La Escuela en Casa

Clases de Matemáticas

  • MATEMÁTICAS
    • LOS NÚMEROS ENTEROS
      • CONCEPTO Y CLASES DE NÚMEROS ENTEROS
      • EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
      • REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
      • COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
      • VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
      • LOS EJES DE COORDENADAS
      • COORDENADAS DE UN PUNTO
      • LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
      • LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
      • INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
      • PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
      • LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
      • PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
      • ESCRITURA SIMPLIFICADA DE LOS NÚMEROS ENTEROS. POLINOMIOS ARITMÉTICOS.
      • DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
      • MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
      • DIVISORES DE UN NÚMERO. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
      • MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
      • MÁXIMO COMÚN DIVISOR
      • POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL
      • RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO
      • OPERACIONES CON RADICALES
    • LOS NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES)
      • FRACCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS
      • FRACCIONES EQUIVALENTES
      • AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
      • LOS NÚMEROS RACIONALES
      • LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES
      • COMPARACIÓN DE FRACCIONES
      • SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
      • PROPIEDADES DE LA SUMA DE FRACCIONES
      • MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
      • DIVISIÓN DE FRACCIONES
      • POTENCIAS DE BASE RACIONAL
      • RAÍCES DE FRACCIONES
    • LOS NÚMEROS DECIMALES
      • CONCEPTO Y CLASES DE NÚMEROS DECIMALES
      • OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
      • ESCRITURA DE DECIMALES MEDIANTE POTENCIAS DE 10
      • EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL. FRACCIÓN GENERATRIZ
    • GEOMETRÍA BÁSICA
      • RECTAS Y ÁNGULOS
      • LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
      • LOS POLÍGONOS
      • RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
      • RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
      • ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS
      • ÁREA DE LOS POLIEDROS Y DE LOS CUERPOS REDONDOS
      • VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
    • PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
      • MAGNITUDES PROPORCIONALES
      • LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA
      • LA PROPORCIONALIDAD INVERSA
      • LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
      • EL TEOREMA DE THALES
      • SEMEJANZA Y ESCALAS
    • POLINOMIOS ALGEBRAICOS
      • EXPRESIONES ALGEBRAICAS
      • MONOMIOS
      • POLINOMIOS
      • SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
      • MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
      • IGUALDADES NOTABLES
      • DIVISIÓN DE POLINOMIOS
      • REGLA DE RUFFINI
      • DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS
      • RAZONES ALGEBRAICAS
    • ECUACIONES
      • ECUACIONES. CONCEPTOS BÁSICOS.
      • ECUACIONES DE PRIMER GRADO
      • ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
      • ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS
      • ECUACIONES RADICALES
    • LOS NÚMEROS REALES
      • SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO
      • INTRODUCCIÓN AL NÚMERO REAL
      • SUMA DE NÚMEROS REALES
      • MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
      • ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
      • INTERVALOS EN ℝ
      • VALORES APROXIMADOS DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES
    • FUNCIONES
      • CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES
      • FUNCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS
  • INGLÉS
    • GRAMÁTICA
      • SUSTANTIVOS
        • GÉNERO DEL SUSTANTIVO
        • PLURAL DEL SUSTANTIVO
        • SUSTANTIVOS DE ADJETIVOS
        • SUSTANTIVOS CONTABLES E INCONTABLES
      • DETERMINANTES
      • ARTÍCULOS
      • PRONOMBRES
    • VOCABULARIO
      • ALIMENTOS Y COMIDAS
        • BEBIDAS
        • CARNES Y AVES
        • COMIDAS EN GENERAL
        • ESPECIAS Y CONDIMENTOS
        • FRUTAS
        • PESCADOS Y MARISCOS
        • VERBOS CULINARIOS
        • VERDURAS
      • ANIMALES
        • ANIMALES ACUÁTICOS
        • AVES
        • INSECTOS Y REPTILES
        • MAMÍFEROS
      • EL TIEMPO
        • LA MEDICIÓN DEL TIEMPO Y EL CALENDARIO
        • PUNTOS EN EL TIEMPO
      • LA CASA
        • PARTES DE LA CASA
        • EL COMEDOR
        • EL CUARTO DE BAÑO
        • EL DORMITORIO
        • EL JARDÍN
        • EL TALLER
        • EL TRASTERO
        • LA COCINA
        • LA HABITACIÓN DEL BEBÉ
        • LA SALA DE ESTAR
      • LA CIUDAD
        • CONSTRUCCIONES Y VIVIENDAS
        • PARTES DE LA CIUDAD
        • TIENDAS Y COMERCIOS
      • LA NATURALEZA
        • EL TIEMPO ATMOSFÉRICO
        • EL UNIVERSO
        • FLORES
        • GEOGRAFÍA
        • PLANTAS Y ÁRBOLES
      • LA SALUD
        • EL CUERPO HUMANO
        • EL HOSPITAL
        • MEDICINAS Y REMEDIOS
        • PROBLEMAS DE SALUD
      • LA SOCIEDAD
        • DELITOS Y JUSTICIA
        • ESCUELA Y EDUCACIÓN
        • MILITARES Y GUERRA
        • NACIONALIDADES
        • PAÍSES
        • POLÍTICA Y GOBIERNO
        • RELIGIÓN
      • LAS COSAS
        • LAS ARMAS
        • COLORES Y PATRONES
        • ENVASES Y CANTIDADES
        • FORMAS Y TEXTURAS
        • MATERIALES Y TELAS
      • LAS PERSONAS
        • ESTADOS DE ÁNIMO
        • LA FAMILIA
        • PERSONALIDAD
        • PROFESIONES
        • LA ROPA
        • SENTIMIENTOS Y EMOCIONES
      • TIEMPO LIBRE Y DIVERSIÓN
        • CAMPAMENTO Y PESCA
        • DEPORTES
        • INSTRUMENTOS MUSICALES
        • LA PLAYA
        • PASATIEMPOS Y JUEGOS
      • TRANSPORTES
        • MEDIOS DE TRANSPORTE
        • EL AEROPUERTO
        • EL BARCO
        • EL COCHE
        • EMBARCACIONES
        • LA BICICLETA Y LA MOTOCICLETA
  • PROBLEMAS
    • Problemas con números enteros
    • Problemas con fracciones
    • Problemas con decimales
    • Problemas de proporcionalidad y semejanza
    • Problemas de geometría plana
    • Problemas con ecuaciones
    • Problemas con números reales
    • Problemas con funciones
  • MATEMÁTICAS
  • INGLÉS
  • PROBLEMAS
  • EXÁMENES
Portada » MATEMÁTICAS » GEOMETRÍA BÁSICA » RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Tabla de contenidos

