RAÍCES DE FRACCIONES

RAÍCES DE FRACCIONES

En esta clase vamos a ver las raíces de fracciones, pero para ello primero vamos a hacer un breve repaso de lo que son las raíces.

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Breve repaso de las raíces

La raíz enésima de un número b es otro número a tal que a elevado a la enésima potencia dé b.

Por ejemplo: \(\LARGE \sqrt[3]{8}=2\) porque \(\large 2^{3}=8\)

Cuando la base es un número racional, la expresión se convierte en:

Por ejemplo: \(\LARGE \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}\)

Las partes de una raíz son: índice, raíz y radicando

Para poder sumar o restar radicales, estos tienen que ser semejantes

Para poder multiplicar o dividir radicales, estos tienen que tener el mismo índice

Para repasar más sobre las raíces, mira las siguientes clases:

• Raíces de base entera y exponente natural
• Operaciones con raíces

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Cálculo de la raíz de una fracción

La raíz de una fracción es la raíz del numerador partido de la raíz del denominador

 Estas raíces pueden ser exactas o no.

Ejemplos:

 \(\LARGE \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\pm \frac{2}{3}\)

\(\LARGE \sqrt[3]{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}=\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\)

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Operaciones con raíces de fracciones

• Suma de radicales racionales
• Resta de radicales racionales
• Producto de radicales racionales
• División de radicales racionales
• Potencia de un radical
• Raíz de un radical

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Suma de radicales racionales

Sólo se pueden sumar radicales racionales si son semejantes.

Para sumar dos radicales semejantes, se deja el mismo índice y se suman los coeficientes

Ejemplo:

\(\LARGE 2\sqrt[3]{\frac{5}{4}}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( 2+\frac{1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( \frac{4+1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\)

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Resta de radicales racionales

Sólo se pueden restar radicales racionales si son semejantes .

Para restar dos radicales semejantes, se suma al primero el opuesto del segundo, es decir, se restan los coeficientes y se deja el mismo radical

Ejemplo:

\(\LARGE 2\sqrt[3]{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( 2-\frac{1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( \frac{4-1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\)

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Producto de radicales racionales

Sólo se pueden multiplicar radicales racionales si tienen el mismo índice.

Para multiplicar radicales del mismo índice, se multiplican los coeficientes y también se multiplican los radicandos

Ejemplo:

\(\LARGE \frac{-2}{7}\sqrt[4]{\frac{1}{5}}\times 3\sqrt[4]{\frac{2}{3}}=\left ( -\frac{2}{7}\times \frac{3}{1} \right )\sqrt[4]{\frac{1}{5}\times\frac{2}{3}}=\frac{-6}{7}\sqrt[4]{\frac{2}{15}}\)

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División de radicales racionales

Sólo se pueden dividir radicales racionales si tienen el mismo índice.

Para dividir radicales racionales del mismo índice, se dividen los radicandos y también se dividen los coeficientes

Ejemplo:

\(\LARGE \frac{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}{2\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\div 2\sqrt[3]{\frac{3}{4}}=\left ( \frac{1}{2} \div \frac{2}{1}\right )\sqrt[3]{\frac{1}{3}\div \frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\)

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Potencia de un radical racional

Para elevar un radical racional a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia

Ejemplo:

\(\LARGE \left ( \sqrt[5]{\frac{3}{4}} \right )^{9}=\sqrt[5]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{9}}\)

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 Raíz de un radical racional

Para hacer la raíz de una raíz de una fracción se multiplican los índices y se deja el mismo radicando

Ejemplo:

\(\LARGE \sqrt{\sqrt[3]{\frac{2}{5}}}=\sqrt[2\times 3]{\frac{2}{5}}=\sqrt[6]{\frac{2}{5}}\)

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Cómo expresar una raíz en forma de potencia

Para expresar una raíz en forma de potencia sacamos la raíz y ponemos el índice en el denominador del exponente

Ejemplos:

\(\LARGE \left ( \sqrt{\frac{1}{2}} \right )^{3}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{3}{2}}\)

\(\LARGE \left ( \sqrt[5]{\frac{3}{4}} \right )^{9}=\left ( \frac{3}{4} \right )^{\frac{9}{5}}\)

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Racionalización de denominadores

Cuando tengamos una fracción que tiene una raíz en el denominador, con frecuencia interesa reducirla a otra expresión equivalente que no tenga ninguna raíz en el denominador.

A esto es a lo que se le llama racionalizar denominadores (sacar la raíz del denominador)

Para hacer una racionalización de denominadores nos podemos encontrar con dos casos:

Si en el denominador no hay sumas o restas

En este caso se multiplican los dos términos por la raíz que haya en el denominador.

Ejemplo:

\(\LARGE \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\left ( 1+\sqrt{2} \right )\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2}\)

Si en el denominador hay sumas o restas

En este caso se multiplican los dos términos por la expresión conjugada del denominador

La expresión conjugada de una suma es una resta, y la expresión conjugada de una resta es una suma.

Por ejemplo:

• La expresión conjugada de \(\LARGE 2-\sqrt{2}\) es \(\large 2+\sqrt{2}\)
• La expresión conjungada de \(\LARGE 2+\sqrt{2}\) es \(\large 2-\sqrt{2}\)

Cuando multiplicamos una expresión por su conjugada, estamos haciendo el producto de una suma por una diferencia de dos números.

El producto de una suma por una diferencia de dos números es la diferencia de los cuadrados de los números

Ejemplos:

• \(\LARGE \frac{9}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{9\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )\cdot \left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )}=\frac{9\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{9\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{3-2}=\frac{9\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{1}=9\sqrt{3}-9\sqrt{2}\)
• \(\LARGE \frac{9}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{9\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\cdot \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}=\frac{9\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{9\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{3-2}=\frac{9\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{1}=9\sqrt{3}+9\sqrt{2}\)

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VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

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EJERCICIOS

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