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ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS

Tabla de contenidos

  • 1 ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS
    • 1.1 Ángulo diedro, ángulo poliedro y poliedro
    • 1.2 Poliedros regulares
      • 1.2.1 Tipos de poliedros regulares
        • 1.2.1.1 Tetraedro
        • 1.2.1.2 Hexaedro o cubo
        • 1.2.1.3 Octaedro
        • 1.2.1.4 Dodecaedro
        • 1.2.1.5 Icosaedro
      • 1.2.2 Desarrollo de los poliedros regulares
    • 1.3 Los prismas
      • 1.3.1 Elementos de un prisma
      • 1.3.2 Prismas rectos y prismas regulares
      • 1.3.3 Paralelepípedos
      • 1.3.4 Área de los prismas
        • 1.3.4.1 Área del ortoedro
        • 1.3.4.2 Área del cubo
        • 1.3.4.3 Área de un prisma recto
    • 1.4 Las pirámides
      • 1.4.1 Partes de la pirámide
      • 1.4.2 Desarrollo de la pirámide
      • 1.4.3 Área de la pirámide
    • 1.5 Cuerpos redondos
      • 1.5.1 El cilindro
        • 1.5.1.1 Elementos del cilindro
        • 1.5.1.2 Desarrollo del cilindro
        • 1.5.1.3 Área del cilindro
      • 1.5.2 El cono
        • 1.5.2.1 Elementos del cono
        • 1.5.2.2 Desarrollo del cono
        • 1.5.2.3 Área del cono
      • 1.5.3 La esfera
  • 2 CUESTIONARIO
  • 3 EJERCICIOS
    • 3.1 Ejercicios sobre las áreas de los poliedros y de los cuerpos redondos
    • 3.2 Solución a los ejercicios
    • 3.3 Resolución de los ejercicios
  • 4 PROBLEMAS

ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS

 En esta clase vamos a ver el área de los poliedros y de los cuerpos redondos. Para ello primero vamos a ver los que son los poliedros


Ángulo diedro, ángulo poliedro y poliedro

Ángulo diedro

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Ángulo diedro

Un ángulo diedro es la porción de espacio limitada por dos semiplanos que se llaman caras.


Un ángulo poliedro es la porción de espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Ángulo poliedro

Poliedro

Un poliedro es una región de espacio limitada por polígonos.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Ejemplo de poliedro y sus elementos

Poliedros regulares

Un poliedro regular es el que tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y además sus caras son polígonos regulares iguales.

Tipos de poliedros regulares

Sólo existen cinco poliedros regulares:

  • Tetraedro
  • Hexaedro o cubo
  • Octaedro
  • Dodecaedro
  • Icosaedro

Tetraedro

Un tetraedro es un poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros.

Tetraedro
Tetraedro

Hexaedro o cubo

Un hexaedro o cubo es un poliedro regular que tiene 6 caras que son cuadrados.

Hexaedro o cubo
Hexaedro o cubo

Octaedro

Un octaedro es un poliedro regular que tiene 8 caras que son triángulos equiláteros.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Octaedro
Octaedro

Dodecaedro

Un dodecaedro es un poliedro regular que tiene 12 caras que son pentágonos regulares.

Dodecaedro
Dodecaedro

Icosaedro

Un icosaedro es un poliedro regular que tiene 20 caras que son triángulos equiláteros.

Icosaedro
Icosaedro

Desarrollo de los poliedros regulares

Desarrollo de las 20 caras del icosaedro
Desarrollo de las 20 caras del icosaedro

El desarrollo de un poliedro es una figura plana que se obtiene extendiendo sobre un plano todas las caras de un poliedro.

Desarrollo de las 8 caras del octaedro
Desarrollo de las 8 caras del octaedro

Los prismas

Un prisma es un poliedro cuyas caras laterales son tres o más paralelogramos y cuyas bases son polígonos iguales y paralelos.

Según el tipo de polígono de las bases, los primas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc…


Elementos de un prisma

Elementos de un prisma
Elementos de un prisma

La altura de un prisma es la distancia entre sus bases


Prismas rectos y prismas regulares

Los prismas rectos son primas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Los prismas regulares son prismas rectos y además sus bases son polígonos regulares.

Prismas regulares y prismas irregulares
Prismas regulares y prismas irregulares

Paralelepípedos

Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos.

Paralelepípedos
Paralelepípedos

Cuando los seis paralelogramos del paralelepípedos son rectángulos, el paralelepípedo se llama ortoedro o paralelepípedo rectángulo.

El segmento que une dos vértices no situados en la misma cara se llama diagonal. Las cuatro diagonales de un ortoedro son iguales.


Área de los prismas

Área del ortoedro

Como las seis caras del ortoedro son rectángulos, cualquier par de caras paralelas pueden tomarse como bases.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Ortoedro

Si las dimensiones del ortoedro son a, b y c su área lateral (Al) es:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Área lateral del ortoedro

Como el área de las dos bases es 2ab, resulta que la fórmula total del área (At) del ortoedro es:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Área total del ortoedro

Área del cubo

El cubo tiene seis caras y todas ellas son cuadrados

Cubo o hexaedro
Cubo o hexaedro

Si la arista mide mide a, el área de una cara será a² , y el área total del cubo será:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área total del cubo
Área total del cubo

Área de un prisma recto
Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Prisma pentagonal regular
Prisma pentagonal regular
Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Desarrollo del prisma pentagonal regular
Desarrollo del prisma pentagonal regular

Como observamos en el desarrollo del prisma pentagonal de la figura, cada cara lateral es un rectángulo de área igual a base por altura (la altura coincide con la del  prisma). Si sumamos todas las áreas laterales multiplicamos el área de una de ellas por el número de caras.