  • 1 RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
    • 1.1 Distancia de un punto a una recta
    • 1.2 Mediatriz de un segmento
      • 1.2.1 Propiedad de la mediatriz
      • 1.2.2 Las mediatrices de un triángulo y el circuncentro
      • 1.2.3 Propiedades del circuncentro
    • 1.3 Bisectriz de un ángulo
      • 1.3.1 Propiedad de la bisectriz
      • 1.3.2 Las bisectrices de un triángulo y el incentro
      • 1.3.3 Propiedad del incentro
    • 1.4 Las alturas de un triángulo y el ortocentro
      • 1.4.1 Las alturas como segmentos
      • 1.4.2 Las alturas como rectas
    • 1.5 Las medianas de un triángulo y el baricentro
      • 1.5.1 Propiedad del baricentro
    • 1.6 Construcción de la tangente de una circunferencia desde un punto
      • 1.6.1 Primer caso: Construcción de la tangente cuando el punto P está en la circunferencia
      • 1.6.2 Segundo caso: Construcción de las tangentes cuando el punto P está fuera de la circunferencia
  • 2 CUESTIONARIO
  • 3 EJERCICIOS
    • 3.1 Ejercicios sobre las rectas notables
    • 3.2 Solución a los ejercicios
    • 3.3 Resolución de los ejercicios

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

En esta clase vamos a ver cuáles son las rectas notables de un triángulo y cómo trabajar con ellas.

