MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

¿Cómo se multiplican las fracciones?

La multiplicación de fracciones se hace, entre otras cosas, cuando queremos hallar la fracción. Por ejemplo, si queremos hallar los \(\LARGE \frac{2}{3}\) de \(\LARGE \frac{5}{2}\), tenemos que multiplicar las dos fracciones:

\(\LARGE \frac{2}{3}\) de \(\LARGE \frac{5}{2}\) =\(\LARGE \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}\)

Para multiplicar fracciones se escribe como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores

Por ejemplo:

\(\LARGE \frac{-1}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{(-1)\times3}{2\times5}=\frac{-3}{10}\)

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Las propiedades del producto de fracciones

Propiedad conmutativa del producto

Propiedad asociativa del producto

Elemento neutro o unidad

Elementos inversos

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

Sacar factor común

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Propiedad conmutativa del producto

El orden de los factores no altera el producto

Esto significa que podemos multiplicar las fracciones en el orden que queramos

Por ejemplo:

\(\LARGE \frac{1}{5}\times \frac{-2}{3}=\frac{1\times (-2)}{5\times 3}=\frac{-2}{15}\)

\(\LARGE \frac{-2}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{(-2)\times 1}{3\times 5}=\frac{-2}{15}\)

Entonces:\(\LARGE \frac{1}{5}\times \frac{-2}{3}=\frac{-2}{3}\times \frac{1}{5}\)

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Propiedad asociativa del producto

El producto de varias fracciones no depende de la forma en que se asocien

Esto significa que podemos elegir multiplicar primero las fracciones que queramos

Por ejemplo:

Para multiplicar las fracciones \(\LARGE \frac{1}{3}\times \frac{2}{5}\times \frac{-1}{2}\)

• \(\LARGE \left ( \frac{1}{3}\times \frac{2}{5} \right )\times \frac{-1}{2}=\frac{1\times2 }{3\times5}\times\frac{-1}{2}=\frac{2}{15}\times\frac{-1}{2}=\frac{2\times(-1)}{15\times2}=\frac{-2}{30}\)
• \(\LARGE \frac{1}{3}\times \left ( \frac{2}{5}\times \frac{-1}{2} \right )=\frac{1}{3}\times \frac{2\times (-1)}{15\times 2}=\frac{1}{3}\times \frac{-2}{10}=\frac{-2}{30}\)

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Elemento neutro o unidad

El elemento neutro del producto de fracciones es el 1

Recordad que todas las fracciones que tienen iguales el numerador y el denominador valen 1

\(\LARGE 1=\left \{ \frac{1}{1}=\frac{-1}{-1}=\frac{2}{2}=\frac{-2}{-2}=\frac{3}{3}=\frac{-3}{-3}=\frac{4}{4}=\frac{-4}{-4}= \cdots \right \}\)

Esto significa que si multiplicamos cualquier fracción por la unidad, el resultado va a ser esa misma fracción

Por ejemplo:

\(\LARGE \frac{2}{5}\times 1=\frac{2}{5}\times \frac{1}{1}=\frac{2\times 1}{5\times 1}=\frac{2}{5}\)

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Elemento inverso

El elemento inverso de una fracción es otra fracción de manera que si se multiplican el resultado es la unidad (el elemento neutro para el producto)

Toda fracción distinta de cero siempre tiene inverso, si en la fracción \(\LARGE \frac{a}{b}\) es a distinto de cero (a ≠ 0), entonces \(\LARGE \frac{a}{b}\) tiene elemento inverso

El elemento inverso de una fracción la obtenemos invirtiendo los términos, es decir, cambiando el numerador por el denominador y viceversa

\(\LARGE Inverso\; de\frac{5}{3} =\frac{3}{5}\)

Entonces \(\LARGE \frac{5}{3} \times \frac{3}{5}=\frac{5\times 3}{3\times 5}=\frac{15}{15}= 1\)

En ocasiones se designa una fracción por una sola letra. En este caso si m es una fracción distinta de cero, su inverso se representa por \(\LARGE \frac{1}{m}\).

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Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

La propiedad distributiva permite transformar un producto en una suma/resta o una suma/resta en un producto

Por ejemplo:

\(\LARGE \frac{2}{3}\times \left ( \frac{1}{5}+\frac{-1}{10} \right )=\frac{2}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}\times \frac{-1}{10}\)

Desarrollamos el primer miembro:

\(\LARGE \frac{2}{3}\times \left ( \frac{1}{5}+\frac{-1}{10} \right )=\frac{2}{3}\times \left ( \frac{2+(-1)}{10} \right )=\frac{2}{3}\times \frac{1}{10}=\frac{2\times 1}{3\times 10}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)

Desarrollamos el segundo miembro:

\(\LARGE \frac{2}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}\times \frac{-1}{10}=\frac{2\times1 }{3\times5}+\frac{2\times(-1)}{3\times10}=\frac{2}{15}+\frac{-2}{30}=\frac{4+(-2)}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)

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Sacar factor común

Sacar factor común es una propiedad que se deriva de la propiedad distributiva. De hecho es la misma propiedad distributiva pero leída al revés.

Cuando sacamos factor común estamos transformando una suma/resta en un producto

En el ejemplo de antes:

\(\LARGE \frac{2}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}\times \frac{-1}{10}=\frac{2}{3}\times \left ( \frac{1}{5}+\frac{-1}{10} \right )\)

Simplificación de fracciones ¡Cuidado al simplificar!

En ocasiones, antes de multiplicar fracciones conviene simplificar

Si los términos de la fracción están descompuestos en productos sí se puede simplificar. Si están descompuestos en sumandos no se puede simplificar.

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VÍDEOS DE LA CLASE

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