Por lo tanto, el área lateral (Al) de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área lateral del prisma recto
Área lateral del prisma recto

P = Perímetro de la base

h = Altura del prisma

El área total del prisma recto es la suma del área lateral y las áreas de las dos bases.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área total del prisma recto
Área total del prisma recto

Las pirámides

Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.

Área de los poliedros y de las figuras redondas - Pirámide
Pirámide

Partes de la pirámide

En una pirámide regular la base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Pirámide cuadrangular regular
Pirámide cuadrangular regular

Vértice o cúspide de la pirámide: es el vértice común de todas las caras laterales.

Altura de la pirámide: es la distancia del vértice a la base.

Apotema de una pirámide regular: es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos
Según sea el polígono de la base, las pirámides pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc…

Desarrollo de la pirámide

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Desarrollo de la pirámide
Desarrollo de la pirámide

Área de la pirámide

Como vemos en el desarrollo de la pirámide de la figura, el área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales.

Como las caras laterales son triángulos isósceles, el área de una de las caras laterales (es decir, el área de un triángulo) es:

\(\LARGE A_{cara\: lateral} = \frac{b\times a}{2}\)

 donde b es la base del triángulo y a es al altura del triángulo (que coincide con la apotema de la pirámide)

Si hay n triángulos, el área lateral es:

\(\LARGE Al_{pirámide} = \frac{b\times a\times n}{2}= \frac{\left (b\times n\right )\times a}{2}\)

Como b x n es el perímetro de la base y a es la apotema de la pirámide, la fórmula del área lateral es:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área lateral de la pirámide
Área lateral de la pirámide

P = Perímetro de la base

a = Apotema de la pirámide

El área total de una pirámide es la suma del  área lateral con el área de su base:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área total de la pirámide
Área total de la pirámide

Cuerpos redondos

Los cuerpos redondos que vamos a abordar son los siguientes:

  • Cilindro
  • Cono
  • Esfera

El cilindro

El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Área de los poliedros y de las figuras redondas - Cilindro
Cilindro

Elementos del cilindro

El cilindro tiene los siguientes elementos:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Elementos del cilindro
Elementos del cilindro

Eje del cilindro: es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo

Generatriz del cilindro: es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra la superficie cilíndrica.

Bases del cilindro: los otros dos lados del rectángulo son los radios de los círculos que engendran las bases del cilindro.

Altura del cilindro: es la distancia entre las dos bases; la altura del cilindro es igual a la generatriz.


Desarrollo del cilindro
Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Desarrollo del cilindro
Desarrollo del cilindro

Área del cilindro

Si observamos el desarrollo del área lateral del cilindro, observamos que es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y cuya altura es la generatriz.

\(\large Al_{cilindro} = Longitud\: de\: la\: circunferencia\: de\: la\; base\times generatriz\)
Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área lateral del cilindro
Área lateral del cilindro

r = radio de la base

h = altura del cilindro

El área total del cilindro es igual al área lateral más el área total de las dos bases:

\(\large At_{cilindro} = Al_{cilindro}+2\cdot A_{base}\)
Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área total del cilindro
Área total del cilindro
\(\large At_{cilindro} = 2\cdot \pi \cdot r\cdot h \, + \, 2\cdot \pi \cdot r^{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot \left ( h\, +\, r \right )\)

El cono

El cono es el cuerpo engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.


Elementos del cono

Los elementos del cono son los siguientes:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Elementos del cono
Elementos del cono

Eje del cono: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo

Generatriz del cono: es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Base del cono: el otro cateto del triángulo rectángulo es el radio del círculo que engendra. Este círculo es la base del cono

Altura del cono: es la distancia del  vértice a la base.


Desarrollo del cono
Área de los poliedros y de las figuras redondas - Desarrollo del cono
Desarrollo del cono

Área del cono

Observa en el desarrollo del cono de la figura como su superficie lateral se transforma en un sector circular. Por tanto, el área lateral del cono es el área del sector circular cuya longitud del arco es igual a la longitud de la circunferencia de la base y cuyo radio es la generatriz del cono.

\(\large Al_{cono} = \frac{\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}= \frac{\pi \cdot r\cdot n}{180}\cdot \frac{r}{2}= \frac{longitud\; del \; arco \cdot r}{2}\)

Como la longitud del arco del sector es igual a la longitud de la circunferencia de la base y  el radio del sector es la generatriz del cono resulta:

\(\large Al_{cono} = \frac{2\cdot \pi \cdot r\cdot g}{2}= \pi \cdot r\cdot g\)
Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área lateral del cono
Área lateral del cono

El área total del cono es igual al área lateral más el área de la base:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área total del cono
Área total del cono

La esfera

La esfera es el cuerpo limitado por la superficie esférica.

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Esfera
Esfera

La superficie esférica es la superficie engendrada por una semicircunferencia que gira sobre su diámetro.

El área de la superficie esférica de radio r es igual a cuatro veces el área de uno de sus círculos máximos:

Área de los poliedros y de los cuerpos redondos - Área de la esfera
Área de la esfera

CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre las áreas de los poliedros y de los cuerpos redondos

Aquí tienes los ejercicios sobre las áreas de los poliedros y de los cuerpos redondos.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Aquí tienes la resolución de los ejercicios anteriores. Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.

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PROBLEMAS

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PROBLEMAS


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Volúmenes de los cuerpos geometricos

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  1. TAREAS MAYO 2020 | natumate dice:
    26 mayo, 2021 a las 12:53

    […] ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS […]

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