AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

¿Qué significa amplificar y simplificar fracciones?

La amplificación y simplificación de fracciones es un método para encontrar fracciones equivalentes. Amplificar y simplificar fracciones significa encontrar fracciones equivalentes a una fracción pero con los términos mayores (fracciones equivalentes por amplificación) o menores (fracciones equivalentes por simplificación).

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Fracciones equivalentes por amplificación

Vamos a partir de una fracción, por ejemplo \(\LARGE \frac{2}{3}\) y a partir de ella vamos a obtener fracciones equivalentes a ella por amplificación.

Para ello vamos a multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número (siempre un número distinto de cero). Las fracciones que vamos a obtener haciendo esto van a ser fracciones equivalentes.

En general, si m ≠ 0,

Entonces \(\LARGE \frac{a\cdot m}{b\cdot m}\) es equivalente a \(\LARGE \frac{a}{b}\)

Por lo tanto, \(\LARGE \frac{a\cdot m}{b\cdot m}=\frac{a}{b}\)

Vamos a encontrar fracciones equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\) por amplificación:

Multiplicamos el numerador y el denominador por un número, por ejemplo, por 2:

\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}\)

\(\LARGE \frac{4}{6}\) es una fracción amplificada de \(\LARGE \frac{2}{3}\), y por lo tanto \(\LARGE \frac{4}{6}\) y \(\LARGE \frac{2}{3}\) son fracciones equivalentes: \(\LARGE \frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

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Fracciones equivalentes por simplificación

Simplificar una fracción es encontrar otras fracciones equivalentes a ella pero que tengan los términos menores.

Para ello se dividen el numerador y el denominador por divisores que sean comunes a ambos.

Por ejemplo, si queremos simplificar la fracción \(\LARGE \frac{-12}{18}\), tenemos que dividir el numerador y el denominador por divisores que sean comunes a -12 y a 18.

El +1 no lo vamos a utilizar nunca para encontrar fracciones por amplificación ni por simplificación, ya que la fracción no variaría.

Entonces:

\(\LARGE \frac{-12}{18}=\frac{-12\div 2}{18\div 2}=\frac{-6}{9}\). Entonces \(\LARGE \frac{-6}{9}\) es una fracción simplificada de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), por lo tanto \(\LARGE \frac{-6}{9}=\frac{-12}{18}\).

\(\LARGE \frac{-6}{9}=\frac{-12}{18}\). Entonces \(\LARGE \frac{6}{-9}\) es una fracción simplificada de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), por lo tanto \(\LARGE \frac{6}{-9}=\frac{-12}{18}\).

Podemos hacer esta operación con todos los divisores que tengan en común el numerador y el denominador, y obtendremos todas las fracciones por simplificación de \(\LARGE \frac{-12}{18}\).

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Fracciones irreducibles

Vamos a calcular la fracción irreducible de \(\LARGE \frac{-12}{18}\)

Como hemos visto, primero calculamos los divisores del numerador y del denominador:

Los divisores de -12 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Los divisores de 18 son: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9,±18

Por lo tanto, los divisores comunes de -12 y 18son: ±1, ±2, ±3 y ±6

M.C.D. (-12, 18) = 6

Entonces dividimos el numerador y el denominador de la fracción, por el m.c.d (-12, 18), es decir, dividimos entre 6 (o entre -6):

\(\LARGE \frac{-12}{18}=\frac{-12\div 6}{18\div 6}=\frac{-2}{3}\)

\(\LARGE \frac{-2}{3}\) es la fracción irreducible de \(\LARGE \frac{-12}{18}\), y esta fracción ya no se puede simplificar más.

Hay otra manera de calcular el m.c.d. de dos o más números:

Primero se hace la descomposición en factores primos del numerador y del denominador, y se expresan esos productos en forma de potencia:

12 = 2 x 2 x 3 = 2²x 3

18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3²

Para calcular el m.c.d. de esos números, nos fijamos en las descomposiciones factoriales y elegimos solamente los factores comunes en todas las descomposiciones, y de entre los factores que se repitan, elegiremos el que tenga menor exponente

m.c.d (12, 18) = 2 x 3 = 6

Reducción de fracciones a común denominador

Esto lo vamos a necesitar más adelante para poder hacer operaciones con fracciones.

Para reducir dos o más fracciones a común denominador, podemos utilizar cualquiera de estos dos métodos:

a) El método de los productos cruzados

b) El método del mínimo común múltiplo.

Vamos a reducir las fracciones \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\) a común denominador:

Método de los productos cruzados

\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 6\cdot 4}{3\cdot 6\cdot 4}=\frac{48}{72}\) Entonces \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{48}{72}\)

\(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-3\cdot 3\cdot 4}{6\cdot 3\cdot 4}=\frac{-36}{72}\) Entonces (-3)/6 = \(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-36}{72}\)

\(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 6}=\frac{54}{72}\) Entonces \(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{54}{72}\)

Las fracciones \(\LARGE \frac{48}{72}\), \(\LARGE \frac{-36}{72}\) y \(\LARGE \frac{54}{72}\) son fracciones respectivamente equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\), pero ahora ya tienen el mismo denominador.

Método del mínimo común múltiplo

Para aplicar el método del mínimo común múltiplo:

M (3) = 3, 6, 9, 12, 15…

M (6) = 6, 12, 18, 24, 30…

M (4) = 4, 8, 12, 16, 20,…

m.c.m (3, 6, 4) = 12  → Ahora ya sabemos que el denominador de todas esas fracciones va a ser 12.

Hay otra manera de calcular el m.c.m. de dos o más números:

Primero se hace la descomposición en factores primos de todos los números y se expresan esos productos en forma de potencia:

3 = 3

6 = 2 x 3

4 = 2 x 2 = 2²

Para calcular el m.c.m. de esos números, nos fijamos en las descomposiciones factoriales y elegimos los factores comunes y no comunes (es decir, todos) en todas las descomposiciones, y de entre los factores que se repitan, elegiremos el que tenga mayor exponente

m.c.m (3, 6, 2) = 2² x 3 = 12

Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{2}{3}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷3) x 2 = 8. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{8}{12}\)

Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{-3}{6}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷6) x (-3) = -6. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{-3}{6}=\frac{-6}{12}\)

Para hallar la fracción equivalente para \(\LARGE \frac{3}{4}\) , ya sabemos que el denominador va a ser 12. Para calcular el numerador hacemos: (12 ÷4) x 3 = 9. Por lo tanto: \(\LARGE \frac{3}{4}=\frac{9}{12}\)

Las fracciones \(\LARGE \frac{8}{12}\), \(\LARGE \frac{-6}{12}\) y \(\LARGE \frac{9}{12}\) son fracciones respectivamente equivalentes a \(\LARGE \frac{2}{3}\), \(\LARGE \frac{-3}{6}\) y \(\LARGE \frac{3}{4}\), pero ahora ya tienen el mismo denominador.

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