Tabla de contenidos
VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
En esta clase vamos a ver los volúmenes de los cuerpos geométricos: cubo, ortoedro, prisma recto, pirámide, cilindro, cono y esfera.
El volumen
El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo.
Fíjate en estas dos figuras:
La figura B ocupa mayor espacio que la figura A. Entonces decimos que la figura B tiene mayor volumen que la figura A.
Además, como la figura B contiene dos veces la figura A, el volumen de la figura B es el doble del volumen de la figura B
Unidades de volumen
La unidad principal de volumen es el metro cúbico.
Un metro cúbico es el volumen de un cubo de un metro de lado.
Este cubo mide 1 m de lado. Se llama metro cúbico y es la unidad principal para medir los volúmenes. Se escribe
Además del metro cúbico, existen otras unidades de volumen.
Múltiplos del metro cúbico: son unidades de volumen mayores que el metro cuadrado. Si tomamos un cubo que tenga como arista cualquiera de los múltiplos del metro, tenemos los múltiplos de metro cúbico:
1 dam³ es el volumen de un cubo de 1 dam de lado
1 hm³ es el volumen de un cubo de 1 hm de lado
1 km³ es el volumen de un cubo de 1 km de lado
Submúltiplos del metro cúbico: son unidades de volumen menores que le metro cuadrado. Si tomamos un cubo que tenga como arista cualquiera de los submúltiplos del metro, tenemos los submúltiplos del metro cúbico:
1 dm³ es el volumen de un cubo de 1 dm de lado
1 cm³ es el volumen de un cubo de 1 cm de lado
1 mm³ es el volumen de un cubo de 1 mm de lado.
Relación entre las unidades de volumen
El cubo de la figura tiene 1 dm de lado, es decir, es 1 dm³.
Está dividido en cubos más pequeños de 1 cm de lado. Cada uno de estos cubos es 1 cm³ .
Vamos a calcular cuántos centímetros cúbicos tiene un decímetro cúbico.
La placa de la figura tiene 1 dm de lado, y en cada lado hay 10 cm³ . En toda la placa hay un total de 100 cm³.
Para formar un cubo de 1 dm de lado (1 dm³) necesitaremos 10 placas como la anterior.
Por lo tanto: 1 dm³ = 100 cm³ x 10 = 1.000 cm³
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la inmediata anterior y 1.000 veces menor que la inmediata superior.
Relación entre las unidades de volumen y las unidades de capacidad
La relación que existe ente las unidades de volumen y las unidades de capacidad viene determinada por la definición de litro.
Como 1 m³= 1.000 dm³ y 1 ml = 1 kl, resulta que a un volumen de 1 m³ le corresponde una capacidad de 1 kl.
Como 1 cm³ = 0,001 dm³ y 1 ml = 0,001 l, resulta que a un volumen de 1 cm³ corresponde una capacidad de 1 ml.
Relación entre las unidades de volumen, de capacidad y de masa
Para definir las unidades de masa se ha elegido el agua destilada o agua pura.
1 kg es la masa que tiene el agua pura que cabe en un recipiente de 1 dm³ de volumen.
Como 1 cm³ = 0,001 dm³ y 1 mg = 0,001 kg, resulta que 1 mg es la masa que tiene el agua pura que cabe en un recipiente de 1 cm³ .
Como 1 m³ = 1.000 dm³ y 1 t = 1.000 kg, resulta que 1 t (tonelada métrica) es la masa que tiene el agua pura que cabe en un recipiente de 1 m³.
Las relaciones entre las medidas de capacidad con las de volumen son válidas para todos los líquidos, pero las relaciones de las unidades de volumen con las de masa sólo son ciertas cuando se utiliza el agua pura.
1 cm³ de agua pura tiene una masa de 1g y 1 cm³de mercurio tiene una masa de 13,6 g.
La masa de una unidad de volumen de una sustancia se llama densidad de esa sustancia. En el caso del mercurio, su densidad es 13,6 g por cm³.
Volumen del cubo
El volumen del cubo se obtiene elevando al cubo la medida de su arista
\(\LARGE V_{cubo}=a^{3}\)
El cubo de la figura tiene 4 cm de arista. Vamos a calcular su volumen.
