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VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

Tabla de contenidos

  • 1 VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
    • 1.1 El volumen
    • 1.2 Unidades de volumen
      • 1.2.1 Relación entre las unidades de volumen
      • 1.2.2 Relación entre las unidades de volumen y las unidades de capacidad
      • 1.2.3 Relación entre las unidades de volumen,  de capacidad y de masa
    • 1.3 Volumen del cubo
    • 1.4 Volumen del ortoedro
    • 1.5 Volumen del prisma recto
    • 1.6 Volumen de la pirámide
    • 1.7 Volumen del cilindro
    • 1.8 Volumen del cono
    • 1.9 Volumen de la esfera
  • 2 CUESTIONARIO
  • 3 EJERCICIOS
    • 3.1 Ejercicios sobre volúmenes de los cuerpos geométricos
    • 3.2 Solución a los ejercicios
    • 3.3 Resolución de los ejercicios
  • 4 PROBLEMAS

VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

En esta clase vamos a ver los volúmenes de los cuerpos geométricos: cubo, ortoedro, prisma recto, pirámide, cilindro, cono y esfera.


El volumen

El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo.

Fíjate en estas dos figuras:

Volúmenes de los cuerpos geométricos

La figura B ocupa mayor espacio que la figura A. Entonces decimos que la figura B tiene mayor volumen que la figura A.

Además, como la figura B contiene dos veces la figura A, el volumen de la figura B es el doble del volumen de la figura B


Unidades de volumen

La unidad principal de volumen es el metro cúbico.

Un metro cúbico es el volumen de un cubo de un metro de lado.

Volúmenes de los cuerpos geométricos

Este cubo mide 1 m de lado. Se llama metro cúbico y es la unidad principal para medir los volúmenes. Se escribe

Además del metro cúbico, existen otras unidades de volumen.

Múltiplos del metro cúbico: son unidades de volumen mayores que el metro cuadrado. Si tomamos un cubo que tenga como arista cualquiera de los múltiplos del metro, tenemos los múltiplos de metro cúbico:

1 dam³  es el volumen de un cubo de 1 dam de lado

1 hm³ es el volumen de un cubo de 1 hm de lado

1 km³ es el volumen de un cubo de 1 km de lado

Submúltiplos del metro cúbico: son unidades de volumen menores que le metro cuadrado. Si tomamos un cubo que tenga como arista cualquiera de los submúltiplos del metro, tenemos los submúltiplos del metro cúbico:

1 dm³ es el volumen de un cubo de 1 dm de lado

1  cm³ es el volumen de un cubo de 1 cm de lado

1  mm³ es el volumen de un cubo de 1 mm de lado.

Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico
Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico

Relación entre las unidades de volumen

El cubo de la figura tiene 1 dm de lado, es decir, es 1 dm³.

Relación entre las unidades de medida
Relación entre las unidades de medida

Está dividido en cubos más pequeños de 1 cm de lado. Cada uno de estos cubos es 1 cm³ .

Vamos a calcular cuántos centímetros cúbicos tiene un decímetro cúbico.

La placa de la figura tiene 1 dm de lado, y en cada lado hay 10 cm³ . En toda la placa hay un total de 100 cm³.

Para formar un cubo de 1 dm de lado (1 dm³) necesitaremos 10 placas como la anterior.

Por lo tanto: 1 dm³ = 100 cm³ x 10 = 1.000 cm³

Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la inmediata anterior y 1.000 veces menor que la inmediata superior.

Relación entre las unidades de volumen
Relación entre las unidades de volumen

Relación entre las unidades de volumen y las unidades de capacidad

La relación que existe ente las unidades de volumen y las unidades de capacidad viene determinada por la definición de litro.

Equivalencias capacidad-volumen
Un litro es la capacidad de 1 dm³

Como 1 m³= 1.000 dm³  y 1 ml = 1 kl, resulta que a un volumen de 1 m³  le corresponde una capacidad de 1 kl.

Como 1 cm³ = 0,001 dm³ y 1 ml = 0,001 l, resulta que a un volumen de 1 cm³  corresponde una capacidad de 1 ml.


Relación entre las unidades de volumen,  de capacidad y de masa

Para definir las unidades de masa se ha elegido el agua destilada o agua pura.

1 kg es la masa que tiene el agua pura que cabe en un recipiente de 1 dm³ de volumen.

Equivalencias capacidad-volumen-masa
Equivalencias capacidad-volumen-masa

Como 1 cm³ = 0,001 dm³  y 1 mg = 0,001 kg, resulta que 1 mg es la masa que tiene el agua pura que cabe en un recipiente de 1 cm³ .

Como 1 m³ = 1.000 dm³ y 1 t = 1.000 kg, resulta que 1 t (tonelada métrica) es la masa que tiene el agua pura que cabe en un recipiente de 1 m³.

Las relaciones entre las medidas de capacidad con las de volumen son válidas para todos los líquidos, pero las relaciones de las unidades de volumen con las de masa sólo son ciertas cuando se utiliza el agua pura.

1 cm³ de agua pura tiene una masa de 1g y 1 cm³de mercurio tiene una masa de 13,6 g.

