Tabla de contenidos
RAÍCES DE FRACCIONES
En esta clase vamos a ver las raíces de fracciones, pero para ello primero vamos a hacer un breve repaso de lo que son las raíces.
Breve repaso de las raíces
La raíz enésima de un número b es otro número a tal que a elevado a la enésima potencia dé b.

Por ejemplo: \(\LARGE \sqrt[3]{8}=2\) porque \(\large 2^{3}=8\)
Cuando la base es un número racional, la expresión se convierte en:

Por ejemplo: \(\LARGE \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}\)
Las partes de una raíz son: índice, raíz y radicando

Para poder sumar o restar radicales, estos tienen que ser semejantes
Para poder multiplicar o dividir radicales, estos tienen que tener el mismo índice
Para repasar más sobre las raíces, mira las siguientes clases:
Cálculo de la raíz de una fracción
La raíz de una fracción es la raíz del numerador partido de la raíz del denominador

Estas raíces pueden ser exactas o no.
Ejemplos:
\(\LARGE \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\pm \frac{2}{3}\)
\(\LARGE \sqrt[3]{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}=\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\)
Operaciones con raíces de fracciones
- Suma de radicales racionales
- Resta de radicales racionales
- Producto de radicales racionales
- División de radicales racionales
- Potencia de un radical
- Raíz de un radical
Suma de radicales racionales
Sólo se pueden sumar radicales racionales si son semejantes.
Para sumar dos radicales semejantes, se deja el mismo índice y se suman los coeficientes

Ejemplo:
\(\LARGE 2\sqrt[3]{\frac{5}{4}}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( 2+\frac{1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( \frac{4+1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\)
Resta de radicales racionales
Sólo se pueden restar radicales racionales si son semejantes .
Para restar dos radicales semejantes, se suma al primero el opuesto del segundo, es decir, se restan los coeficientes y se deja el mismo radical

Ejemplo:
\(\LARGE 2\sqrt[3]{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( 2-\frac{1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\left ( \frac{4-1}{2} \right )\sqrt[3]{\frac{5}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\)
Producto de radicales racionales
Sólo se pueden multiplicar radicales racionales si tienen el mismo índice.
Para multiplicar radicales del mismo índice, se multiplican los coeficientes y también se multiplican los radicandos

Ejemplo:
\(\LARGE \frac{-2}{7}\sqrt[4]{\frac{1}{5}}\times 3\sqrt[4]{\frac{2}{3}}=\left ( -\frac{2}{7}\times \frac{3}{1} \right )\sqrt[4]{\frac{1}{5}\times\frac{2}{3}}=\frac{-6}{7}\sqrt[4]{\frac{2}{15}}\)
División de radicales racionales
Sólo se pueden dividir radicales racionales si tienen el mismo índice.
Para dividir radicales racionales del mismo índice, se dividen los radicandos y también se dividen los coeficientes

Ejemplo:
\(\LARGE \frac{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}{2\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\div 2\sqrt[3]{\frac{3}{4}}=\left ( \frac{1}{2} \div \frac{2}{1}\right )\sqrt[3]{\frac{1}{3}\div \frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\)
Potencia de un radical racional
Para elevar un radical racional a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia

Ejemplo:
\(\LARGE \left ( \sqrt[5]{\frac{3}{4}} \right )^{9}=\sqrt[5]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{9}}\)
Raíz de un radical racional
Para hacer la raíz de una raíz de una fracción se multiplican los índices y se deja el mismo radicando

Ejemplo:
\(\LARGE \sqrt{\sqrt[3]{\frac{2}{5}}}=\sqrt[2\times 3]{\frac{2}{5}}=\sqrt[6]{\frac{2}{5}}\)
Cómo expresar una raíz en forma de potencia
Para expresar una raíz en forma de potencia sacamos la raíz y ponemos el índice en el denominador del exponente

Ejemplos:
\(\LARGE \left ( \sqrt{\frac{1}{2}} \right )^{3}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{3}{2}}\)
\(\LARGE \left ( \sqrt[5]{\frac{3}{4}} \right )^{9}=\left ( \frac{3}{4} \right )^{\frac{9}{5}}\)
Racionalización de denominadores
Cuando tengamos una fracción que tiene una raíz en el denominador, con frecuencia interesa reducirla a otra expresión equivalente que no tenga ninguna raíz en el denominador.
A esto es a lo que se le llama racionalizar denominadores (sacar la raíz del denominador)
Para hacer una racionalización de denominadores nos podemos encontrar con dos casos:
Si en el denominador no hay sumas o restas
En este caso se multiplican los dos términos por la raíz que haya en el denominador.
Ejemplo:
\(\LARGE \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\left ( 1+\sqrt{2} \right )\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2}\)
Si en el denominador hay sumas o restas
En este caso se multiplican los dos términos por la expresión conjugada del denominador
La expresión conjugada de una suma es una resta, y la expresión conjugada de una resta es una suma.
Por ejemplo:
- La expresión conjugada de \(\LARGE 2-\sqrt{2}\) es \(\large 2+\sqrt{2}\)
- La expresión conjungada de \(\LARGE 2+\sqrt{2}\) es \(\large 2-\sqrt{2}\)
Cuando multiplicamos una expresión por su conjugada, estamos haciendo el producto de una suma por una diferencia de dos números.
El producto de una suma por una diferencia de dos números es la diferencia de los cuadrados de los números

Ejemplos:
- \(\LARGE \frac{9}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{9\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )\cdot \left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )}=\frac{9\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{9\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{3-2}=\frac{9\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{1}=9\sqrt{3}-9\sqrt{2}\)
- \(\LARGE \frac{9}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{9\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\cdot \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}=\frac{9\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{9\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{3-2}=\frac{9\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{1}=9\sqrt{3}+9\sqrt{2}\)
VÍDEOS DE LA CLASE
Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.
CUESTIONARIO
¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!
EJERCICIOS
Pulsa el botón «EJERCICIOS» para acceder todos los ejercicios de esta clase y haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en el vídeo de arriba para ver cómo se resuelve el ejercicio.
APRENDE MÁS COSAS SOBRE LAS FRACCIONES…
Fracciones. Conceptos básicos.
Amplificación y simplificación de fracciones.
La representación gráfica de fracciones.
Natalia dice
Hola necesito q me ayuden 10/9 raiz cuadrada de 50. Para ya porfavor gracias
Antonia dice
Hola por favor me pueden ayudar a resolver estas raices con fracciones 9/4 . 25/49 y con indice 3 27/8. 125/64. Gracias ojala puedan ayudarme.