RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

En esta clase vamos a ver cuáles son las rectas notables de un triángulo y cómo trabajar con ellas.

Las rectas notables de un triángulo son: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas.

Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto a una recta al segmento perpendicular a la recta que une el punto con la recta.

Observa el punto A y la recta r.

Trazamos una recta s que pasa por el punto A y que es perpendicular a la recta r:

El punto P es el pie de la perpendicular y lo que mide el segmento AP es la distancia (d) del punto A a la recta r

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento AB es una recta perpendicular al segmento trazada en el punto medio del segmento

Para trazar la mediatriz del segmento AB seguiremos los siguientes pasos:

1.-Dibujamos dos arcos con centros en los extremos A y B y radios suficientemente grandes para que estos arcos se corten en dos puntos P y Q.

 2.-Dibujamos la recta que une los puntos P y Q. Esa recta que acabamos de dibujar es la mediatriz del segmento AB

Propiedad de la mediatriz

Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los dos extremos del segmento.

La mediatriz de un segmento es el eje de simetría de dicho segmento.

Si se une un punto P de la mediatriz con los extremos del segmento se obtienen dos segmentos PA y PB, que son iguales (miden lo mismo).

Por lo tanto, los triángulos rectángulos que se forman al trazar la mediatriz del segmento, AMP y PMB son iguales porque tienen iguales los dos catetos.

Si doblamos la figura por la mediatriz ,observamos que PA = PB. En este plegado A coincide con B, es decir, la mediatriz es el eje de simetría del segmento.

Las mediatrices de un triángulo y el circuncentro

Como los lados de un triángulo son segmentos, se puede trazar la mediatriz de cada uno de los lados.

En el triángulo EFD se han trazado las mediatrices de sus lados.

Observa que las tres mediatrices se cortan en un mismo punto C. Este punto C se llama circuncentro del triángulo.

Propiedades del circuncentro

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al ángulo.

Vamos a ver cómo el circuncentro está a igual distancia de los vértices del triángulo, es decir, CF = CD = CE.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al ángulo.

Para ello tenemos que recordar que todo punto de la mediatriz equidista de sus extremos.

CF = CD, porque C está en la mediatriz del segmento FD

CD = CE, porque C está en la mediatriz del segmento ED

Por tanto, CF = CD = CE

Por ser iguales los segmentos CF, CD y CE se puede construir una circunferencia con centro en el circuncentro C y que pasa por los vértices F, E, D. Esta circunferencia que pasa por los tres vértices se llama circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.

Observa cómo se traza la bisectriz del ángulo de vértice O.

1.-Con centro el vértice O se traza un arco

2.-Sucesivamente, con centro en los puntos A y B se trazan arcos que se cortan en el punto H.

3.-Se une el punto H con el vértice O. Así queda el ángulo dado dividido en dos ángulos iguales: a = b. La semirrecta OH es la bisectriz.

Propiedad de la bisectriz

Todo punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.

Vamos a probar que si un punto P está en la bisectriz de un ángulo, dicho punto dista igual de los lados del ángulo.

Observa el ángulo de vértice O. Desde el punto P de la bisectriz se han trazado las perpendiculares de los lados.

Los triángulos rectángulos OAP y OBP son iguales porque tienen iguales:

Un ángulo agudo:  a = b

Un ángulo recto:  A=B = 90º

Un lado común para los dos triángulos: OP , y por consiguiente, PA = PB

También se puede comprobar esta igualdad doblando la figura por la bisectriz. Si hacemos esto, vemos que coinciden los dos lados del ángulo y los segmentos PA y PB. Esto significa que la bisectriz de un ángulo es el eje de simetría de ese ángulo.

Las bisectrices de un triángulo y el incentro

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos.

Las tres bisectrices del triángulo ABC se cortan en un mismo punto I que se llama incentro del triángulo.

En el ángulo ABC se han trazado  las tres bisectrices:

AM es la bisectriz del ángulo A

BP es la bisectriz del ángulo B

CN es la bisectriz del ángulo C

Propiedad del incentro

La circunferencia que tiene por centro el incentro y es tangente a los lados se llama circunferencia inscrita en el triángulo.

Vamos a ver cómo el incentro I del triángulo ABC equidista de los tres lados del triángulo.

