Tabla de contenidos
- 1 SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO
- 1.1 Los números naturales
- 1.2 Los números enteros
- 1.3 Los números racionales
- 1.4 Los números decimales
- 2 CUESTIONARIO
- 3 EJERCICIOS
- 4 PROBLEMAS
SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO
En esta clase vamos a ver por qué son necesarias las sucesivas ampliaciones del campo numérico, es decir, cuál es el motivo de la aparición de los distintos tipos de números hasta los racionales, y recordaremos algunas propiedades importantes. Ya conocemos algunas clases de números, así que en esta clase haremos sólo un repaso de los conjuntos que ya conocemos, que son los números enteros, los números racionales y los números decimales.
Los números naturales
El conjunto ℕ
Para comenzar a ver las ampliaciones del campo numérico empezaremos viendo el conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales se representa con la letra ℕ y el es el siguiente:
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
Los números naturales surgen de la necesidad de contar colecciones o conjuntos de objetos. Por ejemplo, para contar las ovejas de un rebaño, un pastor necesita utilizar números naturales.
Estructura de ℕ
En el conjunto de los números naturales ℕ se definen las operaciones de adición y multiplicación que cumplen las siguientes propiedades
La adición en ℕ y sus propiedades
La adición se representa con el símbolo + y se define para cada pareja de números (por ejemplo a + b).
La adición de números naturales cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números naturales se cumple que (a + b) + c = a + (b + c)
\(\large \forall a, b, c \in \mathbb{N}, \left ( a+b \right )+c=a+\left ( b+c \right )\)
- Propiedad conmutativa
Para todo a y b pertenecientes al conjunto de los números naturales, se cumple que a + b = b +a.
\(\large \forall a, b \in \mathbb{N}, a+b=b+a\)
- Elemento neutro para la adición
Para todo a perteneciente al conjunto de los números naturales, se cumple que a + 0 = 0 + a = a
\(\large \forall a\in \mathbb{N}, a+0=0+a = a\)
La multiplicación en ℕ y sus propiedades
La operación de multiplicación se representa por un punto ·, y se escribe a · b.
La multiplicación de números naturales cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números naturales se cumple que (a · b) · c = a · (b · c)
\(\large \forall a, b, c \in \mathbb{N}, \left ( a\cdot b \right )\cdot c=a\cdot \left ( b\cdot c \right )\)
- Propiedad conmutativa
Para todo a y b pertenecientes al conjunto de los números naturales, se cumple que a · b = b · a
\(\large \forall a, b \in \mathbb{N}, a\cdot b=b\cdot a\)
- Elemento neutro para la adición
Para todo a perteneciente al conjunto de los números naturales, se cumple que a · 1 = 1 · a = a
\(\large \forall a \in \mathbb{N}, a\cdot 1=1\cdot a=a\)
- La propiedad distributiva
Las dos operaciones + y · no son independientes. Están relacionadas por la propiedad distributiva que se enuncia así:
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números naturales, se cumple que a · (b+c) = a · b + a · c
\(\large \forall a, b, c \in \mathbb{N}, a\cdot\left ( b+c \right )=a\cdot b+a\cdot c\)
La propiedad distributiva sirve para sacar factor común en una suma de productos.
Ejemplo: \(\large ab+ac = a\left ( b+c \right )\)
Algunas notas sobre la simplificación de cálculos
- Convenimos en escribir ab en lugar de a·b cuando no haya ambigüedad.
Ejemplo: \(\large 2\left ( 3+4 \right )=2\cdot 7=14\)
- El paréntesis da prioridad a la operación que encierra. En general no se escribe cuando encierra sólo productos.
Ejemplo: \(\large \left ( 2\cdot 3 \right )+4 =6+4=10\)
A partir de ahora representaremos por ℕ* al conjunto de los números naturales excluido en cero, es decir:
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Ordenación en ℕ
Conocido el conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ….} resulta muy sencillo intuir que existe un orden en ℕ que permita afirmar que, por ejemplo, 2 precede a 5. Este es el llamado orden natural. Solemos escribir los números en este orden:
0, 1, 2, 3, …, n, n+1, …
Vamos a dar una definición de este orden usando la operación +:
Para todo a y b que pertenecen al conjunto de los números naturales, se dice que a es menor o igual a b, y lo representamos por a ≤b si y sólo si existe un número natural c tal que b = a + c; es decir:
\(\large \forall a,b\in \mathbb{N}, a\leq b\Leftrightarrow \exists\: c\in\mathbb{N}\: /b=a+c\)
- La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a y se lee “b mayor o igual que a”
- Cuando a ≤ b y a ≠ b se dice que a < b y se lee “a menor estrictamente que b”
- La relación a < b se escribe también b > a y se lee “b mayor estrictamente que a”
Ejemplo: 2 ≤ 5 ya que existe el 2 ∈ ℕ tal que 5 = 3 + 2
Esta relación que acabamos de definir cumple las propiedades de las relaciones de orden y, por tanto, podemos afirmar que el conjunto de los números naturales con esta ordenación es un conjunto ordenado.
