RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO

RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO

¿Qué es la raíz de un número?

Raíces de un número entero. La raíz enésima de un número b es otro número a tal que a elevado a la enésima potencia dé b.

Podemos decir que hacer la raíz enésima de un número es la operación contraria de elevarlo a la enésima potencia.

Para hallar la raíz enésima de un número b, tenemos que encontrar un número o números que elevados a n nos den el número b.

Por ejemplo, \(\sqrt[5]{32}\rightarrow\) Raíz quinta de 32.

Para calcular esta raíz, tendríamos que buscar un número que elevado a 5 nos diese 32. En este caso:

\(\sqrt[5]{32}=\left\{\begin{matrix} +2\\ -2\end{matrix}\right.\) porque \(\left ( +2 \right )^{5} = 32\) y \(\left ( -2 \right )^{5} = 32\)

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Casos particulares: raíz cuadrada y raíz cúbica

La raíz cuadrada

 La raíz cuadrada de un número b es otro número a tal que a elevado al cuadrado dé b.

Cuando un número entero se eleva a la potencia 2, es decir, al cuadrado, se obtiene otro número que se llama cuadrado perfecto.

Por ejemplo: 2² = 4 , entonces 4 es el cuadrado perfecto de 2

La raíz cuadrada de 4 se representa así: \(\sqrt{4}\) o también así: \(\sqrt[2]{4}\)

Para hallar la raíz cuadrada de 4 tenemos que encontrar un número que elevado al cuadrado nos dé 4:

Por ser (+2)² = 4 se dice que +2 es una raíz cuadrada de 4

Por ser (-2)² = 4 se dice que -2 es una raíz cuadrada de 4

Se escribe \(\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix} +2\\ -2\end{matrix}\right.\) o bien \(\sqrt{4}=\pm 2\)

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La raíz cúbica

La raíz cúbica de un número b es otro número a tal que a elevado al cubo dé b

Cuando un número entero se eleva a la potencia 3, es decir, al cubo, se obtiene otro número que se llama cubo perfecto.

Por ejemplo:  2³ = 8 ⇒ 8 es el cubo perfecto de 2.

La raíz cúbica de 8 se representa así: \(\sqrt[3]{8}\)

Para hallar la raíz cúbica de 8 tenemos que encontrar un número que elevado al cubo nos dé 8:

Por ser (+2)³ = 8 se dice que +2 es una raíz cúbica de 8

Por ser (-2)³ = -8 se dice que -2 es una raíz cúbica de -8

+2 es una raíz cúbica de 8

-2 es una raíz cúbica de -8

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Partes de una raíz

Las partes de una raíz son: Índice, radicando y raíz.

En el ejemplo: \(\sqrt[5]{243}=3\)

El radicando sería 243 (b = 243)

El índice sería 5 (n = 5)

La raíz sería 3 (a = 3)

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Raíces  de los números positivos, negativos y del cero

Raíces de los números positivos

Los números positivos pueden tener dos raíces: una positiva y/o una negativa. En algunos casos no vamos a encontrar raíces de números positivos:

Al valor positivo se le llama valor aritmético.

Cuando el índice sea un número par  vamos a encontrar dos soluciones: una positiva y una negativa. Por ejemplo:

\(\sqrt[4]{625}= \pm 5\) porque \(\left\{\begin{matrix} (+5)^{2}= 625\\ (-5)^{2}= 625\end{matrix}\right.\)

Cuando el índice sea un número impar, sólo vamos a encontrar una solución positiva. Por ejemplo:

\(\sqrt[3]{8}= +2\) porque \((+2)^{3}=8\). Aquí -2 no nos valdría porque \((-2)^{3}=-8\neq 8\)

Raíz del número cero

El número cero tiene una sola raíz , que es 0

Raíces de los números negativos

Los números negativos pueden o no tener raíz, dependiendo de si el índice es par o impar.

a) Si el índice es par

Si el índice es par, los números negativos no van a tener raíz.

