DIVISIÓN DE FRACCIONES

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Cómo se hace la división de fracciones

Para hacer la división de fracciones multiplicamos el dividendo por el inverso del divisor

 Por ejemplo:

\(\LARGE \frac{8}{3}\div \frac{1}{2}=\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{1}=\frac{8\cdot 2}{3\cdot 1}=\frac{16}{3}\)

En otras palabras:

•En el numerador ponemos el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción

•En el denominador ponemos el producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción

Para que se pueda dividir un número racional \(\LARGE \frac{a}{b}\) (dividendo) entre otra fracción \(\LARGE \frac{c}{d}\) (divisor), es necesario que el divisor sea distinto de cero \(\LARGE \frac{c}{d}\neq 0\)

Ejemplo 1: \(\LARGE \frac{8}{3}\div \frac{1}{2}=\frac{16}{3}\)

Ejemplo 2: \(\LARGE \frac{8}{3}\div \frac{0}{2}=\frac{16}{0}\) → Esto no es un número racional.

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Equivalencias fundamentales

Estas equivalencias fundamentales se cumplen siempre en la división de fracciones y también en la multiplicación.

En general, si m, p y q son tres fracciones distintas de cero se verifican las tres siguientes igualdades que reciben el nombre de equivalencias fundamentales

•Las fracciones que multiplican a un lado del igual pasan dividiendo al otro lado del igual

•Las fracciones que dividen a un lado del igual pasan multiplicando al otro lado del igual

\(\LARGE \frac{2}{3}=\frac{7}{5}\cdot \frac{10}{21}\Leftrightarrow \frac{7}{5}=\frac{2}{3}\div \frac{10}{21}\Leftrightarrow \frac{10}{21}=\frac{2}{3}\div \frac{7}{5}\)

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Fracciones de términos no enteros y fracciones de términos racionales

Como las fracciones son cocientes, se escriben indistintamente:

Con raya de fracción (\(\LARGE \frac{ }{ }\))

Con dos puntos (÷)

Por ejemplo:

\(\LARGE \frac{-3}{2}=-3\div 2\)

\(\LARGE \frac{2}{5}=2\div 5\)

Pero a veces, los términos de las fracciones no son números enteros:

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Simplificación de fracciones de términos racionales

Para simplificar fracciones de términos racionales seguimos los siguientes pasos:

1) Se hacen separadamente las operaciones en el numerador y en el denominador

2) Se transforma la fracción de términos racionales en cocientes de fracciones de términos enteros y luego se hace la división

3) Si es posible, se simplifica la fracción obtenida

Por ejemplo: \(\LARGE \frac{2+\frac{5}{3}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}\)

• Se hacen separadamente las operaciones en el numerador y en el denominador:

\(\LARGE \frac{2+\frac{5}{3}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{6+5}{3}}{\frac{9-4}{12}}=\frac{\frac{11}{3}}{\frac{5}{12}}\)

• Se transforma la fracción de términos racionales en cocientes de fracciones de términos enteros y luego se hace la división:

\(\LARGE \frac{\frac{11}{3}}{\frac{5}{12}}=\frac{11}{3}\div \frac{5}{12}=\frac{11\times 12}{5\times 3}\)

• Si es posible, se simplifica la fracción obtenida:

\(\LARGE \frac{11\times 12}{5\times 3}=\frac{11\times 3\times 4}{5\times 3}=\frac{44}{5}\)

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Propiedades de la división de números racionales

Primera propiedad

El cociente exacto de dos fracciones es siempre una fracción, excepto en el caso de que el divisor sea cero

El cociente exacto de dos números enteros no siempre es un entero, pero el cociente exacto de dos fracciones es siempre una fracción

\(\LARGE 2\div 3=\frac{2}{3}\)

\(\LARGE \frac{2}{5}\div \frac{3}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 5}=\frac{4}{15}\)

Segunda propiedad

La división de fracciones es distributiva respecto de la suma cuando la suma es el dividendo

En el caso de que la suma sea el divisor, la propiedad, en general, no se cumple.

Por ejemplo:

\(\LARGE \left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{2} \right )\div \frac{2}{3}=\frac{3}{4}\div \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\div \frac{2}{3}=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}=\frac{9}{8}+\frac{3}{4}\)

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Propiedades que no se cumplen en la división de fracciones

La división de fracciones NO tiene la propiedad conmutativa

\(\LARGE \frac{1}{2}\div \frac{1}{4}\neq \frac{1}{4}\div \frac{1}{2}\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\div \frac{1}{4}=\frac{1\times 4}{1\times 2}=\frac{4}{2}=2\\ \\ \frac{1}{4}\div \frac{1}{2}=\frac{1\times 2}{1\times 4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

La división de fracciones NO tiene la propiedad asociativa

\(\large \left ( \frac{1}{2}\div \frac{1}{4} \right )\div \frac{1}{3}\neq \frac{1}{2}\div \left ( \frac{1}{4}\div \frac{1}{3} \right )\left\{\begin{matrix} \left ( \frac{1}{2}\div \frac{1}{4} \right )\div \frac{1}{3}=\frac{1\times 4}{1\times 2}\div \frac{1}{3}=\frac{4}{2}\div \frac{1}{3}=\frac{4\times 3}{1\times 2}=\frac{12}{2}=6\\ \\ \frac{1}{2}\div \left ( \frac{1}{4}\div \frac{1}{3} \right )=\frac{1}{2}\div \left ( \frac{1\times 3}{1\times 4} \right )=\frac{1}{2}\div \frac{3}{4}=\frac{1\times 4}{3\times 2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\)

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