 5,43\; \; ,\; \; 5,440,… \right )\)

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Caso general

Sean \(x=\left (x_{1},\; x_{2},\; x_{3},… \right )\) e \(y=\left (y_{1},\; y_{2},\; y_{3},… \right )\) dos números reales cualesquiera expresados mediante sucesiones decimales. Se llama producto de x e y y se expresa \(x\cdot y\) o \(xy\) al número real dado por la sucesión decimal \(\left (x_{1}\cdot y_{1},\; x_{2}\cdot y_{2},\; x_{3}\cdot y_{3},… \right )\)

Esta operación es una aplicación de ℝ x ℝ en ℝ y por tanto es una ley de composición interna en ℝ.

Ejemplo: Sean los números reales \(\large \frac{5}{9}\) y \(\large \frac{1}{6}\).

\(\large \frac{5}{9}=\left ( 0\; \; ,\; \; 0,5\; \; ,\; \; 0,55\; \; ,\; \; 0,555\; \; ,… \right )\) \(\large \frac{1}{6}=\left ( 0\; \; ,\; \; 0,1\; \; ,\; \; 0,16\; \; ,\; \; 0,166\; \; ,… \right )\)

Entonces:

\(\large \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{6}=\left ( 0\times 0\; \; ,\; \; 0,5\times 0,1\; \; ,\; \; 0,55\times 0,16\; \; ,\; \; 0,555\times 0,166\; \; ,… \right )=\) \(=\left ( 0\; \; ,\; \; 0,1\; \; ,\; \; 0,09\; \; ,\; \; 0,092\; \; ,… \right )\)

Comprobamos estos resultados operando en ℚ:

\(\large \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5\times 1}{9\times 6}=\frac{5}{54}\)

Si dividimos 5 entre 54 obtenemos: 0,0925925…, que es el mismo número que se obtiene multiplicando término a término las sucesiones.

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Propiedades de la multiplicación

El producto de números reales verifica las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa
• Propiead conmutativa
• Existencia de elemento unidad
• Existencia de elemento inverso

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Propiedad asociativa de la multiplicación de números reales

Dados tres números reales cualesquiera x, y , z se verifica que \(\left ( x\cdot y \right )\cdot z =x\cdot \left ( y\cdot z \right )\)

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Propiedad conmutativa de la multiplicación de números reales

Dados dos números reales cualesquiera x e y se verifica que \(x\cdot y=y\cdot x\)

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Existencia de elemento unidad en la multiplicación de números reales

Llamamos número real 1 al que viene dado por la siguiente sucesión decimal:

Este número es el elemento neutro de la adición y verifica:

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Existencia de elemento inverso en la multiplicación de números reales

Cualquiera que sea el número real x no nulo, llamaremos inverso de x y representamos por  o por x^-1 a un número real tal que:

Como consecuencia de estas cuatro propiedades de la multiplicación diremos que el par (ℝ*, ·) es un grupo conmutativo.

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División de números reales

Por ser (ℝ*, ·) un grupo, todo número real no nulo posee inverso y, en consecuencia, es posible definir la operación inversa.

Sean x e y dos números reales con y ≠ 0; se llama cociente de x e y , y se escribe \(x\div y\) o \(\frac{x}{y}\) al producto de x con el inverso de y.

Es decir:

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El cuerpo de los números reales

Hemos visto que:

1. (ℝ, +) es un grupo conmutativo.
2. (ℝ*, ·) es un grupo conmutativo.

Además se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

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Propiedad distributiva en la multiplicación de números reales

Dados tres números reales cualesquiera x, y z, se verifica:

3. Entonces, por cumplirse 1, 2 y 3 (ℝ, +, · ) tiene estructura de cuerpo conmutativo.

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EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

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Ejercicios sobre la multiplicación de los números reales

Aquí tienes los ejercicios sobre la multiplicación de los números reales.

Aquí tienes más ejercicios para practicar la multiplicación de números reales:

• Ejercicios sobre la multiplicación de números enteros
• Ejercicios sobre las propiedades de la multiplicación de los números enteros
• Ejercicios sobre la multiplicación de números racionales
• Ejercicios de operaciones con números decimales

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Soluciones a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.