Tabla de contenidos
ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS
En esta clase vamos a ver el área de los poliedros y de los cuerpos redondos. Para ello primero vamos a ver los que son los poliedros
Ángulo diedro, ángulo poliedro y poliedro
Ángulo diedro
Un ángulo diedro es la porción de espacio limitada por dos semiplanos que se llaman caras.
Un ángulo poliedro es la porción de espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice.
Poliedro
Un poliedro es una región de espacio limitada por polígonos.
Poliedros regulares
Un poliedro regular es el que tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y además sus caras son polígonos regulares iguales.
Tipos de poliedros regulares
Sólo existen cinco poliedros regulares:
- Tetraedro
- Hexaedro o cubo
- Octaedro
- Dodecaedro
- Icosaedro
Tetraedro
Un tetraedro es un poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros.
Hexaedro o cubo
Un hexaedro o cubo es un poliedro regular que tiene 6 caras que son cuadrados.
Octaedro
Un octaedro es un poliedro regular que tiene 8 caras que son triángulos equiláteros.
Dodecaedro
Un dodecaedro es un poliedro regular que tiene 12 caras que son pentágonos regulares.
Icosaedro
Un icosaedro es un poliedro regular que tiene 20 caras que son triángulos equiláteros.
Desarrollo de los poliedros regulares
El desarrollo de un poliedro es una figura plana que se obtiene extendiendo sobre un plano todas las caras de un poliedro.
Los prismas
Un prisma es un poliedro cuyas caras laterales son tres o más paralelogramos y cuyas bases son polígonos iguales y paralelos.
Según el tipo de polígono de las bases, los primas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc…
Elementos de un prisma
La altura de un prisma es la distancia entre sus bases
Prismas rectos y prismas regulares
Los prismas rectos son primas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.
Los prismas regulares son prismas rectos y además sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedos
Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos.
Cuando los seis paralelogramos del paralelepípedos son rectángulos, el paralelepípedo se llama ortoedro o paralelepípedo rectángulo.
El segmento que une dos vértices no situados en la misma cara se llama diagonal. Las cuatro diagonales de un ortoedro son iguales.
Área de los prismas
Área del ortoedro
Como las seis caras del ortoedro son rectángulos, cualquier par de caras paralelas pueden tomarse como bases.
Si las dimensiones del ortoedro son a, b y c su área lateral (Al) es:
Como el área de las dos bases es 2ab, resulta que la fórmula total del área (At) del ortoedro es:
Área del cubo
El cubo tiene seis caras y todas ellas son cuadrados
Si la arista mide mide a, el área de una cara será a² , y el área total del cubo será:
Área de un prisma recto
Como observamos en el desarrollo del prisma pentagonal de la figura, cada cara lateral es un rectángulo de área igual a base por altura (la altura coincide con la del prisma). Si sumamos todas las áreas laterales multiplicamos el área de una de ellas por el número de caras.
Por lo tanto, el área lateral (Al) de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
P = Perímetro de la base
h = Altura del prisma
El área total del prisma recto es la suma del área lateral y las áreas de las dos bases.
Las pirámides
Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Partes de la pirámide
En una pirámide regular la base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Vértice o cúspide de la pirámide: es el vértice común de todas las caras laterales.
Altura de la pirámide: es la distancia del vértice a la base.
Apotema de una pirámide regular: es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Desarrollo de la pirámide
Área de la pirámide
Como vemos en el desarrollo de la pirámide de la figura, el área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales.
Como las caras laterales son triángulos isósceles, el área de una de las caras laterales (es decir, el área de un triángulo) es:
\(\LARGE A_{cara\: lateral} = \frac{b\times a}{2}\)
donde b es la base del triángulo y a es al altura del triángulo (que coincide con la apotema de la pirámide)
Si hay n triángulos, el área lateral es:
\(\LARGE Al_{pirámide} = \frac{b\times a\times n}{2}= \frac{\left (b\times n\right )\times a}{2}\)
Como b x n es el perímetro de la base y a es la apotema de la pirámide, la fórmula del área lateral es:
P = Perímetro de la base
a = Apotema de la pirámide
El área total de una pirámide es la suma del área lateral con el área de su base:
Cuerpos redondos
Los cuerpos redondos que vamos a abordar son los siguientes:
- Cilindro
- Cono
- Esfera
El cilindro
El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
Elementos del cilindro
El cilindro tiene los siguientes elementos:
Eje del cilindro: es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo
Generatriz del cilindro: es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra la superficie cilíndrica.
Bases del cilindro: los otros dos lados del rectángulo son los radios de los círculos que engendran las bases del cilindro.
Altura del cilindro: es la distancia entre las dos bases; la altura del cilindro es igual a la generatriz.
Desarrollo del cilindro
Área del cilindro
Si observamos el desarrollo del área lateral del cilindro, observamos que es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y cuya altura es la generatriz.
\(\large Al_{cilindro} = Longitud\: de\: la\: circunferencia\: de\: la\; base\times generatriz\)
r = radio de la base
h = altura del cilindro
El área total del cilindro es igual al área lateral más el área total de las dos bases:
\(\large At_{cilindro} = Al_{cilindro}+2\cdot A_{base}\)
\(\large At_{cilindro} = 2\cdot \pi \cdot r\cdot h \, + \, 2\cdot \pi \cdot r^{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot \left ( h\, +\, r \right )\)
El cono
El cono es el cuerpo engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.
Elementos del cono
Los elementos del cono son los siguientes:
Eje del cono: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo
Generatriz del cono: es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Base del cono: el otro cateto del triángulo rectángulo es el radio del círculo que engendra. Este círculo es la base del cono
Altura del cono: es la distancia del vértice a la base.
Desarrollo del cono
Área del cono
Observa en el desarrollo del cono de la figura como su superficie lateral se transforma en un sector circular. Por tanto, el área lateral del cono es el área del sector circular cuya longitud del arco es igual a la longitud de la circunferencia de la base y cuyo radio es la generatriz del cono.
\(\large Al_{cono} = \frac{\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}= \frac{\pi \cdot r\cdot n}{180}\cdot \frac{r}{2}= \frac{longitud\; del \; arco \cdot r}{2}\)
Como la longitud del arco del sector es igual a la longitud de la circunferencia de la base y el radio del sector es la generatriz del cono resulta:
\(\large Al_{cono} = \frac{2\cdot \pi \cdot r\cdot g}{2}= \pi \cdot r\cdot g\)
El área total del cono es igual al área lateral más el área de la base:
La esfera
La esfera es el cuerpo limitado por la superficie esférica.
La superficie esférica es la superficie engendrada por una semicircunferencia que gira sobre su diámetro.
El área de la superficie esférica de radio r es igual a cuatro veces el área de uno de sus círculos máximos:
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