Por ejemplo, si queremos calcular \(\sqrt[2]{-4}\) , tenemos que encontrar el o los números que elevados al cuadrado nos den -4, y no existe ningún número que elevado al cuadrado nos dé -4 (ningún número elevado a una potencia par nos va a dar negativo).

b) Si el índice es impar

Si el índice es impar, los números negativos van a tener solo una raíz negativa.

Por ejemplo, si queremos calcular \(\sqrt[3]{-8}\), tenemos que encontrar el o los números que elevados al cubo nos den -8, y el único número que cumple esto es el -2:

 \(\sqrt[3]{-8} =-2\) porque (-2)³  = -8

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Raíz  exacta y raíz entera

Si queremos calcular la raíz de un número entero, pueden ocurrir dos casos:

Raíz exacta

Que tengan una raíz exacta, es decir, que el número sea una potencia perfecta, en cuyo caso tiene una raíz cuadrada exacta.

\(\sqrt[2]{81}=9\rightarrow 9^{2}=81\) → 81 tiene raíz (en este caso cuadrada) exacta, que es 9.

\(\sqrt[3]{27}=3\rightarrow 3^{3}=27\)→ 27 tiene raíz (en este caso cúbica) exacta, que es 3

Raíz entera

Que tengan una raíz entera, es decir, que el número no sea una potencia perfecta, en cuyo caso estará entre dos potencias perfectas consecutivas.

 \(\sqrt{52}\) no es cuadrado perfecto (porque no hay ningún número entero que elevado al cuadrado nos dé 52) y por lo tanto no tiene raíz cuadrada exacta.

Pero 52 está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 49 (que es 7²) y 64 (que es 8² )

Raíz entera por defecto

Si se compara 52 con el cuadrado perfecto anterior (49), se obtiene la raíz entera por defecto:

Raíz entera por exceso

Si se compara 52 con el cuadrado perfecto superior (64), se obtiene la raíz cuadrada entera por exceso:

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Cálculo manual de la raíz cuadrada

1. Se separan en el número, de derecha a izquierda, grupos de dos cifras. El primer grupo de la izquierda puede tener una o dos cifras:\(\sqrt{1165}=\sqrt{11{\color{Red} .}65}\)
2. Se halla la raíz cuadrada del grupo de la izquierda. El número cuyo cuadrado se acerca más a 11 es 3 (3² = 9). Por tanto, la primera cifra de la raíz es 3, y se calcula la diferencia: 11 – 9 = 2

   

3. A la derecha del resto (2) se baja el grupo siguiente de cifras (65), y debajo de la raíz hallada (3) se escribe su doble (6)

   De 265 se separa la cifra de la derecha (5), y al número que queda a la izquierda (26) se le divide entre 6, doble de la raíz hallada.

   El cociente (4) se pone a continuación de 6 y se forma el número 64.

4. El número 64 se multiplica por 4 y da 256. Como 256 es menor que 265, la cifra 4 vale y se puede pasar a la raíz. El resto es 265 – 256 = 9
   

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Los radicales

Un radical es una expresión del tipo:

En el radical \(b\sqrt[n]{a}\) , el número a se llama radicando y el b se llama coeficiente del radical.

Cuando dos radicales tienen el mismo radicando y el mismo índice, se llaman radicales semejantes, por ejemplo \(3\sqrt[2]{6}\) y \(2\sqrt[2]{6}\).

Cuando n = 2, es decir, cuando se trata de una raíz cuadrada, a los radicales se le llaman radicales cuadráticos.

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Extracción de factores de un radical

La extracción de factores de un radical consiste en descomponer el radicando en un producto de factores primos para después extraer fuera del radicando aquellos factores cuya potencia es múltiplo del índice.

Esto sirve para simplificar radicales y nos permite, en muchas ocasiones, sumar o restar radicales que no tienen en mismo radicando.

Por ejemplo, si queremos simplificar \(\sqrt[2]{36}\), primero tenemos que hacer una descomposición factorial de 36, es decir, tenemos que descomponer el número 36 en factores primos.

Entonces 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²

\(\sqrt{36}= \sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}}=\sqrt{2^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}}=2\cdot 3= 6\)

\(\sqrt{36}= 6\)

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