La masa de una unidad de volumen de una sustancia se llama densidad de esa sustancia. En el caso del mercurio, su densidad es 13,6 g por cm³.


Volumen del cubo

El volumen del cubo se obtiene elevando al cubo la medida de su arista

\(\LARGE V_{cubo}=a^{3}\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen del cubo
Volumen del cubo

El cubo de la figura tiene 4 cm de arista. Vamos a calcular su volumen.

Hemos dividido el cubo en 4 placas horizontales iguales .

Para cubrir la primera placa con centímetros cúbicos necesitamos 4 cm³  en cada lado, es decir, un total de 4 x 4 x 1 = 16 cm³.

Como tenemos 4 capas iguales a la anterior, el volumen del cubo será:

Vcubo = 16  x 4  = 4 · 4 · 4 = 4³ ;  es decir, el volumen del cubo es Vcubo = a³


Volumen del ortoedro

El volumen del ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones

\(\LARGE V_{ortoedro}=a\cdot b\cdot c\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen del ortoedro
Volumen del ortoedro

Hemos dividido el ortoedro de la figura en 4 placas horizontales iguales .

Para cubrir la primera placa con centímetros cúbicos necesitamos 4 cm³ a lo largo por 3 cm³ a lo ancho, es decir, necesitamos 12 cm³.

Como tenemos dos placas iguales a ésta, el volumen del ortoedro será:

Vortoedro = 12 cm³ x 2 = 24 cm³  = 4 cm x 3 cm x 2 cm.

Observa que el volumen del ortoedro (24 cm³) se obtiene multiplicando sus tres dimensiones: largo (4 cm) por ancho (3 cm) por alto (2 cm).


Volumen del prisma recto

El volumen de un prisma recto es igual al producto del área de su base por su altura

\(\LARGE V_{prisma\: recto}=A_{base}\cdot h\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen del prisma recto
Volumen del prisma recto

Para cubrir la base del prisma de la figura con centímetros cúbicos se necesitan tantos centímetros cúbicos como indica su área, en este caso 6 cm³.

Como la altura del prisma es 10 cm, necesitaremos 10 placas iguales a la anterior; por tanto, el número total de centímetros cúbicos será:

6 cm³ x 10 cm= 60 cm³

Fíjate que el volumen del prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura del prisma.

El volumen de todos los prismas rectos se calcula de esta manera.


Volumen de la pirámide

El volumen de la pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura de la pirámide.

\(\LARGE V_{pirámide}=\frac{Ab\times h}{3}\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen de la pirámide
Volumen de la pirámide

Tanto el prisma como la  pirámide de la figura tienen la misa base y la misma altura.

Si llenamos de agua la pirámide y la echamos el prisma, comprobaremos que en el prisma cabe exactamente tres veces el contenido de la pirámide. Por lo tanto, el volumen de la pirámide es tres veces menor al volumen del prisma de base y altura iguales.


Volumen del cilindro

El volumen del cilindro es igual al producto del área de la base por la longitud de la altura

\(\LARGE V_{cilindro}=\pi \cdot r^{2}\cdot h\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen del cilindro
Volumen del cilindro

Tanto el prisma hexagonal como el cilindro de la figura tienen la misa base y la misma altura.

Si llenamos de agua el prisma y la echamos en el cilindro, veremos que el cilindro queda completamente lleno. Por tanto, el cilindro y el prisma de la figura tienen el mismo volumen.

Recordemos que V prisma recto = Ab · h.

Como la base del cilindro es un círculo, su área es π · , y como la altura es h, el volumen del cilindro es: Vcilindro  = π ·  r² · h


Volumen del cono

El volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la altura.

\(\LARGE V_{cono}=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen del cono
Volumen del cono

Tanto la pirámide como el cono de la figura tiene iguales el área de la base y la altura.

Si llenamos de agua la pirámide y la echamos en el cono, veremos que el cono queda completamente lleno. Por tanto, la pirámide y el cono de la figura tienen el mismo volumen.

Recordemos que \(\LARGE V_{pirámide}=\frac{Ab\times h}{3}\)

Como la base del cono es un círculo, su área es π · , y como la altura es h, el volumen cono es: \(\LARGE V_{cono}=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}\)


Volumen de la esfera

El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios de π  por el cubo del radio.

\(\LARGE V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\)

Volúmenes de los cuerpos geométricos - Volumen de la esfera
Volumen de la esfera

En la figura hemos dibujado una esfera de radio r y un cono cuyo radio y altura son iguales al radio de la esfera.

Se puede comprobar que en la esfera hueca de radio r cabe la misma cantidad de agua que en cuatro conos de radio r y altura r.

Por lo tanto:

\(\LARGE V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h\)

Como h = r tenemos que:

\(\LARGE V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\)

CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre volúmenes de los cuerpos geométricos

Aquí tienes los ejercicios sobre los volúmenes de los cuerpos geométricos.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones de los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Aquí tienes la resolución de los ejercicios anteriores. Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.

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Comentarios

  1. victoria briceño dice

    27 mayo, 2020 a las 17:53

    HOLA como estan me gusta esta pqajina me puedo seguir me tiendo

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