RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

En esta clase vamos a ver las relaciones métricas en los triángulos rectángulos: Proyecciones y los teoremas de la altura, del cateto y de Pitágoras.

Proyección de un punto sobre una recta

Observa la recta r y el punto P.

Si por el punto P se traza la perpendicular a la recta r, el pie de la perpendicular, el punto P’, se llama proyección ortogonal del punto P sobre la recta r.

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Proyección de un segmento sobre una recta

Dado un segmento AB y una recta r, la proyección del segmento AB sobre la recta r es otro segmento A’B’ cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B.

Podemos observar tres casos:

Si el segmento que se proyecta AB es paralelo a la recta r, entonces su proyección ortogonal sobre r, el segmento A’B’ es igual al segmento proyectado por ser el cuadrilátero AA’B’B un rectángulo.

Si el segmento que se proyecta CD es oblicuo a la recta r, su proyección es, en general, menor que el segmento proyectado pues CD es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y C’D’ = CM es un cateto de dicho triángulo.

Si el segmento RS que se proyecta es perpendicular a la recta r, entonces la proyección se reduce a un punto. Observa que las proyecciones R’ y S’ de R y S coinciden.

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Descomposición de un triángulo rectángulo en triángulos semejantes

En el triángulo rectángulo ABC designamos sus elementos con letras:

a= BC, y se llama hipotenusa.

b = AC y c = AB, y se llaman catetos.

h = AD, y es la altura relativa de la hipotenusa.

b’, es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa.

c’, es la proyección del cateto c sobre la hipotenusa.

Los tres triángulos ABC, ADB y ADC son triángulos semejantes.

Como los tres triángulos son rectángulos, tienen un ángulo igual a 90º. Por tanto, para probar que los tres triángulos son semejantes, es suficiente con mostrar que tienen un ángulo agudo igual (primer caso de semejanza)

Los triángulos ADB y ABC tienen el ángulo β , que es común para los dos triángulos.

Los triángulos ADC y ABC tienen el ángulo γ , que es común para los dos triángulos.

Los triángulos ADB y ADC tienen el ángulo β= 1

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Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.

Como los dos triángulos ADB y ADC son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales:

\(\frac{DC}{DA}=\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{AB}\)

La primera proporción se puede escribir así:

\(\frac{b’}{h}=\frac{h}{c’}\)

O también así:

\(h^{2}= b’\cdot c’\)

Estas igualdades indican que la altura es media proporcional entre las proyecciones de los dos catetos.

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Teorema del cateto

En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Observa el triángulo ABC. Sabemos que al trazar la altura, se forman dos triángulos semejantes entre sí y que ambos son semejantes al triángulo ABC.

De la semejanza de los triángulos ADC y BAC se tiene la siguiente proporción entre los lados homólogos:

\(\frac{Hipotenusa\, de \, BAC}{Hipotenusa\, de\, ADC}=\frac{Cateto \, mayor\, de\, BAC}{Cateto\, mayor\, de\, ADC}\)

Es decir:

 \(\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}\)

Esta proporción se puede escribir así:

 \(\frac{a}{b}=\frac{b}{b’}\)

O también así:

\(b^{2}=a\cdot b’\)

Del mismo modo, la semejanza de los triángulos ADB y CAB resulta:

\(\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{DB}\)

La primera proporción se puede escribir así:

\(\frac{a}{c}=\frac{c}{c’}\)

O también así:

^{\(c^{2}=a\cdot c’\)}

Estas igualdades indican que cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

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Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras fue un sabio griego que observó que en un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud, el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, y esto ocurre en todos los triángulos rectángulos.

Comprobación empírica del teorema de Pitágoras:

5² = 25

3² = 9

4² = 16

25 = 9 + 16

5² = 3² + 4²

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Demostración del Teorema de Pitágoras por el teorema del cateto.