Para ello tenemos que dibujar  desde el punto I las perpendiculares a los lados del triángulo. Estas perpendiculares cortan a los lados en los puntos R, T, S.

La propiedad del incentro de equidistar de los lados se puede expresar así: IR = IT = IS

Para ver que estas distancias son iguales hay que recordar que todo punto de la bisectriz equidista de los lados del  ángulo:

IR = IT por ser I un punto de la bisectriz del ángulo

IT = IS por ser I un punto de la bisectriz del ángulo

Entonces:

IR = IT = IS

Al ser iguales estas distancias se puede construir una circunferencia con centro en I que pase por los puntos R, T y S. Esta circunferencia se llama circunferencia inscrita del triángulo.

Las alturas de un triángulo y el ortocentro

La expresión “alturas de un triángulo” tiene dos significados en matemáticas:

Las alturas como segmentos

Cada altura es el segmento perpendicular a uno de los lados o a su prolongación desde el vértice opuesto.

Las alturas del triángulo ABC son los segmentos MC, AH y NB.

Este significado de altura es el que se usa para calcular el área del triángulo

Las alturas como rectas

Cada altura es la recta perpendicular a uno de los lados o a su prolongación desde el vértice opuesto.

Con este significado las alturas del triángulo ABC son las rectas CM, AH, BN, que se cortan en el punto O.

Observa que las tres alturas (rectas) de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama ortocentro del triángulo

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto que se llama ortocentro del triángulo.

Las medianas de un triángulo y el baricentro

Las medianas son segmentos que unen cada vértice del triángulo  con el punto medio del lado opuesto al vértice.

Observa el triángulo ABC. Se han trazado los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Estos segmentos AM, CN y BP se llaman medianas del triángulo ABC.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro o centro de gravedad del triángulo.

El centro de gravedad de un cuerpo es, como se sabe por Física, el punto de aplicación de su peso. Esto significa que un triángulo hecho en un material homogéneo, por ejemplo cartón,  el punto de aplicación de su peso es el baricentro, y que, por tanto, se puede mantener en equilibrio con un sostén puntual, por ejemplo, con un alfiler, aplicado al baricentro.

Propiedad del baricentro

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, uno de doble longitud que el otro.

Ya sabemos que el baricentro divide a cada mediana en dos partes. Ahora vamos a ver que una de estas partes es de doble longitud que la otra.

Sea el triángulo ABC y el punto G su baricentro.

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, uno de doble longitud que el otro.

Unamos los puntos medios P y N. Así se obtienen los triángulos ABC y ANP, que son triángulos en posición de Thales, y por tanto semejantes.

Luego,\(\frac{BC}{PN} = \frac{AC}{AP}=2\)

Por otra parte, los triángulos GPN y GCB son semejantes por tener iguales los ángulos \(\hat{1}=\hat{6};\hat{2}=\hat{4};\hat{3}=\hat{5}\) → CG = 2GN

Por eso:  \(\frac{BC}{PN}=2\) y \(\frac{GC}{GN}=2\)

Del mismo modo, se prueba que BG = 2GP y que AG = 2GM

Construcción de la tangente de una circunferencia desde un punto

Primer caso: Construcción de la tangente cuando el punto P está en la circunferencia

Por un punto P de la circunferencia sólo se puede trazar una tangente.

Este problema es ya conocido y se reduce a trazar la perpendicular al radio OP.

Segundo caso: Construcción de las tangentes cuando el punto P está fuera de la circunferencia

Cuando el punto P está fuera de la circunferencia se pueden trazar desde él dos tangentes.

Para construir las tangentes a la circunferencia que pasan por el punto P se procede así:

1.-Se une el punto P con el centro de la circunferencia y se halla el punto medio M del segmento OP

2.-Se traza la circunferencia de centro M que pasa por los puntos O y P

3.-Los puntos T y T’ son los puntos de contacto de las tangentes; por tanto, basta unir P con T y P con T’ para obtener las dos tangentes.

Observa que los ángulos  y  son rectos por ser ángulos inscritos que abarcan una semicircunferencia, y en consecuencia las rectas PT y PT’ son perpendiculares a los radios OT y OT’ respectivamente.

CUESTIONARIO

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EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

Ejercicios sobre las rectas notables

Aquí tienes los ejercicios sobre las rectas notables de un triángulo.

Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.