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Clases de Matemáticas

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Portada » MATEMÁTICAS » LOS NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES) » POTENCIAS DE BASE RACIONAL

POTENCIAS DE BASE RACIONAL

Tabla de contenidos

  • 1 POTENCIAS DE BASE RACIONAL
    • 1.1 Breve repaso: ¿Qué es una potencia? Introducción a las potencias de base racional
    • 1.2 Potencias de base racional y exponente natural
    • 1.3 Potencias de exponente 0 y de exponente 1
    • 1.4 Potencia de una fracción
      • 1.4.1 Cuadrado de una fracción
      • 1.4.2 Cubo de una fracción
      • 1.4.3 Fórmula general de la potencia de una fracción
    • 1.5 Signo de la potencia de base racional
      • 1.5.1 Si la base es positiva
      • 1.5.2 Si la base es negativa
    • 1.6 Operaciones con potencias
      • 1.6.1 Producto de potencias de la misma base
      • 1.6.2 División de potencias de la misma base
      • 1.6.3 Potencia de una potencia
      • 1.6.4 Potencia de un producto
      • 1.6.5 Potencias de exponente negativo
        • 1.6.5.1 Fracción elevada a un exponente negativo
  • 2 VÍDEOS DE LA CLASE
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS

POTENCIAS DE BASE RACIONAL

En esta clase vamos a ver las potencias de base racional, pero para ello primero vamos a repasar lo que es una potencia.

Breve repaso: ¿Qué es una potencia? Introducción a las potencias de base racional

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, es decir, es la multiplicación de un número por sí mismo un número determinado de veces

Potencias de base racional
Potencias de base racional

En el caso de los números enteros:

\(\large 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\)

Recuerda que el número que se repite se llama base y el número de veces que se repite ese número se llama exponente.

Mira aquí para repasar más sobre fracciones.


Potencias de base racional y exponente natural

Las potencias de base racional son potencias  que tienen como base a una fracción y como exponente a un número natural.

Si \(\LARGE \frac{a}{b}\) es un número racional y n un número natural distinto de cero, la potencia \(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\) se define como un producto de n factores iguales a \(\LARGE \frac{a}{b}\).

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \cdot \frac{a}{b}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\)


Potencias de exponente 0 y de exponente 1

Al igual que en caso de potencias de base entera, en las potencias de base racional se verifica que:

Cualquier fracción elevada a cero, da como resultado 1.

Cualquier fracción elevada a 1, da como resultado la misma fracción.

Potencias de exponente 0 y 1
Potencias de exponente 0 y 1

Por ejemplo:

\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{0}=1\)

\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{1}=\frac{1}{5}\)


Potencia de una fracción

Cuadrado de una fracción

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{2}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)


Cubo de una fracción

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\right )^{3}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{3}}{b^{3}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2}\right )^{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1^{3}}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)


Fórmula general de la potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador de la fracción

Fórmula general de la potencia de una fracción

\(\LARGE \frac{a}{b}^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \frac{a}{b}\cdot =\frac{a\cdot a\cdot a\cdots \cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27}\)


Signo de la potencia de base racional

Signo de una potencia de base racional
Signo de la potencia de base racional

Si la base es positiva

Si la base es positiva, el signo de la potencia siempre es positivo

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)

Si la base es negativa

Si la base es negativa, el signo de la potencia dependerá del exponente:

  • Si la base es negativa y el exponente es par, el signo de la potencia siempre va a ser positivo.

Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)

  • Si la base es negativa y el exponente es impar, el signo de la potencia siempre va a ser negativo.

Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{3}=\frac{-1}{8}\)


Operaciones con potencias

Producto de potencias de la misma base

División de potencias de la misma base

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

Potencias de exponente negativo


Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes

Producto de potencias de la misma base
Producto de potencias de la misma base

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\cdot \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\cdot a^{n}}{b^{m}\cdot b^{n}}=\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m+n}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3}\cdot \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3+2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{5}\)


División de potencias de la misma base

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes

División de potencias de la misma base
División de potencias de la misma base

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\div \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\div \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\div a^{n}}{b^{m}\div b^{n}}=\frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m-n}\)

Por ejemplo:\(\LARGE \left( \frac {-2}{3} \right )^{3}\div \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3-2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{1}\)


Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes

Potencia de una potencia
Potencia de una potencia

\(\LARGE \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^{m} \right ]^{p}=\left ( \frac{a^{m}}{b^{m}} \right )^{p}=\frac{\left ( a^{m} \right )^{p}}{\left ( b^{m} \right )^{p}}=\frac{a^{m\cdot p}}{b^{m\cdot p}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m\cdot p}\)

Por ejemplo: \(\LARGE \left [ \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3} \right ]^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3\cdot 2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{6}\)


Potencia de un producto

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada factor a dicha potencia

Potencia de un producto
Potencia de un producto

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right )^{n}=\left ( \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \right )^{n}=\frac{\left ( a\cdot c \right )^{n}}{\left ( b\cdot d \right )^{n}}=\frac{a^{n}\cdot c^{n}}{b^{n}\cdot d^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{c}{d} \right )^{n}\)

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}\cdot \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}\)


Potencias de exponente negativo

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo

Potencia de un producto
Potencia de un producto

Fijaos en esto: \(\LARGE a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^{0}=1\)

Si aplicamos las equivalencias fundamentales: \(\LARGE a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

Por ejemplo:  \(\LARGE 3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}\)


Fracción elevada a un exponente negativo

Para elevar una fracción a un exponente negativo se invierten los términos de la fracción y luego se cambia el signo del exponente.

Fracción elevada a un exponente negativo
Fracción elevada a un exponente negativo

 Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}=\frac{1}{\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\)


VÍDEOS DE LA CLASE

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Suma y resta de fracciones.

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Multiplicación de fracciones.

División de fracciones.

Raíces de fracciones.


Comentarios

  1. Anónimo dice

    9 noviembre, 2015 en 3:50

    si es de ayudad jeje

  2. jjrf dice

    14 julio, 2015 en 2:50

    Hola me gusta mucho tu forma de enseñar, no me gusta mucho las matematicas pero me gusta mucha tu forma de enseñar

    • Isabel dice

      14 julio, 2015 en 11:53

      Muchas gracias, me alegro que te sirva 🙂

  3. Anónimo dice

    13 febrero, 2015 en 16:39

    hola profe isabel como esta? espero que bien queria contarle que estoy tomando sus clases todos los dias muy juciosamente pero de dos dias para aqui no me deja entrar la pagina cuando quiero ingresar con mi usuario serenity debido a esto no puedo resolver los ejercicios pense era un problema de mi computador me cree otra cuenta pero aun asi no me deja ? que sera? le agradezco mucho la atencion un abrazo

    • La escuela en casa dice

      13 febrero, 2015 en 16:49

      Hola Serenity, estoy muy bien, gracias. Espero que tú también estés bien. Prueba a regenerar contraseña o bien envíame un email a info.laescuelaencasa@gmail.com con el email que utilizaste para el usario «serenity» y te lo miro.
      Un abrazo.
      Isabel.

  4. Anónimo dice

    22 enero, 2015 en 20:05

    ooh muchas gracias ahora entiendo jeje

  5. Serenity dice

    21 enero, 2015 en 20:54

    hola quisiera preguntarte cuando realizamos una operacion de cociente de potencia como la del ejercicio 30. y nos queda el exponente negativo es siempre necesario pasarlo a positivo ?

    • La escuela en casa dice

      22 enero, 2015 en 10:18

      Hola Serenity,

      Normalmente, y salvo que te especifiquen los contrario en el enunciado del ejercicio, los resultados de las operaciones se suelen dejan con los exponentes en positivo. Hay casos especiales, como el caso de las potencias de base 10 con exponente negativo, que se usan para expresar cantidades muy pequeñas; en estos casos, el exponente se dejaría en negativo porque en ese caso el signo negativo tiene un significado muy concreto). En el resto de los casos, generalmente, los exponentes trataremos simpre de dejarlos en positivo (entender un exponente positivo es mucho más fácil que entender un exponenten negativo)
      Espero que la expicación te haya servido.
      Un abrazo.
      Isabel

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