Tabla de contenidos
- 1 POTENCIAS DE BASE RACIONAL
- 2 VÍDEOS DE LA CLASE
- 3 CUESTIONARIO
- 4 EJERCICIOS
POTENCIAS DE BASE RACIONAL
En esta clase vamos a ver las potencias de base racional, pero para ello primero vamos a repasar lo que es una potencia.
Breve repaso: ¿Qué es una potencia? Introducción a las potencias de base racional
Una potencia es una multiplicación de factores iguales, es decir, es la multiplicación de un número por sí mismo un número determinado de veces

En el caso de los números enteros:
\(\large 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\)
Recuerda que el número que se repite se llama base y el número de veces que se repite ese número se llama exponente.
Mira aquí para repasar más sobre fracciones.
Potencias de base racional y exponente natural
Las potencias de base racional son potencias que tienen como base a una fracción y como exponente a un número natural.
Si \(\LARGE \frac{a}{b}\) es un número racional y n un número natural distinto de cero, la potencia \(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\) se define como un producto de n factores iguales a \(\LARGE \frac{a}{b}\).
\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \cdot \frac{a}{b}\)Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\)
Potencias de exponente 0 y de exponente 1
Al igual que en caso de potencias de base entera, en las potencias de base racional se verifica que:
Cualquier fracción elevada a cero, da como resultado 1.
Cualquier fracción elevada a 1, da como resultado la misma fracción.

Por ejemplo:
\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{0}=1\)
\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{1}=\frac{1}{5}\)
Potencia de una fracción
Cuadrado de una fracción
\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{2}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}\)
Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)
Cubo de una fracción
\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\right )^{3}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{3}}{b^{3}}\)
Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2}\right )^{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1^{3}}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)
Fórmula general de la potencia de una fracción
Para elevar una fracción a una potencia se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador de la fracción
\(\LARGE \frac{a}{b}^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \frac{a}{b}\cdot =\frac{a\cdot a\cdot a\cdots \cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)
Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27}\)
Signo de la potencia de base racional

Si la base es positiva
Si la base es positiva, el signo de la potencia siempre es positivo
Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)
Si la base es negativa
Si la base es negativa, el signo de la potencia dependerá del exponente:
- Si la base es negativa y el exponente es par, el signo de la potencia siempre va a ser positivo.
Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)
- Si la base es negativa y el exponente es impar, el signo de la potencia siempre va a ser negativo.
Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{3}=\frac{-1}{8}\)
Operaciones con potencias
Producto de potencias de la misma base
División de potencias de la misma base
Potencia de una potencia
Potencia de un producto
Potencias de exponente negativo
Producto de potencias de la misma base
Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\cdot \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\cdot a^{n}}{b^{m}\cdot b^{n}}=\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m+n}\)
Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3}\cdot \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3+2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{5}\)
División de potencias de la misma base
Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\div \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\div \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\div a^{n}}{b^{m}\div b^{n}}=\frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m-n}\)
Por ejemplo:\(\LARGE \left( \frac {-2}{3} \right )^{3}\div \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3-2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{1}\)
Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes

\(\LARGE \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^{m} \right ]^{p}=\left ( \frac{a^{m}}{b^{m}} \right )^{p}=\frac{\left ( a^{m} \right )^{p}}{\left ( b^{m} \right )^{p}}=\frac{a^{m\cdot p}}{b^{m\cdot p}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m\cdot p}\)
Por ejemplo: \(\LARGE \left [ \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3} \right ]^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3\cdot 2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{6}\)
Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada factor a dicha potencia

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right )^{n}=\left ( \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \right )^{n}=\frac{\left ( a\cdot c \right )^{n}}{\left ( b\cdot d \right )^{n}}=\frac{a^{n}\cdot c^{n}}{b^{n}\cdot d^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{c}{d} \right )^{n}\)
Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}\cdot \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}\)
Potencias de exponente negativo
Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo

Fijaos en esto: \(\LARGE a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^{0}=1\)
Si aplicamos las equivalencias fundamentales: \(\LARGE a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
Por ejemplo: \(\LARGE 3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}\)
Fracción elevada a un exponente negativo
Para elevar una fracción a un exponente negativo se invierten los términos de la fracción y luego se cambia el signo del exponente.

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}=\frac{1}{\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\)
VÍDEOS DE LA CLASE
Busca el vídeo que te interesa haciendo clic en la lista de reproducción (que está en esquina superior derecha del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.
CUESTIONARIO
¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!
EJERCICIOS
Pulsa el botón «EJERCICIOS» para acceder todos los ejercicios de esta clase y haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en el vídeo de arriba para ver cómo se resuelve el ejercicio.
APRENDE MÁS COSAS SOBRE LAS FRACCIONES…
Fracciones. Conceptos básicos.
Amplificación y simplificación de fracciones.
La representación gráfica de fracciones.
Anónimo dice
si es de ayudad jeje
jjrf dice
Hola me gusta mucho tu forma de enseñar, no me gusta mucho las matematicas pero me gusta mucha tu forma de enseñar
Isabel dice
Muchas gracias, me alegro que te sirva 🙂
Anónimo dice
hola profe isabel como esta? espero que bien queria contarle que estoy tomando sus clases todos los dias muy juciosamente pero de dos dias para aqui no me deja entrar la pagina cuando quiero ingresar con mi usuario serenity debido a esto no puedo resolver los ejercicios pense era un problema de mi computador me cree otra cuenta pero aun asi no me deja ? que sera? le agradezco mucho la atencion un abrazo
La escuela en casa dice
Hola Serenity, estoy muy bien, gracias. Espero que tú también estés bien. Prueba a regenerar contraseña o bien envíame un email a info.laescuelaencasa@gmail.com con el email que utilizaste para el usario «serenity» y te lo miro.
Un abrazo.
Isabel.
Anónimo dice
ooh muchas gracias ahora entiendo jeje
Serenity dice
hola quisiera preguntarte cuando realizamos una operacion de cociente de potencia como la del ejercicio 30. y nos queda el exponente negativo es siempre necesario pasarlo a positivo ?
La escuela en casa dice
Hola Serenity,
Normalmente, y salvo que te especifiquen los contrario en el enunciado del ejercicio, los resultados de las operaciones se suelen dejan con los exponentes en positivo. Hay casos especiales, como el caso de las potencias de base 10 con exponente negativo, que se usan para expresar cantidades muy pequeñas; en estos casos, el exponente se dejaría en negativo porque en ese caso el signo negativo tiene un significado muy concreto). En el resto de los casos, generalmente, los exponentes trataremos simpre de dejarlos en positivo (entender un exponente positivo es mucho más fácil que entender un exponenten negativo)
Espero que la expicación te haya servido.
Un abrazo.
Isabel