Las rectas notables de un triángulo son: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas.

Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto a una recta al segmento perpendicular a la recta que une el punto con la recta.

Observa el punto A y la recta r.

Distancia de un punto a una recta
Distancia de un punto a una recta

Trazamos una recta s que pasa por el punto A y que es perpendicular a la recta r:

Distancia de un punto a una recta

El punto P es el pie de la perpendicular y lo que mide el segmento AP es la distancia (d) del punto A a la recta r

Distancia de un punto a una recta


Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento AB es una recta perpendicular al segmento trazada en el punto medio del segmento

Para trazar la mediatriz del segmento AB seguiremos los siguientes pasos:

1.-Dibujamos dos arcos con centros en los extremos A y B y radios suficientemente grandes para que estos arcos se corten en dos puntos P y Q.

Trazar la mediatriz de un segmento con un compás

 2.-Dibujamos la recta que une los puntos P y Q. Esa recta que acabamos de dibujar es la mediatriz del segmento AB

Mediatriz de un segmento


Propiedad de la mediatriz

Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los dos extremos del segmento.

La mediatriz de un segmento es el eje de simetría de dicho segmento.

Propiedades de la mediatriz
Mediatriz del segmento AB

Si se une un punto P de la mediatriz con los extremos del segmento se obtienen dos segmentos PA y PB, que son iguales (miden lo mismo).

Por lo tanto, los triángulos rectángulos que se forman al trazar la mediatriz del segmento, AMP y PMB son iguales porque tienen iguales los dos catetos.

Si doblamos la figura por la mediatriz ,observamos que PA = PB. En este plegado A coincide con B, es decir, la mediatriz es el eje de simetría del segmento.


Las mediatrices de un triángulo y el circuncentro

Como los lados de un triángulo son segmentos, se puede trazar la mediatriz de cada uno de los lados.

En el triángulo EFD se han trazado las mediatrices de sus lados.

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Estas tres mediatrices son las mediatrices del triángulo

Observa que las tres mediatrices se cortan en un mismo punto C. Este punto C se llama circuncentro del triángulo.

07-las-mediatrices-de-un-triangulo-y-el-circuncentro-optimizada


Propiedades del circuncentro

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al ángulo.

Vamos a ver cómo el circuncentro está a igual distancia de los vértices del triángulo, es decir, CF = CD = CE.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al ángulo.

Circuncentro del triángulo
Circuncentro del triángulo

Para ello tenemos que recordar que todo punto de la mediatriz equidista de sus extremos.

CF = CD, porque C está en la mediatriz del segmento FD

CD = CE, porque C está en la mediatriz del segmento ED

Por tanto, CF = CD = CE

Por ser iguales los segmentos CF, CD y CE se puede construir una circunferencia con centro en el circuncentro C y que pasa por los vértices F, E, D. Esta circunferencia que pasa por los tres vértices se llama circunferencia circunscrita al triángulo.


Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.

Bisectriz de un ángulo
Bisectriz de un ángulo

Observa cómo se traza la bisectriz del ángulo de vértice O.

1.-Con centro el vértice O se traza un arco

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

2.-Sucesivamente, con centro en los puntos A y B se trazan arcos que se cortan en el punto H.

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

3.-Se une el punto H con el vértice O. Así queda el ángulo dado dividido en dos ángulos iguales: a = b. La semirrecta OH es la bisectriz.

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO


Propiedad de la bisectriz

Todo punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.

Vamos a probar que si un punto P está en la bisectriz de un ángulo, dicho punto dista igual de los lados del ángulo.

Propiedad de la bisectriz
Propiedad de la bisectriz

Observa el ángulo de vértice O. Desde el punto P de la bisectriz se han trazado las perpendiculares de los lados.

