POTENCIAS DE BASE RACIONAL

POTENCIAS DE BASE RACIONAL

En esta clase vamos a ver las potencias de base racional, pero para ello primero vamos a repasar lo que es una potencia.

Breve repaso: ¿Qué es una potencia? Introducción a las potencias de base racional

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, es decir, es la multiplicación de un número por sí mismo un número determinado de veces

En el caso de los números enteros:

\(\large 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\)

Recuerda que el número que se repite se llama base y el número de veces que se repite ese número se llama exponente.

Mira aquí para repasar más sobre fracciones.

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Potencias de base racional y exponente natural

Las potencias de base racional son potencias  que tienen como base a una fracción y como exponente a un número natural.

Si \(\LARGE \frac{a}{b}\) es un número racional y n un número natural distinto de cero, la potencia \(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\) se define como un producto de n factores iguales a \(\LARGE \frac{a}{b}\).

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \cdot \frac{a}{b}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\)

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Potencias de exponente 0 y de exponente 1

Al igual que en caso de potencias de base entera, en las potencias de base racional se verifica que:

Cualquier fracción elevada a cero, da como resultado 1.

Cualquier fracción elevada a 1, da como resultado la misma fracción.

Por ejemplo:

\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{0}=1\)

\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{1}=\frac{1}{5}\)

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Potencia de una fracción

Cuadrado de una fracción

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{2}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)

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Cubo de una fracción

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\right )^{3}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{3}}{b^{3}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2}\right )^{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1^{3}}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)

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Fórmula general de la potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador de la fracción

\(\LARGE \frac{a}{b}^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \frac{a}{b}\cdot =\frac{a\cdot a\cdot a\cdots \cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27}\)

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Signo de la potencia de base racional

Si la base es positiva

Si la base es positiva, el signo de la potencia siempre es positivo

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)

Si la base es negativa

Si la base es negativa, el signo de la potencia dependerá del exponente:

• Si la base es negativa y el exponente es par, el signo de la potencia siempre va a ser positivo.

Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)

• Si la base es negativa y el exponente es impar, el signo de la potencia siempre va a ser negativo.

Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{3}=\frac{-1}{8}\)

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Operaciones con potencias

Producto de potencias de la misma base

División de potencias de la misma base

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

Potencias de exponente negativo

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Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\cdot \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\cdot a^{n}}{b^{m}\cdot b^{n}}=\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m+n}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3}\cdot \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3+2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{5}\)

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División de potencias de la misma base

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\div \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\div \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\div a^{n}}{b^{m}\div b^{n}}=\frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m-n}\)

Por ejemplo:\(\LARGE \left( \frac {-2}{3} \right )^{3}\div \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3-2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{1}\)

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Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes

\(\LARGE \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^{m} \right ]^{p}=\left ( \frac{a^{m}}{b^{m}} \right )^{p}=\frac{\left ( a^{m} \right )^{p}}{\left ( b^{m} \right )^{p}}=\frac{a^{m\cdot p}}{b^{m\cdot p}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m\cdot p}\)

Por ejemplo: \(\LARGE \left [ \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3} \right ]^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3\cdot 2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{6}\)

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Potencia de un producto

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada factor a dicha potencia

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right )^{n}=\left ( \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \right )^{n}=\frac{\left ( a\cdot c \right )^{n}}{\left ( b\cdot d \right )^{n}}=\frac{a^{n}\cdot c^{n}}{b^{n}\cdot d^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{c}{d} \right )^{n}\)

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}\cdot \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}\)

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Potencias de exponente negativo

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo

Fijaos en esto: \(\LARGE a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^{0}=1\)

Si aplicamos las equivalencias fundamentales: \(\LARGE a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

Por ejemplo:  \(\LARGE 3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}\)

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Fracción elevada a un exponente negativo

Para elevar una fracción a un exponente negativo se invierten los términos de la fracción y luego se cambia el signo del exponente.

 Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}=\frac{1}{\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\)

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VÍDEOS DE LA CLASE

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EJERCICIOS

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