ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS

ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS

En esta clase vamos a ver el área de las figuras planas. El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define o especifique una medida.

Área del  triángulo

b = base del triángulo

h = altura del triángulo

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Área de los cuadriláteros

Área del rectángulo

b = base del rectángulo

h = altura del rectángulo

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Área del cuadrado

l = lado del cuadrado

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Área del paralelogramo

b = base del paralelogramo

h = altura del paralelogramo

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Área del rombo

D = diagonal mayor del rombo

d = diagonal menor del rombo

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Área del trapecio

b = base mayor del trapecio

b’ = base menor del trapecio

h = altura del trapecio

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Área de polígonos regulares

Él área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

P = Perímetro del polígono

a = apotema del polígono

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Área del hexágono regular

P = perímetro del hexágono

a = apotema del hexágono

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Vamos a calcular el área del hexágono regular cuando se conoce el lado L.

Fíjate en las diagonales que pasan por el centro del hexágono. Estas diagonales descomponen al hexágono en 6 triángulos equiláteros. Entonces, si calculamos el área de uno de esos triángulos y luego lo multiplicamos por 6, obtendremos el área del hexágono regular.

Área hexágono regular = 6 x Área de uno de los triángulos

Al altura de cada triángulo es la apotema (a = OH) y la base es L, por lo tanto:

Él área uno de los triángulos es:

\(\large A_{triangulo}=\frac{L\times a}{2}\)

L = base del triángulo del triángulo

a = altura del triángulo (OH), que en este caso es la apotema del hexágono.

Entonces, el área del hexágono es:

\(\large A_{hexágono}=6\times \frac{L\times a}{2}=\frac{6\times L\times a}{2}\)

donde 6 x L es el perímetro del hexágono regular. Por lo tanto:

\(\large A_{hexágono regular}=\frac{P\times a}{2}\)

P = Perímetro del hexágono regular

a = apotema del hexágono regular

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Área de las figuras circulares

Área del círculo

π = 3,1416

r = radio del círculo

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Fíjate que a menor número de lados de los polígonos regulares inscritos en un círculo, más se aproximan sus áreas al área del círculo.

Si imaginamos al círculo como un polígono de muchos lados, el perímetro del polígono equivaldría a la longitud de la circunferencia que describe el círculo y la apotema equivaldría al radio

Si conocemos el área del círculo y queremos hallar su radio, podemos aplicar esta fórmula:

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Área de la corona circular

El área de la corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

π = 3,1416

R = radio del círculo mayor

r = radio del círculo menor

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Área del sector circular

El área del sector circular es igual al área del círculo multiplicada por el número de grados y dividida por 360.

π = 3,1416

r = radio del círculo

n = amplitud en grados del sector circular

Todos los círculos tienen una amplitud de 360º. Por lo tanto el área que corresponde a un grado será el área total del círculo entre 360º. Si esto lo multiplicamos por el número de grados del sector circular (n), obtendremos el área del sector circular.

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Área del segmento circular

El área del segmento circular es el área del sector circular menos el área del triángulo que se forman en el sector circular.

Si al área del sector circular OAB le restamos el área del triángulo OAB, tenemos el área del segmento circular.

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Área de la lúnula

El área de la lúnula es:

A l_únula = A _{semicírculo AKB} – A _{segmento circular amarillo}

Como A _{segmento circular amarillo} = A _{sector AOB} – A _{triángulo OAB}

Tenemos que A l_únula  = A _{semicírculo AKB} – (A _{sector AOB} – A _{triángulo OAB}) = A _{semicírculo AKB} – A _{sector AOB} + A _{triángulo AOB}

• Área del semicírculo AKB. Calculemos primero el radio HA del semicírculo.

Por el teorema de Pitágoras: \(\large AB= \sqrt{L^{2}+L^{2}}=\sqrt{2L^{2}}=L\sqrt{2}\) por lo tanto \(\large HA=\frac{AB}{2}= \frac{L\sqrt{2}}{2}\)

\(\large A_{semicirculo\, AKB}= \frac{1}{2}\pi HA^{2}=\frac{1}{2}\pi \left ( \frac{L\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=\frac{1}{2}\pi \frac{2L^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot L^{2}}{4}\)

•  Área del sector AOB:

\(\large A_{sector\: AOB}= \frac{\pi \cdot L^{2}\cdot 90}{360}=\frac{\pi \cdot L^{2}}{4}\)

• Área del triángulo AOB:

\(\large A_{triangulo\: AOB}= \frac{L\cdot L}{2}=\frac{ L^{2}}{2}\)

Por lo tanto:

A l_únula  = A _{semicírculo AKB} – A _{sector AOB} + A _{triángulo AOB}

\(\large A_{lunula}= \left ( \frac{\pi \cdot L^{2}}{4} \right )-\left ( \frac{\pi \cdot L^{2}}{4} \right )+\left ( \frac{L^{2}}{2} \right )=\frac{L^{2}}{2}=A_{triangulo\, AOB}\)

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CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO

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EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

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Ejercicios sobre el área de las figuras planas

Aquí tienes los ejercicios sobre el área de las figuras planas.

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Soluciones a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Aquí tienes la resolución de los ejercicios anteriores. Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.

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PROBLEMAS

Haz clic en el botón de abajo para acceder a los problemas.

PROBLEMAS

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