AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

VÍDEO DE LA CLASE

Aquí tienes el vídeo de la clase sobre amplificación y simplificación de fracciones.

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AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

¿Qué significa amplificar y simplificar fracciones?

La amplificación y simplificación de fracciones es un método para encontrar fracciones equivalentes. Amplificar y simplificar fracciones significa encontrar fracciones equivalentes a una fracción pero con los términos mayores (fracciones equivalentes por amplificación) o menores (fracciones equivalentes por simplificación).

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Fracciones equivalentes por amplificación

Vamos a partir de una fracción, por ejemplo \(\LARGE \frac{2}{3}\) y a partir de ella vamos a obtener fracciones equivalentes a ella por amplificación.

Para ello vamos a multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número (siempre un número distinto de cero). Las fracciones que vamos a obtener haciendo esto van a ser fracciones equivalentes.

En general, si m ≠ 0,

Entonces \(\LARGE \frac{a\cdot m}{b\cdot m}\) es equivalente a \(\LARGE \frac{a}{b}\)

Por lo tanto, \(\LARGE \frac{a\cdot m}{b\cdot m}=\frac{a}{b}\)

Vamos a encontrar fracciones equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\) por amplificación:

Multiplicamos el numerador y el denominador por un número, por ejemplo, por 2:

\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}\)

\(\LARGE \frac{4}{6}\) es una fracción amplificada de \(\LARGE \frac{2}{3}\), y por lo tanto \(\LARGE \frac{4}{6}\) y \(\LARGE \frac{2}{3}\) son fracciones equivalentes: \(\LARGE \frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

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Fracciones equivalentes por simplificación

Simplificar una fracción es encontrar otras fracciones equivalentes a ella pero que tengan los términos menores.

Para ello se dividen el numerador y el denominador por divisores que sean comunes a ambos.

Por ejemplo, si queremos simplificar la fracción \(\LARGE \frac{-12}{18}\), tenemos que dividir el numerador y el denominador por divisores que sean comunes a -12 y a 18.

El +1 no lo vamos a utilizar nunca para encontrar fracciones por amplificación ni por simplificación, ya que la fracción no variaría.

Entonces:

\(\LARGE \frac{-12}{18}=\frac{-12\div 2}{18\div 2}=\frac{-6}{9}\). Entonces \(\LARGE \frac{-6}{9}\) es una fracción simplificada de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), por lo tanto \(\LARGE \frac{-6}{9}=\frac{-12}{18}\).

\(\LARGE \frac{-6}{9}=\frac{-12}{18}\). Entonces \(\LARGE \frac{6}{-9}\) es una fracción simplificada de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), por lo tanto \(\LARGE \frac{6}{-9}=\frac{-12}{18}\).

Podemos hacer esta operación con todos los divisores que tengan en común el numerador y el denominador, y obtendremos todas las fracciones por simplificación de \(\LARGE \frac{-12}{18}\).

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Fracciones irreducibles

Vamos a calcular la fracción irreducible de \(\LARGE \frac{-12}{18}\)

Como hemos visto, primero calculamos los divisores del numerador y del denominador:

Los divisores de -12 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Los divisores de 18 son: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9,±18

Por lo tanto, los divisores comunes de -12 y 18son: ±1, ±2, ±3 y ±6

M.C.D. (-12, 18) = 6

Entonces dividimos el numerador y el denominador de la fracción, por el m.c.d (-12, 18), es decir, dividimos entre 6 (o entre -6):

\(\LARGE \frac{-12}{18}=\frac{-12\div 6}{18\div 6}=\frac{-2}{3}\)

\(\LARGE \frac{-2}{3}\) es la fracción irreducible de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), y esta fracción ya no se puede simplificar más.

Hay otra manera de calcular el m.c.d. de dos o más números:

Primero se hace la descomposición en factores primos del numerador y del denominador, y se expresan esos productos en forma de potencia:

12 = 2 x 2 x 3 = 2²x 3

18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3²

Para calcular el m.c.d. de esos números, nos fijamos en las descomposiciones factoriales y elegimos solamente los factores comunes en todas las descomposiciones, y de entre los factores que se repitan, elegiremos el que tenga menor exponente

m.c.d (12, 18) = 2 x 3 = 6

Reducción de fracciones a común denominador

Esto lo vamos a necesitar más adelante para poder hacer operaciones con fracciones.

Para reducir dos o más fracciones a común denominador, podemos utilizar cualquiera de estos dos métodos:

a) El método de los productos cruzados

b) El método del mínimo común múltiplo.

Vamos a reducir las fracciones \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\) a común denominador:

Método de los productos cruzados

\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 6\cdot 4}{3\cdot 6\cdot 4}=\frac{48}{72}\) Entonces \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{48}{72}\)

\(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-3\cdot 3\cdot 4}{6\cdot 3\cdot 4}=\frac{-36}{72}\) Entonces (-3)/6 = \(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-36}{72}\)

\(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 6}=\frac{54}{72}\) Entonces \(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{54}{72}\)

Las fracciones \(\LARGE \frac{48}{72}\), \(\LARGE \frac{-36}{72}\) y \(\LARGE \frac{54}{72}\) son fracciones respectivamente equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\), pero ahora ya tienen el mismo denominador.

Método del mínimo común múltiplo

Para aplicar el método del mínimo común múltiplo:

M (3) = 3, 6, 9, 12, 15…

M (6) = 6, 12, 18, 24, 30…

M (4) = 4, 8, 12, 16, 20,…

m.c.m (3, 6, 4) = 12  → Ahora ya sabemos que el denominador de todas esas fracciones va a ser 12.

Hay otra manera de calcular el m.c.m. de dos o más números:

Primero se hace la descomposición en factores primos de todos los números y se expresan esos productos en forma de potencia:

3 = 3

6 = 2 x 3

4 = 2 x 2 = 2²

Para calcular el m.c.m. de esos números, nos fijamos en las descomposiciones factoriales y elegimos los factores comunes y no comunes (es decir, todos) en todas las descomposiciones, y de entre los factores que se repitan, elegiremos el que tenga mayor exponente

m.c.m (3, 6, 2) = 2² x 3 = 12

Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{2}{3}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷3) x 2 = 8. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{8}{12}\)

Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{-3}{6}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷6) x (-3) = -6. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-6}{12}\)

Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{3}{4}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷4) x 3 = 9. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{9}{12}\)

Las fracciones \(\LARGE \frac{8}{12}\), \(\LARGE \frac{-6}{12}\) y \(\LARGE \frac{9}{12}\) son fracciones respectivamente equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\), pero ahora ya tienen el mismo denominador.

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CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO

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EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

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Ejercicios sobre la amplificación y simplificación de fracciones

Aquí tienes los ejercicios sobre la amplificación y simplificación de fracciones.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes la solución a los ejercicios anteriores

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Resolución de los ejercicios

Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explican los ejercicios de esta clase. 

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