En el triángulo ABC, por el teorema del cateto tenemos:

c² = a · c’

b² = a · b’

Si sumamos estas igualdades tenemos:

c² + b² = a · c’ + a · b’ = a (c’ + b’) = a · a = a²

Es decir: a² = b² + c² y esta igualdad es el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras también se puede escribir de las siguientes formas:

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

• Cálculo de la altura de un triángulo equilátero
• Cálculo de la diagonal de un cuadrado
• Cálculo de la longitud de una tangente

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Cálculo de la altura de un triángulo equilátero

Fíjate en este triángulo equilátero de lado L = 6 cm

La altura AD es mediana y también es mediatriz; por lo tanto, el punto D es el punto medio del lado BC y DC = 3 cm

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que:

\(AD = h = \sqrt{6^{2}-3^{2}}={\sqrt{36-9}}=\sqrt{27}\simeq 5,1\)

La altura del triángulo es h = 5,1 cm.

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Cálculo de la diagonal de un cuadrado

Para calcular la diagonal de un cuadrado de lado 6 cm, utilizamos el teorema de Pitágoras ya que la diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos.

Por lo tanto tenemos:

\(d= \sqrt{6^{2}+6^{2}}={\sqrt{36+36}}=\sqrt{72}=8,4\)

La diagonal del cuadrado es d = 8,4 cm

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Cálculo de la longitud de una tangente

Vamos a calcular la longitud  del segmento PT de la tangente a una circunferencia de radio 6 cm, sabiendo que la distancia del punto P al centro O es 10 cm.

Para ello vamos a aplicar el teorema de Pitágoras:

\(PT= \sqrt{OP^{2}-OT^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}={\sqrt{100-36}}=\sqrt{64}=8\)

El segmento PT de la tangente a la circunferencia mide 8 cm.

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Aplicaciones de los teoremas de la altura y del cateto

• Construcción de un segmento medio proporcional a dos segmentos dados
• Construcción de un cuadrado de igual área que un rectángulo dado

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Construcción de un segmento medio proporcional a dos segmentos dados

Supongamos que tenemos dos segmentos a y b:

Si queremos calcular un segmento (h) que sea medio proporcional a los dos segmentos anteriores, se tiene que cumplir lo siguiente:

\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}\)

Por lo tanto, matemáticamente el cálculo sería:

\(h^{2}=a\cdot b\Rightarrow h=\sqrt{a\cdot b}\)

Para hallar el segmento h gráficamente hacemos lo siguiente:

1- Construimos un segmento MN = a + b

2- Trazamos una semicircunferencia de diámetro MN = a + b y por el punto H, común a los segmentos a y b. Trazamos una perpendicular al segmento MN que corte a la semicircunferencia en el punto A. El segmento AH =h es el medio proporcional.

Vemos que el triángulo MAN es rectángulo (el ángulo en A es recto porque es un ángulo inscrito cuyos lados abarcan 180º), por lo tanto:

\(\hat{A}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}\)

Si aplicamos el teorema de la altura al triángulo rectángulo MAN obtenemos:

\(h^{2}=a\cdot b\)

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Construcción de un cuadrado de igual área que un rectángulo dado

Supongamos que queremos construir un cuadrado que tenga la misma área que el rectángulo ABCD

Para construir el cuadrado, haremos lo siguiente:

Trazamos un segmento AB igual al lado mayor del rectángulo y luego trazamos una semicircunferencia de diámetro AB. Después llevamos sobre AB un segmento AD’ igual al lado menor del rectángulo (AD’ = AD), y trazamos por D’ una perpendicular al diámetro AB que corta a la semicircunferencia en el punto P. El lado del cuadrado que estamos buscando es AP.

Como vemos, es triángulo APB es rectángulo, y aplicando el teorema del cateto obtenemos lo siguiente:

\(\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{AD’}\rightarrow AP^{2}=AB\cdot AD’\)

Y como AD’ = AD resulta:

\(AP^{2}=AB\cdot AD\)

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