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INTRODUCCIÓN AL NÚMERO REAL
En esta clase vamos a dar una pequeña introducción al número real. Repasaremos qué números se consideran reales y también veremos las diferentes formas en que podemos representar un número real.
El concepto de número real
En la lección anterior hemos visto que:
- Todo número racional admite una expresión decimal periódica.
- Todo número irracional se define como una expresión decimal no periódica.
Para hacer esta introducción al número real, representamos por ℚ al conjunto de los números racionales y por 𝕀 al conjunto de los números irracionales.
Llamaremos conjunto de los números reales y representaremos por ℝ al conjunto unión de ℚ e 𝕀.
ℝ = ℚ ∪ 𝕀
Por lo tanto, número real es aquel que admite una expresión decimal periódica o no periódica.
Por ser ℝ una ampliación de ℚ, se verifica la siguiente inclusión de conjuntos:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Esto significa que el conjunto de los número naturales (ℕ) está incluido en el conjunto de los números enteros (ℤ), el cual está incluido en el conjunto de los números racionales (ℚ), el cual está incluido en el conjunto de los números reales (ℝ).
Ejemplo: Los siguientes números son reales:
\(7, \frac{-5}{3}, -4, \frac{1}{6}, \sqrt{2}, -\sqrt{3}, \pi , …\)
Como el conjunto de expresiones decimales periódicas o no periódicas lo hemos identificado con el conjunto de los números reales se tiene que:
Dado un sistema de referencia ℝ = (O, U) en la recta real r, existe una aplicación biyectiva única de ℝ en r, de tal forma que a cada número real le corresponde un punto de la recta y recíprocamente.
Si b es la biyección de ℝ en r, entonces b(x) = P y b-1 (P) = x
En adelante identificaremos las palabras punto de la recta r con número real. La recta así graduada mediante ℝ se denomina recta real.
Distintas formas de representar un número real
En esta introducción al número real, vamos a ver las distintas formas de representar este tipo de números. Todos los números reales pueden ser representados de cualquiera de estas formas:
a) Por una expresión decimal con infinitas cifras decimales
Si calculamos la raíz cuadrada de 3 con varias cifras decimales obtenemos:
\(\sqrt{3}=1,732050…\)
Diremos que el número real \(\sqrt{3}\) está representado mediante una expresión decimal con infinitas cifras no periódicas.
b) Por una sucesión decimal de segmentos encajados
También podemos representar al número real \(\sqrt{3}\) mediante segmentos encajados:
\(\sqrt{3}=\left ( \left [ 1,2 \right ],\left [ 1,7\; , \; 1,8 \right ], \left [ 1,73\; , \; 1,74 \right ], \left [ 1,732\; ,\; 1,733 \right ], … \right )\)
Por el axioma de continuidad, sabemos que existe un único punto \(\sqrt{3}\) que pertenece a todos los segmentos de la sucesión.
c) Por una sucesión decimal por defecto
Otra forma de representar un número real es mediante una sucesión decimal de segmentos encajados por defecto.
Dada la sucesión de segmentos encajado que representa al número \(\sqrt{3}\):
\(\sqrt{3}=\left ( \left [ 1,2 \right ],\left [ 1,7\; , \; 1,8 \right ], \left [ 1,73\; , \; 1,74 \right ], \left [ 1,732\; ,\; 1,733 \right ], … \right )\)
Si de la sucesión sólo consideramos la sucesión formada por los extremos por la izquierda de cada intervalo, obtendríamos lo siguiente:
\(\sqrt{3}=\left ( 1\; ,\; 1,7\; ,\; 1,73\; ,\; 1,732\; ,\; 1,7320\; ,\; 1,73205\; ,… \right )\)
que se llama sucesión decimal por defecto, ya que todos los términos de la sucesión son menores que \(\sqrt{3}\).
En la siguiente tabla se indican las aproximaciones por defecto a y el orden de los errores cuya medida son unidades decimales:
d) Por una sucesión decimal por exceso
Análogamente, otra forma de representar un número real es mediante una sucesión decimal de segmentos encajados por exceso.
Dada la sucesión de segmentos encajado que representa al número \(\sqrt{3}\):
\(\sqrt{3}=\left ( \left [ 1,2 \right ],\left [ 1,7\; , \; 1,8 \right ], \left [ 1,73\; , \; 1,74 \right ], \left [ 1,732\; ,\; 1,733 \right ], … \right )\)
Si de la sucesión sólo consideramos la sucesión formada por los extremos por la derecha de cada intervalo, obtendríamos lo siguiente:
\(\sqrt{3}=\left ( 2\; ,\; 1,8\; ,\; 1,74\; ,\; 1,733\; ,\; 1,7321\; ,… \right )\)
que se llama sucesión decimal por exceso, ya que todos los términos de la sucesión son mayores que \(\sqrt{3}\).
e) Por redondeo
En los problemas de la vida real no son necesarias todas las cifras que puede hallar una calculadora. Por ejemplo, si una habitación tiene 2,2365… m de altura elegimos el valor 2,64 m, que es el valor que más se aproxima al verdadero valor de la altura. En esto casos utilizamos el redondeo.
Para redondear un número a una, dos, tres, cuatro… cifras, se elige la proximación:
- por defecto, si la primera cifra rechazada es menor que 5.
- Por exceso si la primera cifra rechazada es mayor o igual que 5.
Observa la siguiente tabla donde se muestra el redondeo de \(\sqrt{8}=2,828427…\) con una aproximación de 2 y 3 cifras. También se muestran en la tabla las aproximaciones por defecto y por exceso en cada caso.
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Ejercicios sobre la introducción al número real
Aquí tienes los ejercicios sobre la introducción al número real.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
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