No sólo es un conjunto ordenado sino que se trata de un conjunto totalmente ordenado (la relación es de orden total), ya que dados dos números naturales cualesquiera a y b siempre se verifica una de las dos desigualdades:
a ≤ b o b ≤ a
Representación lineal de ℕ
Para representar los números naturales hay que fijar:
- Un punto O al que le corresponde el número 0 y que se llama origen.
- Un punto U al que le corresponde el número 1
Al segmento \(\large \overline{OU}\) se le llama unidad: llevando este segmento unidad sucesivamente a la derecha de O, nos determina los sucesivos puntos que representan a los números naturales 2, 3, 4, 5,…
Al par R = (O, U) se le llama sistema de referencia.
Así pues hemos establecido una aplicación inyectiva del conjunto de los números naturales ℕ en el conjunto de puntos de la recta r.
Al conjunto de puntos de la recta que son imágenes mediante la aplicación anterior de elementos de ℕ se llama recta real o recta graduada mediante los números naturales.
Los números naturales que corresponden por la graduación a los puntos de r se llaman abscisas o coordenadas de dichos puntos.
Insuficiencia de ℕ
Tratemos de resolver en ℕ la siguiente ecuación:
x + 2 = 5
En este caso x = 3. Como 3 es un número natural, diremos que la ecuación x + 2 = 5 tiene solución en ℕ.
Ahora bien, si queremos resolver la ecuación:
x + 5 = 2
nos encontramos que no existe ningún número natural que sumado a 4 nos dé el número natural 2. Por lo tanto, diremos que la ecuación x + 5 = 2 no tiene solución en ℕ.
Ejemplos: Indicar cuáles de estas ecuaciones tienen solución en ℕ:
x + 7 = 17 → X = 17 – 7 = 10 ∈ ℕ → Tiene solución en ℕ
x + 3 = 13 → x = 13 – 3 = 10 ∈ ℕ → Tiene solución en ℕ
x + 8 = 5 → x = 5 – 8 = – 3 ∉ ℕ → No tiene solución en ℕ
3x + 6 = 7 → x = (7 – 6) : 3 = 1/3 ∉ ℕ → No tiene solución en ℕ
Vemos que la ecuación x + a = b con a y b naturales no siempre tiene solución en ℕ. Por ello diremos que el conjunto de los números naturales es insuficiente para resolver este tipo de situaciones y, por ello, nos vemos en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, creando así el conjunto de los números enteros.
Los números enteros
El conjunto ℤ
El segundo conjunto en las sucesivas ampliaciones del campo numérico es el conjunto de números enteros.
Para evitar las deficiencias que se observan en los números naturales introducimos los números enteros.
El conjunto de los números enteros que representamos por ℤ es el siguiente:
ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Observemos que ℕ es un subconjunto de ℤ (ℕ ⊂ ℤ)
Esto significa que todos los números naturales son enteros, pero el recíproco no es cierto, es decir, no todos los números enteros son números naturales.
Saber más sobre el conjunto de los números enteros
Estructura de ℤ
En el conjunto de los números enteros ℤ se definen las operaciones de adición y multiplicación, que se denominan por + y ·. Frecuentemente el signo · se omite.
La adición en ℤ y sus propiedades
La adición se representa con el símbolo + y se define para cada pareja de números (por ejemplo a + b).
La adición de números naturales cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números enteros se cumple que (a + b) + c = a + (b + c)
\(\large \forall a, b ,c \in \mathbb{Z}, \left ( a+b \right )+c=a+\left ( b+c \right )\)
- Propiedad conmutativa
Para todo a y b pertenecientes al conjunto de los números enteros se cumple que a + b = b +a
\(\large \forall a, b \in \mathbb{Z}, a+b=b+a\)
- Elemento neutro para la adición
Para todo a perteneciente al conjunto de los números enteros, se cumple que a + 0 = 0 + a = a
\(\large \forall a\in \mathbb{Z}, a+0=0+a = a\)
- Elemento opuesto de a
Para todo a perteneciente al conjunto de los números enteros, existe -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0
\(\large \forall a\in \mathbb{Z},\exists \: -a\in \mathbb{Z}/\: a+\left ( -a \right ) =\left ( -a \right )+a=0\)
La propiedad del opuesto diferencia a de ℕ. Por lo demás todo es igual y todas las propiedades que se deduzcan de operar en ℕ se trasladan a .
Todas estas propiedades se resumen diciendo que es un grupo conmutativo.
