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Clases de Matemáticas

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Portada » MATEMÁTICAS » LOS NÚMEROS ENTEROS » RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO

RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO

Tabla de contenidos

  • 1 VÍDEO DE LA CLASE
  • 2 RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO
    • 2.1 ¿Qué es la raíz de un número?
    • 2.2 Casos particulares: raíz cuadrada y raíz cúbica
      • 2.2.1 La raíz cuadrada
      • 2.2.2 La raíz cúbica
    • 2.3 Partes de una raíz
    • 2.4 Raíces  de los números positivos, negativos y del cero
      • 2.4.1 Raíces de los números positivos
      • 2.4.2 Raíz del número cero
      • 2.4.3 Raíces de los números negativos
        • 2.4.3.1 a) Si el índice es par
        • 2.4.3.2 b) Si el índice es impar
    • 2.5 Raíz  exacta y raíz entera
      • 2.5.1 Raíz exacta
      • 2.5.2 Raíz entera
        • 2.5.2.1 Raíz entera por defecto
        • 2.5.2.2 Raíz entera por exceso
    • 2.6 Cálculo manual de la raíz cuadrada
    • 2.7 Los radicales
    • 2.8 Extracción de factores de un radical
  • 3 CUESTIONARIO
  • 4 EJERCICIOS
    • 4.1 Ejercicios sobre las raíces de un número
    • 4.2 Solución a los ejercicios
    • 4.3 Resolucion de los ejercicios

VÍDEO DE LA CLASE

Aquí tienes el vídeo de la clase sobre las raíces de un número entero.

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RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO

¿Qué es la raíz de un número?

Raíces de un número entero. La raíz enésima de un número b es otro número a tal que a elevado a la enésima potencia dé b.

Raíces de un número entero

Podemos decir que hacer la raíz enésima de un número es la operación contraria de elevarlo a la enésima potencia.

Para hallar la raíz enésima de un número b, tenemos que encontrar un número o números que elevados a n nos den el número b.

Por ejemplo, \(\sqrt[5]{32}\rightarrow\) Raíz quinta de 32.

Para calcular esta raíz, tendríamos que buscar un número que elevado a 5 nos diese 32. En este caso:

\(\sqrt[5]{32}=\left\{\begin{matrix} +2\\ -2\end{matrix}\right.\) porque \(\left ( +2 \right )^{5} = 32\) y \(\left ( -2 \right )^{5} = 32\)


Casos particulares: raíz cuadrada y raíz cúbica

La raíz cuadrada

 La raíz cuadrada de un número b es otro número a tal que a elevado al cuadrado dé b.

Raíces de un número entero
Raíz cuadrada de un número b

Cuando un número entero se eleva a la potencia 2, es decir, al cuadrado, se obtiene otro número que se llama cuadrado perfecto.

Por ejemplo: 22 = 4 , entonces 4 es el cuadrado perfecto de 2

La raíz cuadrada de 4 se representa así: \(\sqrt{4}\) o también así: \(\sqrt[2]{4}\)

Para hallar la raíz cuadrada de 4 tenemos que encontrar un número que elevado al cuadrado nos dé 4:

Por ser (+2)2 = 4 se dice que +2 es una raíz cuadrada de 4

Por ser (-2)2 = 4 se dice que -2 es una raíz cuadrada de 4

Se escribe \(\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix} +2\\ -2\end{matrix}\right.\) o bien \(\sqrt{4}=\pm 2\)


La raíz cúbica

La raíz cúbica de un número b es otro número a tal que a elevado al cubo dé b

Raíz cúbica de un número b
Raíz cúbica de un número b

Cuando un número entero se eleva a la potencia 3, es decir, al cubo, se obtiene otro número que se llama cubo perfecto.

Por ejemplo:  2³ = 8 ⇒ 8 es el cubo perfecto de 2.

La raíz cúbica de 8 se representa así: \(\sqrt[3]{8}\)

Para hallar la raíz cúbica de 8 tenemos que encontrar un número que elevado al cubo nos dé 8:

Por ser (+2)³ = 8 se dice que +2 es una raíz cúbica de 8

Por ser (-2)³ = -8 se dice que -2 es una raíz cúbica de -8

+2 es una raíz cúbica de 8

-2 es una raíz cúbica de -8


Partes de una raíz

Las partes de una raíz son: Índice, radicando y raíz.

Partes de una raíz
Partes de una raíz

En el ejemplo: \(\sqrt[5]{243}=3\)

El radicando sería 243 (b = 243)

El índice sería 5 (n = 5)

La raíz sería 3 (a = 3)


Raíces  de los números positivos, negativos y del cero

Raíces de los números positivos

Los números positivos pueden tener dos raíces: una positiva y/o una negativa. En algunos casos no vamos a encontrar raíces de números positivos:

Al valor positivo se le llama valor aritmético.

