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AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
¿Qué significa amplificar y simplificar fracciones?
La amplificación y simplificación de fracciones es un método para encontrar fracciones equivalentes. Amplificar y simplificar fracciones significa encontrar fracciones equivalentes a una fracción pero con los términos mayores (fracciones equivalentes por amplificación) o menores (fracciones equivalentes por simplificación).
Fracciones equivalentes por amplificación
Vamos a partir de una fracción, por ejemplo \(\LARGE \frac{2}{3}\) y a partir de ella vamos a obtener fracciones equivalentes a ella por amplificación.
Para ello vamos a multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número (siempre un número distinto de cero). Las fracciones que vamos a obtener haciendo esto van a ser fracciones equivalentes.
En general, si m ≠ 0,
Entonces \(\LARGE \frac{a\cdot m}{b\cdot m}\) es equivalente a \(\LARGE \frac{a}{b}\)
Por lo tanto, \(\LARGE \frac{a\cdot m}{b\cdot m}=\frac{a}{b}\)
Vamos a encontrar fracciones equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\) por amplificación:
Multiplicamos el numerador y el denominador por un número, por ejemplo, por 2:
\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}\)
\(\LARGE \frac{4}{6}\) es una fracción amplificada de \(\LARGE \frac{2}{3}\), y por lo tanto \(\LARGE \frac{4}{6}\) y \(\LARGE \frac{2}{3}\) son fracciones equivalentes: \(\LARGE \frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
Fracciones equivalentes por simplificación
Simplificar una fracción es encontrar otras fracciones equivalentes a ella pero que tengan los términos menores.
Para ello se dividen el numerador y el denominador por divisores que sean comunes a ambos.
Por ejemplo, si queremos simplificar la fracción \(\LARGE \frac{-12}{18}\), tenemos que dividir el numerador y el denominador por divisores que sean comunes a -12 y a 18.
El +1 no lo vamos a utilizar nunca para encontrar fracciones por amplificación ni por simplificación, ya que la fracción no variaría.
Entonces:
\(\LARGE \frac{-12}{18}=\frac{-12\div 2}{18\div 2}=\frac{-6}{9}\). Entonces \(\LARGE \frac{-6}{9}\) es una fracción simplificada de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), por lo tanto \(\LARGE \frac{-6}{9}=\frac{-12}{18}\).
\(\LARGE \frac{-6}{9}=\frac{-12}{18}\). Entonces \(\LARGE \frac{6}{-9}\) es una fracción simplificada de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), por lo tanto \(\LARGE \frac{6}{-9}=\frac{-12}{18}\).
Podemos hacer esta operación con todos los divisores que tengan en común el numerador y el denominador, y obtendremos todas las fracciones por simplificación de \(\LARGE \frac{-12}{18}\).
Fracciones irreducibles
Vamos a calcular la fracción irreducible de \(\LARGE \frac{-12}{18}\)
Como hemos visto, primero calculamos los divisores del numerador y del denominador:
Los divisores de -12 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
Los divisores de 18 son: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9,±18
Por lo tanto, los divisores comunes de -12 y 18son: ±1, ±2, ±3 y ±6
M.C.D. (-12, 18) = 6
Entonces dividimos el numerador y el denominador de la fracción, por el m.c.d (-12, 18), es decir, dividimos entre 6 (o entre -6):
\(\LARGE \frac{-12}{18}=\frac{-12\div 6}{18\div 6}=\frac{-2}{3}\)
\(\LARGE \frac{-2}{3}\) es la fracción irreducible de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), y esta fracción ya no se puede simplificar más.
Hay otra manera de calcular el m.c.d. de dos o más números:
Primero se hace la descomposición en factores primos del numerador y del denominador, y se expresan esos productos en forma de potencia:
12 = 2 x 2 x 3 = 2²x 3
18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3²
Para calcular el m.c.d. de esos números, nos fijamos en las descomposiciones factoriales y elegimos solamente los factores comunes en todas las descomposiciones, y de entre los factores que se repitan, elegiremos el que tenga menor exponente
m.c.d (12, 18) = 2 x 3 = 6
Reducción de fracciones a común denominador
Esto lo vamos a necesitar más adelante para poder hacer operaciones con fracciones.