Saber más sobre la suma de los números enteros
Saber más sobre las propiedades de la suma de los números enteros
La multiplicación en ℤ y sus propiedades
La operación de multiplicación se representa por un punto ·, y se escribe a · b.
La multiplicación de números naturales cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números enteros, se cumple que (a · b) · c = a · (b · c)
\(\large \forall a, b ,c \in \mathbb{Z}, \left ( a\cdot b \right )\cdot c=a\cdot \left ( b\cdot c \right )\)
- Propiedad conmutativa
Para todo a y b pertenecientes al conjunto de los números enteros, se cumple que a · b = b · a
\(\large \forall a, b \in \mathbb{Z}, a\cdot b=b\cdot a\)
- Elemento neutro para la multiplicación
Para todo a perteneciente al conjunto de los números enteros se cumple que a · 1 = 1 · a = a
\(\large \forall a \in \mathbb{Z}, a\cdot 1=1\cdot a=a\)
- La propiedad distributiva
Las dos operaciones + y · no son independientes. Están relacionadas por la propiedad distributiva que se enuncia así:
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números enteros, se cumple que a · (b + c) = a · b + a · c
\(\large \forall a, b, c \in \mathbb{Z}, a\cdot\left ( b+c \right )=a\cdot b+a\cdot c\)
Saber más sobre la multiplicación de los números enteros
Saber más sobre las propiedades de la multiplicación de los números enteros
Algunas notas sobre la simplificación de cálculos
Estamos acostumbrados a tachar números en una igualdad:
\(\large 2+a=2+b\)
\(\large \not{2}+a=\not{2}+b\)
\(\large a=b\)
Es la ley de simplificación para la suma: a + b = a + c es equivalente a b = c
A la terna (ℤ, +, ·), por cumplir las propiedades anteriores, se dice que tiene estructura de anillo conmutativo con elemento unidad.
La diferencia fundamental entre ℕ y ℤ es que en ℤ todo elemento tiene simétrico para la adición, el opuesto, con lo cual siempre es posible en ℤ la operación de restar.
Por todo ello se verifica en ℤ la ley de simplificación para la adición, es decir:
a + b = a + c ⟹ b = c
De ahora en adelante representaremos por:
\(\large \mathbb{Z}^{+}\) el conjunto de los números enteros positivos incluido el cero.
\(\large \mathbb{Z}^{-}\) el conjunto de los números eneros negativos incluido el cero.
\(\large \mathbb{Z}^{*}\) el conjunto de los números enteros excluido el cero.
\(\large \mathbb{Z}_{+}^{*}\) el conjunto de los números enteros positivos excluido el cero.\(\large \rightarrow \mathbb{Z}_{+}^{*}=\mathbb{Z}^{+}-\left \{ 0 \right \}\)
\(\large \mathbb{Z}_{-}^{*}\)el conjunto de los números enteros negativos excluido el cero.\(\large \rightarrow \mathbb{Z}_{-}^{*}=\mathbb{Z}^{-}-\left \{ 0 \right \}\)
Ordenación de ℤ
De igual modo a como lo hicimos en ℕ, vamos a tratar de definir una relación de orden en ℤ.
Dados dos números enteros cualesquiera a y b, se dice que a es menor o igual a b, y representamos a ≤ b si b –a es un número entero positivo.
\(\large \forall a,b \in \mathbb{Z}, a\leq b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb{Z}^{+}\)
- La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a, y se lee “b mayor o igual que a”
- Cuando a ≤ b y a ≠ b se escribe a < b, y se lee “a menor estrictamente a b”
- La relación a < b se escribe también b > a, y se lee “b mayor estrictamente que a”
Ejemplos:
\(\large 3\leq 10\) ya que \(\large 10-3=7\in \mathbb{Z}^{+}\)
\(\large -2\leq 5\) ya que \(\large 5-\left ( -2 \right )=7\in \mathbb{Z}^{+}\)
\(\large -3\leq -2\) ya que \(\large -2-\left ( -3 \right )=1\in \mathbb{Z}^{+}\)
Esta relación es de orden, y en consecuencia (ℤ, ≤) es un conjunto ordenado.
Además, (ℤ ,≤) es un conjunto totalmente ordenado (la relación menor o igual en ℤ es un orden total), pues dados dos números enteros cualesquiera a y b, siempre se verifica una de las dos desigualdades siguientes:
a ≤ b o b ≤ a
Saber más sobre la ordenación de los números enteros
Representación lineal de ℤ
Por ser el conjunto ℤ una ampliación de los números naturales, la representación lineal de los enteros positivos \(\large {Z}^{+}\), coincide con la representación lineal de ℕ. Para representar los enteros negativos basta con trasladar el segmento unidad \(\large \overline{OU}\) a la izquierda de número 0.
Así pues, hemos establecido una aplicación inyectiva del conjunto de los números enteros ℤ en el conjunto de puntos de la recta.