Cuando el índice sea un número par  vamos a encontrar dos soluciones: una positiva y una negativa. Por ejemplo:

\(\sqrt[4]{625}= \pm 5\) porque \(\left\{\begin{matrix} (+5)^{2}= 625\\ (-5)^{2}= 625\end{matrix}\right.\)

Cuando el índice sea un número impar, sólo vamos a encontrar una solución positiva. Por ejemplo:

\(\sqrt[3]{8}= +2\) porque \((+2)^{3}=8\). Aquí -2 no nos valdría porque \((-2)^{3}=-8\neq 8\)

Raíz del número cero

El número cero tiene una sola raíz , que es 0

La raíz de cero siempre es cero
La raíz de cero siempre es cero

Raíces de los números negativos

Los números negativos pueden o no tener raíz, dependiendo de si el índice es par o impar.

a) Si el índice es par

Si el índice es par, los números negativos no van a tener raíz.

Por ejemplo, si queremos calcular \(\sqrt[2]{-4}\) , tenemos que encontrar el o los números que elevados al cuadrado nos den -4, y no existe ningún número que elevado al cuadrado nos dé -4 (ningún número elevado a una potencia par nos va a dar negativo).

b) Si el índice es impar

Si el índice es impar, los números negativos van a tener solo una raíz negativa.

Por ejemplo, si queremos calcular \(\sqrt[3]{-8}\), tenemos que encontrar el o los números que elevados al cubo nos den -8, y el único número que cumple esto es el -2:

 \(\sqrt[3]{-8} =-2\) porque (-2)³  = -8


Raíz  exacta y raíz entera

Si queremos calcular la raíz de un número entero, pueden ocurrir dos casos:

Raíz exacta

Que tengan una raíz exacta, es decir, que el número sea una potencia perfecta, en cuyo caso tiene una raíz cuadrada exacta.

\(\sqrt[2]{81}=9\rightarrow 9^{2}=81\) → 81 tiene raíz (en este caso cuadrada) exacta, que es 9.

\(\sqrt[3]{27}=3\rightarrow 3^{3}=27\)→ 27 tiene raíz (en este caso cúbica) exacta, que es 3

Raíz entera

Que tengan una raíz entera, es decir, que el número no sea una potencia perfecta, en cuyo caso estará entre dos potencias perfectas consecutivas.

 \(\sqrt{52}\) no es cuadrado perfecto (porque no hay ningún número entero que elevado al cuadrado nos dé 52) y por lo tanto no tiene raíz cuadrada exacta.

Pero 52 está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 49 (que es 7²) y 64 (que es 8² )

Raíz entera por defecto

Si se compara 52 con el cuadrado perfecto anterior (49), se obtiene la raíz entera por defecto:

Raíz entera por defecto
Raíz entera por defecto
Raíz entera por exceso

Si se compara 52 con el cuadrado perfecto superior (64), se obtiene la raíz cuadrada entera por exceso:

Raíz entera por exceso
Raíz entera por exceso

Cálculo manual de la raíz cuadrada

  1. Se separan en el número, de derecha a izquierda, grupos de dos cifras. El primer grupo de la izquierda puede tener una o dos cifras:\(\sqrt{1165}=\sqrt{11{\color{Red} .}65}\)
  2. Se halla la raíz cuadrada del grupo de la izquierda. El número cuyo cuadrado se acerca más a 11 es 3 (32 = 9). Por tanto, la primera cifra de la raíz es 3, y se calcula la diferencia: 11 – 9 = 2
Cálculo manual de la raíz cuadrada de un número
Cálculo manual de la raíz cuadrada de un número
  • A la derecha del resto (2) se baja el grupo siguiente de cifras (65), y debajo de la raíz hallada (3) se escribe su doble (6)

    De 265 se separa la cifra de la derecha (5), y al número que queda a la izquierda (26) se le divide entre 6, doble de la raíz hallada.

    09-calculo-manual-de-la-raiz-cuadrada-3-optimized

    El cociente (4) se pone a continuación de 6 y se forma el número 64.

  • El número 64 se multiplica por 4 y da 256. Como 256 es menor que 265, la cifra 4 vale y se puede pasar a la raíz. El resto es 265 – 256 = 910-calculo-manual-de-la-raiz-cuadrada-4-optimized

  • Los radicales

    Un radical es una expresión del tipo:

    Definición de radical
    Definición de radical

    En el radical \(b\sqrt[n]{a}\) , el número a se llama radicando y el b se llama coeficiente del radical.