Para reducir dos o más fracciones a común denominador, podemos utilizar cualquiera de estos dos métodos:
a) El método de los productos cruzados
b) El método del mínimo común múltiplo.
Vamos a reducir las fracciones \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\) a común denominador:
Método de los productos cruzados
\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 6\cdot 4}{3\cdot 6\cdot 4}=\frac{48}{72}\) Entonces \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{48}{72}\)
\(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-3\cdot 3\cdot 4}{6\cdot 3\cdot 4}=\frac{-36}{72}\) Entonces (-3)/6 = \(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-36}{72}\)
\(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 6}=\frac{54}{72}\) Entonces \(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{54}{72}\)
Las fracciones \(\LARGE \frac{48}{72}\), \(\LARGE \frac{-36}{72}\) y \(\LARGE \frac{54}{72}\) son fracciones respectivamente equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\), pero ahora ya tienen el mismo denominador.
Método del mínimo común múltiplo
Para aplicar el método del mínimo común múltiplo:
M (3) = 3, 6, 9, 12, 15…
M (6) = 6, 12, 18, 24, 30…
M (4) = 4, 8, 12, 16, 20,…
m.c.m (3, 6, 4) = 12 → Ahora ya sabemos que el denominador de todas esas fracciones va a ser 12.
Hay otra manera de calcular el m.c.m. de dos o más números:
Primero se hace la descomposición en factores primos de todos los números y se expresan esos productos en forma de potencia:
3 = 3
6 = 2 x 3
4 = 2 x 2 = 2²
Para calcular el m.c.m. de esos números, nos fijamos en las descomposiciones factoriales y elegimos los factores comunes y no comunes (es decir, todos) en todas las descomposiciones, y de entre los factores que se repitan, elegiremos el que tenga mayor exponente
m.c.m (3, 6, 2) = 2² x 3 = 12
Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{2}{3}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷3) x 2 = 8. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{8}{12}\)
Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{-3}{6}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷6) x (-3) = -6. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-6}{12}\)
Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{3}{4}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷4) x 3 = 9. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{9}{12}\)
Las fracciones \(\LARGE \frac{8}{12}\), \(\LARGE \frac{-6}{12}\) y \(\LARGE \frac{9}{12}\) son fracciones respectivamente equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\), pero ahora ya tienen el mismo denominador.
VIDEOS DE LA CLASE
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APRENDE MÁS COSAS SOBRE LAS FRACCIONES…
Fracciones. Conceptos básicos.
La representación gráfica de fracciones.
thiago pablo dice
hola estoy en 5 grado y en 3 grado dimos la amplificacion y en la tarea de vacaciones me dieron un monton de estos y no me acuerdo como se asia
Thiago dice
no entendi nada no se que me quiere decir mi tarea :
Amplifica las siguientes fracciones por 4,6 y 8.
20
— *20 sobre 24*
24
Isabel dice
Hola Thiago,
Tienes que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por cada número que te dan y así obtienes 3 fracciones equivalentes a 20/24 por amplificación.
karen vanessa imbacuan ayala dice
ejemplos de fracciones equivalentes aplicando la simplificacion
Isabel dice
Hola Karen Vanessa, en los ejercicios del 6 al 25 puedes practicar la simplificación de fracciones, ver las soluciones o mirar los vídeos para ver cómo se hacen.
aryelle orellana dice
yo no entendi nada me lo puede explicar
Isabel dice
¿Nada de nada? Eso es mucho! Concretiza un poquito qué es lo que no entiendes 🙂
aryelle orellana dice
yonoentendi nada me lo puede explicar
Anónimo dice
Como se pasa un 3 que quede en 5
La escuela en casa dice
Para conseguir un 5 a partir de un 3 necesitas multiplicar el 3 por 5/3, pero necesito que especifiques mejor la pregunta porque no sé de qué me estás hablando. Ponme el ejemplo donde tienes la duda y te comento 🙂
Anónimo dice
Tengo que amplificar un par de fracciones que son 4/7 y 3/8
Isabel dice
Para amplificar una fracción sólo tienes que multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número (el número que tú quieras). Haciendo esta operación consigues una fracción amplificada.