Al conjunto de puntos de la recta que son imágenes mediante la aplicación anterior de elementos de ℤ se le llama recta entera o recta graduada mediante los números enteros.
Saber más sobre la representación de los números enteros
Insuficiencia de ℤ
Con la construcción del conjunto ℤ hemos conseguido que las ecuaciones de la forma a + x = b con a y b enteros tengan siempre solución en ℤ, ya que x = b –a donde x ∈ ℤ.
Por ejemplo en la ecuación 2x = 14, tenemos que x = 7 ∈ ℤ.
Ahora bien, si queremos resolver la ecuación 3x = 14, en este caso la solución de la ecuación no es un número entero, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en ℤ.
Por ello decimos que el conjunto de los números enteros es también insuficiente, y por ello nos vemos en la necesidad de ampliarlo añadiendo nuevos números que permitan resolver estas situaciones.
Ir a la lección completa sobre los números enteros
Los números racionales
El conjunto ℚ
El tercer conjunto en las sucesivas ampliaciones del campo numérico es el conjunto de racionales.
Fíjate en la ecuación que no hemos podido resolver en ℤ:
\(\large 3x = 14\)
Vemos que en ℚ sí que tiene solución, que es \(\large x = \frac{14}{3}\)
La fracción \(\large \frac{14}{3}\) satisface la ecuación anterior, pero también lo hacen las siguientes fracciones:
\(\large \frac{28}{6},\; \; \frac{42}{9},\; \; \frac{140}{30},\; \; \frac{-14}{-3},\; \; \frac{-42}{-9}\)
Todas estas fracciones son equivalentes y por eso representan al mismo número racional. Por ello sólo consideraremos un representante (el más sencillo) de todas las fracciones que son equivalentes, al que llamaremos representante canónico.
La fracción \(\large \frac{a}{b}\) con \(\large a, b\in \mathbb{Z}\) y con \(\large b\neq 0\) es una fracción canónica si \(\large b> 0\) y a es primo con b.
Este representante canónico o fracción canónica \(\large \frac{a}{b}\) lo escogeremos de forma que b sea positivo, a y b primos entre si y b ≠ 0.
El conjunto formado por todos los representantes canónicos de las fracciones de la forma \frac{a}{b} con b ≠ 0, a y b enteros, es el conjunto de los números racionales, que representaremos por ℚ.
\(\large \mathbb{Q}=\left \{ \frac{a}{b}\, \; / a,b \in \mathbb{Z}, \; b\neq 0\right \}\)
Observamos que se verifica: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
Estructura de ℚ
En el conjunto de los números racionales ℚ se definen las operaciones de adición y multiplicación que cumplen las siguientes propiedades:
La adición en ℚ y sus propiedades
La adición se representa con el símbolo + y se define para cada pareja de números (por ejemplo a + b).
La adición de números racionales cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números racionales, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c)
\(\large \forall a,b,c \in \mathbb{Q}, \: \; \left ( a+b \right )+c=a+\left ( b+c \right )\)
- Propiedad conmutativa
Para todo a y b pertenecientes al conjunto de los números racionales, se cumple que a + b = b + a
\(\large \forall a,b \in \mathbb{Q}, \: \; a+b=b+a\)
- Elemento neutro para la adición
Para todo número a perteneciente al conjunto de los números racionales, se cumple que a + 0 = 0+ a = a
\(\large \forall a \in \mathbb{Q}, \: \; a+0=0+a=a\)
- Elemento opuesto de a
Para todo número a perteneciente al conjunto de los números racionales existe otro número -a que también pertenece al conjunto de los números naturales tal que a + (-a) =-a + a = 0
\(\large \forall a \in \mathbb{Q}, \: \; \exists \, -a\in \mathbb{Q}\; /a+\left ( -a \right )=-a+a=0\)
Todas estas propiedades se resumen diciendo que \(\large \left ( \mathbb{Q},+ \right )\)es un grupo conmutativo.
Saber más sobre la suma de los números racionales
Saber más sobre las propiedades de la suma de números racionales
La multiplicación en ℚ y sus propiedades
La operación de multiplicación se representa por un punto ·, y se escribe a · b.