    Cuando dos radicales tienen el mismo radicando y el mismo índice, se llaman radicales semejantes, por ejemplo \(3\sqrt[2]{6}\) y \(2\sqrt[2]{6}\).

    Cuando n = 2, es decir, cuando se trata de una raíz cuadrada, a los radicales se le llaman radicales cuadráticos.


    Extracción de factores de un radical

    La extracción de factores de un radical consiste en descomponer el radicando en un producto de factores primos para después extraer fuera del radicando aquellos factores cuya potencia es múltiplo del índice.

    Esto sirve para simplificar radicales y nos permite, en muchas ocasiones, sumar o restar radicales que no tienen en mismo radicando.

    Por ejemplo, si queremos simplificar \(\sqrt[2]{36}\), primero tenemos que hacer una descomposición factorial de 36, es decir, tenemos que descomponer el número 36 en factores primos.

    Extracción de factores de un radical
    Extracción de factores de un radical

    Entonces 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²

    \(\sqrt{36}= \sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}}=\sqrt{2^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}}=2\cdot 3= 6\) \(\sqrt{36}= 6\)

    CUESTIONARIO

    ¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

    CUESTIONARIO


    EJERCICIOS

    Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira los vídeos a continuación para ver cómo se resuelven.


    Ejercicios sobre las raíces de un número

    Aquí tienes los ejercicios sobre las raíces de un número.

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    Solución a los ejercicios

    Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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    Resolucion de los ejercicios

    Símbolo de una lista de reproducción de Youtube Busca este símbolo en la parte superior del reproductor (el color de fondo puede variar) y haz click sobre él para ver la lista de vídeos donde se explican los ejercicios de esta clase. 

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    APRENDE MÁS COSAS SOBRE LOS NÚMEROS ENTEROS…

    Concepto y clases de números enteros

    El conjunto de los números enteros.

    Representación gráfica.

    Comparación de números enteros.

    Valor absoluto de un nº entero.

    Los ejes de coordenadas.

    Coordenadas de un punto.

    La suma de números enteros.

    La resta de números enteros.

    Interpretación geométrica de la suma de nº enteros.

    Propiedades de la suma de los nº enteros.

    La multiplicación de nº enteros.

    Propiedades de la multiplicación de nº enteros.

    Escritura simplificada de los números enteros. Polinomios aritméticos.

    División de números enteros.

    Múltiplos de un número.

    Divisores de un número. Números primos y números compuestos.

    Mínimo común múltiplo.

    Máximo común divisor.

    Potencias de base entera y exponente natural.

    Operaciones con radicales.

    Comentarios

    1. estamal dice

      3 mayo, 2020 a las 21:29

      está mal explicado, -2 no puede ser la raíz cúbica de 8 puesto que un negativo con exponente 3 siempre será negativo

      • Isabel dice

        4 mayo, 2020 a las 10:16

        Cierto! Ya está corregido.

    2. Laura dice

      10 diciembre, 2016 a las 10:57

      Hay un error, raiz cúbica de 9 no puede ser -2 😉

      • Laura dice

        10 diciembre, 2016 a las 10:57

        de 8 quería decir

        • Isabel dice

          10 diciembre, 2016 a las 19:36

          La raíz cúbica de -8 es -2. ¿Dónde está ese error?

    3. ariana brenda castillo diaz dice

      30 agosto, 2015 a las 3:28

      como se realiza el siguiete ejercicio…raiz cuarta de 4 como se hace el ejercicio.

      • Isabel dice

        30 agosto, 2015 a las 20:29

        Hola Ariana,

        Tienes que hacer dos cosas:
        Primero tienes que poner lo que hay dentro de la raiz como una potencia de 2, es decir
        [latex]{\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^{2}}}[/latex]

        Y luego pasar el índice de la raíz como denominador del exponente, es decir:
        [latex]\mathrm{\sqrt[4]{2^{2}}= 2^{\frac{2}{4}}}[/latex]

        Cómo expresar una raíz en forma de potencia

        Simplificamos el exponente:
        [latex]\mathrm{2^{\frac{2}{4}}= 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}}[/latex]

        Saludos.

      • gisell dice

        9 septiembre, 2016 a las 20:07

        Como se resuelve esto 6.084más 2 un quinto más raíz de 100 más 8 al cobo

      • gisell dice

        9 septiembre, 2016 a las 20:07

        Como se resuelve esto 6.084más 2 un quinto más raíz de 100 más 8 al cobo

    4. Anónimo dice

      6 febrero, 2015 a las 2:47

      Súper buenos lo ejercicios , esto me va a ayudar a enfrentar la universidad con mayor conocimiento.

      Muchas gracias

      • La escuela en casa dice

        6 febrero, 2015 a las 16:08

        Gracias a ti 🙂

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