POTENCIAS DE BASE RACIONAL

VÍDEOS DE LA CLASE

Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explica la teoría sobre las potencias de base racional.

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POTENCIAS DE BASE RACIONAL

En esta clase vamos a ver las potencias de base racional, pero para ello primero vamos a repasar lo que es una potencia.

Breve repaso: ¿Qué es una potencia? Introducción a las potencias de base racional

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, es decir, es la multiplicación de un número por sí mismo un número determinado de veces

En el caso de los números enteros:

\(\large 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\)

Recuerda que el número que se repite se llama base y el número de veces que se repite ese número se llama exponente.

Mira aquí para repasar más sobre fracciones.

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Potencias de base racional y exponente natural

Las potencias de base racional son potencias  que tienen como base a una fracción y como exponente a un número natural.

Si \(\LARGE \frac{a}{b}\) es un número racional y n un número natural distinto de cero, la potencia \(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\) se define como un producto de n factores iguales a \(\LARGE \frac{a}{b}\).

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \cdot \frac{a}{b}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\)

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Potencias de exponente 0 y de exponente 1

Al igual que en caso de potencias de base entera, en las potencias de base racional se verifica que:

Cualquier fracción elevada a cero, da como resultado 1.

Cualquier fracción elevada a 1, da como resultado la misma fracción.

Por ejemplo:

\(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{0}=1\) \(\LARGE \left ( \frac{1}{5} \right )^{1}=\frac{1}{5}\)

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Potencia de una fracción

Cuadrado de una fracción

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{2}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)

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Cubo de una fracción

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\right )^{3}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{3}}{b^{3}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2}\right )^{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1^{3}}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)

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Fórmula general de la potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador de la fracción

\(\LARGE \frac{a}{b}^{n}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \frac{a}{b}\cdot =\frac{a\cdot a\cdot a\cdots \cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27}\)

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Signo de la potencia de base racional

Si la base es positiva

Si la base es positiva, el signo de la potencia siempre es positivo

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)

Si la base es negativa

Si la base es negativa, el signo de la potencia dependerá del exponente:

• Si la base es negativa y el exponente es par, el signo de la potencia siempre va a ser positivo.

Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\)

• Si la base es negativa y el exponente es impar, el signo de la potencia siempre va a ser negativo.

Por ejemplo:\(\LARGE \left ( \frac{-1}{2} \right )^{3}=\frac{-1}{8}\)

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Operaciones con potencias

Producto de potencias de la misma base

División de potencias de la misma base

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

Potencias de exponente negativo

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Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\cdot \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\cdot a^{n}}{b^{m}\cdot b^{n}}=\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m+n}\)

Ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3}\cdot \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3+2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{5}\)

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División de potencias de la misma base

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\div \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\div \frac{a^{n}}{b^{n}}=\frac{a^{m}\div a^{n}}{b^{m}\div b^{n}}=\frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m-n}\)

Por ejemplo:\(\LARGE \left( \frac {-2}{3} \right )^{3}\div \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3-2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{1}\)

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Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes

\(\LARGE \left [ \left ( \frac{a}{b} \right )^{m} \right ]^{p}=\left ( \frac{a^{m}}{b^{m}} \right )^{p}=\frac{\left ( a^{m} \right )^{p}}{\left ( b^{m} \right )^{p}}=\frac{a^{m\cdot p}}{b^{m\cdot p}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m\cdot p}\)

Por ejemplo: \(\LARGE \left [ \left ( \frac{-2}{3} \right )^{3} \right ]^{2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3\cdot 2}=\left ( \frac{-2}{3} \right )^{6}\)

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Potencia de un producto

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada factor a dicha potencia

\(\LARGE \left ( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right )^{n}=\left ( \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \right )^{n}=\frac{\left ( a\cdot c \right )^{n}}{\left ( b\cdot d \right )^{n}}=\frac{a^{n}\cdot c^{n}}{b^{n}\cdot d^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{c}{d} \right )^{n}\)

Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}\cdot \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}\)

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Potencias de exponente negativo

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo

Fijaos en esto: \(\LARGE a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^{0}=1\)

Si aplicamos las equivalencias fundamentales: \(\LARGE a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

Por ejemplo:  \(\LARGE 3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}\)

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Fracción elevada a un exponente negativo

Para elevar una fracción a un exponente negativo se invierten los términos de la fracción y luego se cambia el signo del exponente.

 Por ejemplo: \(\LARGE \left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}=\frac{1}{\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\)

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CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO

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EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

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Ejercicios sobre las Potencias de base racional

Aquí tienes los ejercicios sobre las potencias de base racional

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores

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Resolución de los ejercicios

Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explican los ejercicios de esta clase. 

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