La multiplicación de números racionales cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números racionales, se cumple que (a · b) · c = a · (b · c)
\(\large \forall a,b,c \in \mathbb{Q}, \: \; \left ( a\cdot b \right )\cdot c=a\cdot \left ( b\cdot c \right )\)
- Propiedad conmutativa
Para todo a y b pertenecientes al conjunto de los números racionales, se cumple que a · b = b · a
\(\large \forall a,b \in \mathbb{Q}, \: \; a\cdot b=b\cdot a\)
- Elemento neutro para la multiplicación
Para todo número a perteneciente al conjunto de los números racionales se cumple que a · 1 = 1 · a = a
\(\large \forall a\in \mathbb{Q}, \: \; a\cdot 1=1\cdot a=a\)
- Elemento inverso para la multiplicación
Para todo número a perteneciente al conjunto de los números racionales, existe otro número \(\large \frac{1}{a}\) que también pertenece al conjunto de los números racionales tal que \(\large a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1\)
\(\large \forall a \in \mathbb{Q}, \: \; \exists \, \frac{1}{a}\in \mathbb{Q}\; /a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1\)Todas estas propiedades se resumen diciendo que \(\large \left ( \mathbb{Q}^{*},\cdot \right )\) es un grupo conmutativo.
- La propiedad distributiva
Las dos operaciones + y · no son independientes. Están relacionadas por la propiedad distributiva que se enuncia así:
Para todo a, b y c pertenecientes al conjunto de los números racionales, se cumple que a · (b + c) = a · b + a · c
\(\large \forall a,b,c\: \in \mathbb{Q},\: \; a\cdot \left ( b+c \right )=a\cdot b+a\cdot c\)
Saber más sobre la multiplicación de números racionales y sus propiedades
Algunas notas sobre la simplificación de cálculos
- Las fracciones \(\large \frac{1}{b}\) se escriben a veces como \(\large b^{-1}\)
- La fracción \(\large \frac{a}{b}\) se escribe también en la forma \(\large ab^{-1}\) donde \(\large a\) y \(\large b^{-1}\) se multiplican
- Las reglas para los signos funcionan en ℚ exactamente igual que en ℤ. Análogamente a la adición, hay una ley de simplificación para la multiplicación.
Ejemplo:
\(\large 3x =3y\)
\(\large \not{3}x =\not{3}y\)
\(\large x=y\)
En este caso hemos multiplicado por \(\large \frac{1}{3}\) ambos miembros.
De forma general se tiene que
\(\large \forall a\in \mathbb{Q}\), si \(\large a\neq 0\) se tiene que \(\large ax=ay\) es equivalente a \(\large x=y\)
- La inversa de la fracción \(\large \frac{a}{b}\) se escribe \(\large \frac{b}{a}\) cuando \(\large a\neq 0\)
- Dividir \(\large \frac{a}{b}\) donde \(\large b\neq 0\) es lo mismo que multiplicar a por el inverso de b. Así pues, dividir equivale a multiplicar por el inverso.
A la terna (ℚ, +, ·), por cumplir las propiedades expuestas, se dice que tiene estructura de cuerpo conmutativo.
La diferencia fundamental entre ℤ y ℚ es que en ℚ todo elemento, salvo el cero, tiene simétrico para la multiplicación (el inverso).
Como consecuencia de ello, se verifica en ℚ la ley de simplificación para la multiplicación; es decir:
a · b = a · c ⇒ b = c supuesto a ≠ 0
De ahora en adelante representaremos por:
\(\large \mathbb{Q}^{+}\) el conjunto de los números enteros racionales incluido el cero.
\(\large \mathbb{Q}^{-}\) el conjunto de los números racionales negativos incluido el cero.
\(\large \mathbb{Q}^{*}\) el conjunto de los números racionales excluido el cero.
\(\large \mathbb{Q}_{*}^{+}\) el conjunto de los números racionales positivos excluido el cero.
\(\large \mathbb{Q}_{*}^{-}\)el conjunto de los números racionales negativos excluido el cero.
Ordenación de ℚ
La relación orden en ℚ se define a partir de la relación de orden en ℤ.
Dados dos números racionales cualesquiera a y b, se dice que a es menor o igual a b, y representamos a ≤ b si b –a es un número racional positivo.
\(\large \forall a,b\in \mathbb{Q}, a\leq b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb{Q}^{+}\)
- La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a, y se lee “b mayor o igual que a”
- Cuando a ≤ b y a ≠ b se escribe a < b, y se lee “a menor estrictamente a b”
- La relación a < b se escribe también b > a, y se lee “b mayor estrictamente que a”
Ejemplos:
\(\large \frac{3}{7}\leq \frac{9}{10}\) ya que \(\large \frac{9}{10}- \frac{3}{7}=\frac{63-30}{70}=\frac{33}{70}\in \mathbb{Q}^{+}\)
\(\large \frac{-2}{3}\leq \frac{5}{4}\) ya que \(\large \frac{5}{4}- \left (-\frac{2}{3} \right )=\frac{15+8}{12}=\frac{23}{12}\in \mathbb{Q}^{+}\)
\(\large \frac{-3}{2} \leq \frac{-4}{7}\) ya que \(\large \frac{-4}{7} – \frac{-3}{2}=\frac{-8+21}{14}=\frac{13}{14}\in \mathbb{Q}^{+}\)
Esta relación es de orden total en ℚ, y en consecuencia ℚ es un conjunto totalmente ordenado.