Hemos dividido el cubo en 4 placas horizontales iguales .
Para cubrir la primera placa con centímetros cúbicos necesitamos 4 cm³ en cada lado, es decir, un total de 4 x 4 x 1 = 16 cm³.
Como tenemos 4 capas iguales a la anterior, el volumen del cubo será:
Vcubo = 16 x 4 = 4 · 4 · 4 = 4³ ; es decir, el volumen del cubo es Vcubo = a³
Volumen del ortoedro
El volumen del ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones
\(\LARGE V_{ortoedro}=a\cdot b\cdot c\)
Hemos dividido el ortoedro de la figura en 4 placas horizontales iguales .
Para cubrir la primera placa con centímetros cúbicos necesitamos 4 cm³ a lo largo por 3 cm³ a lo ancho, es decir, necesitamos 12 cm³.
Como tenemos dos placas iguales a ésta, el volumen del ortoedro será:
Vortoedro = 12 cm³ x 2 = 24 cm³ = 4 cm x 3 cm x 2 cm.
Observa que el volumen del ortoedro (24 cm³) se obtiene multiplicando sus tres dimensiones: largo (4 cm) por ancho (3 cm) por alto (2 cm).
Volumen del prisma recto
El volumen de un prisma recto es igual al producto del área de su base por su altura
\(\LARGE V_{prisma\: recto}=A_{base}\cdot h\)
Para cubrir la base del prisma de la figura con centímetros cúbicos se necesitan tantos centímetros cúbicos como indica su área, en este caso 6 cm³.
Como la altura del prisma es 10 cm, necesitaremos 10 placas iguales a la anterior; por tanto, el número total de centímetros cúbicos será:
6 cm³ x 10 cm= 60 cm³
Fíjate que el volumen del prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura del prisma.
El volumen de todos los prismas rectos se calcula de esta manera.
Volumen de la pirámide
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura de la pirámide.
\(\LARGE V_{pirámide}=\frac{Ab\times h}{3}\)
Tanto el prisma como la pirámide de la figura tienen la misa base y la misma altura.
Si llenamos de agua la pirámide y la echamos el prisma, comprobaremos que en el prisma cabe exactamente tres veces el contenido de la pirámide. Por lo tanto, el volumen de la pirámide es tres veces menor al volumen del prisma de base y altura iguales.
Volumen del cilindro
El volumen del cilindro es igual al producto del área de la base por la longitud de la altura
\(\LARGE V_{cilindro}=\pi \cdot r^{2}\cdot h\)
Tanto el prisma hexagonal como el cilindro de la figura tienen la misa base y la misma altura.
Si llenamos de agua el prisma y la echamos en el cilindro, veremos que el cilindro queda completamente lleno. Por tanto, el cilindro y el prisma de la figura tienen el mismo volumen.
Recordemos que V prisma recto = Ab · h.
Como la base del cilindro es un círculo, su área es π · , y como la altura es h, el volumen del cilindro es: Vcilindro = π · r² · h
Volumen del cono
El volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la altura.
\(\LARGE V_{cono}=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}\)
Tanto la pirámide como el cono de la figura tiene iguales el área de la base y la altura.
Si llenamos de agua la pirámide y la echamos en el cono, veremos que el cono queda completamente lleno. Por tanto, la pirámide y el cono de la figura tienen el mismo volumen.
Recordemos que \(\LARGE V_{pirámide}=\frac{Ab\times h}{3}\)
Como la base del cono es un círculo, su área es π · , y como la altura es h, el volumen cono es: \(\LARGE V_{cono}=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}\)
Volumen de la esfera
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios de π por el cubo del radio.
\(\LARGE V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\)
En la figura hemos dibujado una esfera de radio r y un cono cuyo radio y altura son iguales al radio de la esfera.
Se puede comprobar que en la esfera hueca de radio r cabe la misma cantidad de agua que en cuatro conos de radio r y altura r.
Por lo tanto:
\(\LARGE V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h\)
Como h = r tenemos que:
\(\LARGE V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\)
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victoria briceño dice
HOLA como estan me gusta esta pqajina me puedo seguir me tiendo