Saber más sobre la ordenación de los números racionales
Representación lineal de Q
Por ser el conjunto ℚ una ampliación del conjunto de los números enteros ℤ, la representación lineal de los números racionales cuyo numerador sea múltiplo del denominador coincide con la representación lineal de ℤ.
La representación de los números fraccionarios de la forma \(\large \frac{a}{b}\) con \(\large b> 0\) siendo a y b primos entre sí, quedará vista en el momento que sepamos dividir un segmento cualquiera en 2, 3, 4, … partes iguales.
Supongamos, por ejemplo, que queremos representar el número racional \(\large \frac{3}{5}\); para ello, construiremos el segmento unidad \(\large \overline{OU}\):
y por 0 trazaremos una semirrecta auxiliar r’ que forme un ángulo cualesquiera con el segmento \(\large \overline{OU}\).
Sobre la semirrecta r’ se trazan con una unidad cualquiera 5 divisiones iguales que serán los puntos A1, A2, A3, A4 y A5. Unimos A5 con U y por A4, A3, A2, A1 trazamos paralelas al segmento \(\large \overline{A_{5}U}\) obteniendo los puntos A’4, A’3, A’2, A’1, respectivamente.
Entonces:
\(\large \overline{OA’_{1}}=\frac{1}{5}\) \(\large \overline{OA’_{2}}=\frac{2}{5}\) \(\large \overline{OA’_{3}}=\frac{3}{5}\) \(\large \overline{OA’_{4}}=\frac{4}{5}\)
De esta forma hemos establecido una aplicación inyectiva del conjunto de los números racionales ℚ en el conjunto de puntos de la recta.
Al conjunto de puntos de la recta que son imágenes mediante la aplicación anterior de elementos de ℚ se le llama recta racional o recta graduada mediante los números racionales.
Más sobre la representación lineal del conjunto de los números racionales
Intervalos en ℚ
Definamos ahora algunos subconjuntos de la recta racional que llamaremos intervalos:
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se representa por [a, b], al conjunto de todos los números racionales x tales que a ≤ x ≤ b. Es decir:
\(\large \left [ a,b \right ]=\left \{x/x\in \mathbb{Q},a\leq x\leq b \right \}\)
Se llama intervalo abierto de extremos a y b, y se representa por (a, b), al conjunto de todos los números racionales x tales que a < x < b. Es decir:
\(\large \left ( a,b \right )=\left \{ x/x\in \mathbb{Q},a< x< b \right \}\)
Se llama intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha de extremos a y b, y se representa por [a, b), al conjunto de todos los números racionales x tales que a ≤ x < b. Es decir:
\(\large \left [a,b \right )=\left \{ x/x\in \mathbb{Q}, a\leq x< b \right \}\)
Se llama intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha de extremos a y b, y se representa por (a, b], al conjunto de todos los números racionales x tales que a < x ≤ b. Es decir:
\(\large \left (a,b \right ]=\left \{ x/x\in \mathbb{Q}, a< x \leq b \right \}\)
Insuficiencia de ℚ
Con la construcción del conjunto ℚ hemos conseguido que las ecuaciones de la forma ax = b con a y b racionales y a ≠ 0 tengan siempre solución en ℚ.
Ahora bien, tratemos de resolver en ℚ la ecuación \(\large x^{2}=3\).
En este caso no existe ningún número racional que elevado al cuadrado nos dé 3. Entonces esta ecuación no tiene solución en ℚ.
Por ello diremos que el conjunto de los números racionales también es insuficiente y por eso nos vemos obligados a ampliar el conjunto ℚ nuevamente.
Ir a la lección completa de los números racionales
Los números decimales
El cuarto conjunto en las sucesivas ampliaciones del campo numérico es el conjunto de números decimales.
Expresión decimal de los números racionales
Cuando dividimos el numerador entre el denominador de una fracción, el resultado será un número decimal. En algunos casos será un decimal exacto y en otros casos será un decimal periódico.
Expresiones decimales exactas
- Expresión decimal exacta: tiene un número exacto de cifras decimales. (2,39; 7,256; 0,5)
- Si el denominador del número racional es un producto de potencias de 2 y de 5, entonces el número racional tienen una expresión decimal exacta:
\(\large \frac{16}{5}=\frac{16\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{32}{10}=3,2\)
- La fracción generatriz de una expresión decimal exacta tiene por numerador el mismo número decimal sin coma y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
\(\large 3,2=\frac{32}{10}=\frac{16\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{16}{5}\)
Expresiones decimales periódicas puras
- Expresión decimal periódica pura: el período empieza inmediatamente después de la coma.
\(\large \left ( 3,\hat{2} \: \: ;2,\widehat{25}\right )\)
- Si el denominador del número racional no tiene ninguno de los factores 2 y 5, entonces el número racional tiene una expresión decimal periódica pura.
\(\large \frac{14}{11}=1,\widehat{27}\)
- La expresión generatriz de una expresión decimal periódica pura tiene por numerador la parte entera seguida del período sin coma, menos la parte entera, y por denominador tiene un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.
\(\large 1,\widehat{27}=\frac{127-1}{99}=\frac{126}{99}=\frac{14}{11}\)
Expresiones decimales periódicas mixtas
- Expresión decimal periódica mixta: tiene alguna cifra (anteperíodo) después de la coma y antes del período.
\(\large 3,5\hat{2}\)
\(\large 2,32\widehat{25}\)
- Si el denominador del número racional tiene 2 ó 5 y otros, entonces el número racional tiene una expresión decimal periódica mixta.
\(\large \frac{11}{15}=\frac{11}{3\cdot 5}=0,7\hat{3}\)
La expresión generatriz de una expresión periódica mixta tiene por numerador la diferencia entre el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo y seguida del período sin coma, y el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo sin coma; por denominador tiene un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo.
\(\large 0,7\hat{3}=\frac{73-7}{90}=\frac{66}{90}=\frac{11}{15}\)
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Expresiones decimales no periódicas: Números irracionales
Las expresiones decimales ilimitadas que no son periódicas no pueden ser expresiones de números racionales.
Por lo tanto diremos que las expresiones decimales no periódicas serán la representación de los números no racionales, que llamaremos irracionales.
Ejemplos de expresiones decimales no periódicas:
32,21251255125551…
0,102100210002…
Algunos números irracionales conocidos
- El número \(\large \sqrt{2}\): Este número irracional aparece al medir la diagonal de un cuadrado con el lado.
Si el cuadrado tiene de lado 1m, obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras que la diagonal vale \(\large \sqrt{2}\) m, que es un número decimal no periódico y, por lo tanto, irracional.
La expresión decimal de \(\large \sqrt{2}\) es: \(\large \sqrt{2}=1,414\,\, 213\,\, 562\,\, 373…\)
- El número π: Este número irracional aparece cuando dividimos la longitud de una circunferencia entre el diámetro de la misma.
La expresión decimal de π es: π = 3,141 592 653 589 …
- También son números irracionales:
\(\large \sqrt{3}\)
\(\large \sqrt{5}\)
\(\large \sqrt{6}\)
\(\large \sqrt{7}\)
\(\large \sqrt{8}\)
\(\large \sqrt{10}\)
\(\large \sqrt{11}\)
…
Representaciones sobre la recta de los números racionales
Vamos a ver ahora la forma de representar sobre la recta los números racionales, teniendo en cuenta las expresiones decimales que acabamos de ver
Representación de las expresiones decimales exactas
Sea el número racional \(\large \frac{47}{200}\) que tiene una expresión decimal exacta igual a 0,235.
El número 0,235 está comprendido entre el 0 y el 1.
Si dividimos el intervalo cerrado [0, 1] en diez partes iguales, el punto correspondiente a 0,235 estará comprendido entre 0,2 y 0,3.
Si volvemos a dividir el intervalo cerrado [0,2, 0,3] en diez partes iguales, el punto correspondiente a 0,235 estará comprendido entre 0,23 y 0,24
Por último, si dividimos el intervalo cerrado [0,23, 0,24] en diez partes iguales, el punto correspondiente a 0,235 estará en este último intervalo y su abscisa es una de las divisiones de este último intervalo.
El proceso que acabamos de describir siempre será posible hacerlo en el caso de decimales con un número limitado de cifras
Representación de las expresiones decimales periódicas puras y mixtas
El número racional \(\large \frac{16}{3}\) tiene una expresión decimal periódica igual a \(\large 5,333… = 5,\hat{3}\).
Vamos a seguir los pasos que dimos en el apartado anterior:
Tenemos que \(\large 5,\hat{3}\) está comprendido entre 5 y 6.
Dividiendo el intervalo [5, 6] en diez partes iguales tenemos que está comprendido entre 5,3 y 5,4.
Si dividimos el intervalo cerrado [5,3, 5,4] en diez partes iguales, el punto correspondiente a \(\large 5,\hat{3}\) estará comprendido entre 5,33 y 5,34.
Si dividimos el intervalo cerrado [5,33, 5,34] en diez partes iguales, el punto correspondiente a \(\large 5,\hat{3}\) estará comprendido entre 5,333y 5,334.
La siguiente sucesión de segmentos:
[5, 6]; [5,3, 5,4]; [5,33, 5,34]; [5,333, 5,334];…
están encajados, y además la longitud de cada uno es la décima parte de la longitud anterior.
A esta sucesión de segmentos se la denomina sucesión decimal de segmentos encajados.
Por lo tanto, se llama sucesión decimal de segmentos encajados a un conjunto de infinitos intervalos cerrados tales que:
1º. Cada uno está contenido en el anterior
2º La longitud de cada segmento es la décima parte de la longitud anterior.
Observamos que en el caso de los números decimales exactos, llegábamos a determinar el punto correspondiente en una de las subdivisiones; en cambio ahora sólo conseguimos encontrar una aproximación, que será más exacta cuantas más cifras consideremos.
\(\large \frac{16}{3}=5,\hat{3}\) viene expresado por la siguiente sucesión decimal de segmentos encajados:
[5, 6] ⊃ [5,3, 5,4] ⊃ [5,33, 5,34] ⊃ [5,333, 5,334];…
Representación sobre la recta de los números irracionales
La representación sobre la recta de los números irracionales se hace de la misma manera que la de los números racionales: mediante una sucesión decimal de segmentos encajados, es decir, con aproximaciones siguiendo un proceso dinámico de acercamiento.
Por ejemplo, en el número irracional 0,13153155315553…., la sucesión decimal de segmentos encajados sería:
[0, 1] ⊃ [0,1, 0,2 ⊃ [0,13, 0,14] ⊃ [0,131 , 0,132];…
Otro ejemplo: Para calcular \(\large \sqrt{2}\) mediante intervalos encajados haremos los siguiente:
Si elevamos 1 al cuadrado nos da 1, que es menor que 2
Si elevamos 2 al cuadrado nos da 4 que es mayor que 2
Entonces, el número que elevado al cuadrado nos da d, está comprendido entre 1 y 2, y lo expresamos así:
\(\large 1< \sqrt{2}< 2\)
Tomamos ahora 1,1, 1,2, 1,3, … y los vamos elevando al cuadrado hasta conseguir un número que elevado al cuadrado supere a 2. Ese número es 1,5; entonces ponemos:
\(\large 1,4< \sqrt{2}< 1,5\)
Así sucesivamente construimos el siguiente cuadro:
\(\large 1< \sqrt{2}< 2\)
\(\large 1,4< \sqrt{2}< 1,5\)
\(\large 1,41< \sqrt{2}< 1,42\)
\(\large 1,414< \sqrt{2}< 1,415\)
\(\large 1,4142< \sqrt{2}< 1,4143\)
…
Siguiendo este proceso de tanteo nos acercamos cada vez más al verdadero valor de \(\large \sqrt{2}\). Al aumentar el número de cifras, el error que se comete es cada vez menor.
Fíjate que cada uno de estos pasos determina un intervalo, dentro del cual se encuentra \(\large \sqrt{2}\):
\(\large \sqrt{2}\in \left [ 1,\; 2 \right ]\)
\(\large \sqrt{2}\in \left [ 1,4,\; 1,5 \right ]\)
\(\large \sqrt{2}\in \left [ 1,414,\; 1,415 \right ]\)
\(\large \sqrt{2}\in \left [ 1,4142,\; 1,4143 \right ]\)
….
Vamos ahora a determinar en la recta utilizando intervalos encajados:
Sabemos que \(\large \frac{1}{3}=0,333333333…..\)
\(\large \frac{1}{3}\in \left [ 0,\; 1 \right ]\)
\(\large \frac{1}{3}\in \left [ 0,3,\; 0,4 \right ]\)
\(\large \frac{1}{3}\in \left [ 0,33,\; 0,34 \right ]\)
\(\large \frac{1}{3}\in \left [ 0,333,\; 0,334 \right ]\)
Cada intervalo está contenido en el anterior y la diferencia entre los extremos del intervalo se va aproximando cada vez más a cero, es decir, al aumentar el número de cifras decimales, el error que se comete es cada vez más pequeño y se aproxima a cero y, por lo tanto, nos aproximamos más al valor real del número en cuestión.
Una sucesión que tiene estas características se llama sucesión de intervalos de aproximación (o encajado). En la práctica, los extremos son números decimales exactos.
El problema está en saber si existe un único punto de la recta que pertenezca a todos los segmentos encajados de la sucesión. La respuesta es afirmativa y se enuncia en el siguiente axioma.
Axioma de continuidad
Dada una sucesión decimal de segmentos encajados, existe un único punto que pertenece a todos ellos.
Gracias al axioma de continuidad obtenemos el siguiente resultado:
A toda expresión decimal, periódica o no, le corresponde de modo único un punto en la recta y recíprocamente.
Así pues hemos establecido una aplicación biyectiva de conjunto de expresiones decimales periódicas o no en el conjunto de puntos de la recta.
Todo esto significa que toda sucesión de intervalos encajados determina un único número real.
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Ejercicios sobre las sucesivas ampliaciones del campo numérico
Aquí tienes los ejercicios sobre las sucesivas ampliaciones del campo numérico.
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