Los triángulos rectángulos OAP y OBP son iguales porque tienen iguales:

Un ángulo agudo:  a = b

Un ángulo recto:  A=B = 90º

Un lado común para los dos triángulos: OP , y por consiguiente, PA = PB

También se puede comprobar esta igualdad doblando la figura por la bisectriz. Si hacemos esto, vemos que coinciden los dos lados del ángulo y los segmentos PA y PB. Esto significa que la bisectriz de un ángulo es el eje de simetría de ese ángulo.


Las bisectrices de un triángulo y el incentro

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos.

Las tres bisectrices del triángulo ABC se cortan en un mismo punto I que se llama incentro del triángulo.

Las bisectrices del triángulo y el incentro
Las bisectrices del triángulo y el incentro

En el ángulo ABC se han trazado  las tres bisectrices:

AM es la bisectriz del ángulo A

BP es la bisectriz del ángulo B

CN es la bisectriz del ángulo C


Propiedad del incentro

La circunferencia que tiene por centro el incentro y es tangente a los lados se llama circunferencia inscrita en el triángulo.

Vamos a ver cómo el incentro I del triángulo ABC equidista de los tres lados del triángulo.

Para ello tenemos que dibujar  desde el punto I las perpendiculares a los lados del triángulo. Estas perpendiculares cortan a los lados en los puntos R, T, S.

La propiedad del incentro de equidistar de los lados se puede expresar así: IR = IT = IS

Propiedad del incentro
Propiedad del incentro

Para ver que estas distancias son iguales hay que recordar que todo punto de la bisectriz equidista de los lados del  ángulo:

Circunferencia inscrita en el triángulo
Circunferencia inscrita en el triángulo

IR = IT por ser I un punto de la bisectriz del ángulo

IT = IS por ser I un punto de la bisectriz del ángulo

Entonces:

IR = IT = IS

Al ser iguales estas distancias se puede construir una circunferencia con centro en I que pase por los puntos R, T y S. Esta circunferencia se llama circunferencia inscrita del triángulo.


Las alturas de un triángulo y el ortocentro

La expresión “alturas de un triángulo” tiene dos significados en matemáticas:

Las alturas como segmentos

Cada altura es el segmento perpendicular a uno de los lados o a su prolongación desde el vértice opuesto.

Las alturas del triángulo ABC son los segmentos MC, AH y NB.

Las alturas del triángulo como segmentos
Las alturas del triángulo como segmentos

Este significado de altura es el que se usa para calcular el área del triángulo


Las alturas como rectas

Cada altura es la recta perpendicular a uno de los lados o a su prolongación desde el vértice opuesto.

Con este significado las alturas del triángulo ABC son las rectas CM, AH, BN, que se cortan en el punto O.

Las alturas del triángulo como rectas
Las alturas del triángulo como rectas

Observa que las tres alturas (rectas) de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama ortocentro del triángulo

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto que se llama ortocentro del triángulo.


Las medianas de un triángulo y el baricentro

Las medianas son segmentos que unen cada vértice del triángulo  con el punto medio del lado opuesto al vértice.

Las medianas del triángulo y el baricentro
Las medianas del triángulo y el baricentro

Observa el triángulo ABC. Se han trazado los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Estos segmentos AM, CN y BP se llaman medianas del triángulo ABC.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro o centro de gravedad del triángulo.

El centro de gravedad de un cuerpo es, como se sabe por Física, el punto de aplicación de su peso. Esto significa que un triángulo hecho en un material homogéneo, por ejemplo cartón,  el punto de aplicación de su peso es el baricentro, y que, por tanto, se puede mantener en equilibrio con un sostén puntual, por ejemplo, con un alfiler, aplicado al baricentro.


Propiedad del baricentro

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, uno de doble longitud que el otro.

Ya sabemos que el baricentro divide a cada mediana en dos partes. Ahora vamos a ver que una de estas partes es de doble longitud que la otra.

Sea el triángulo ABC y el punto G su baricentro.

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, uno de doble longitud que el otro.

Propiedades del baricentro
Propiedades del baricentro

Unamos los puntos medios P y N. Así se obtienen los triángulos ABC y ANP, que son triángulos en posición de Thales, y por tanto semejantes.

Luego,\(\frac{BC}{PN} = \frac{AC}{AP}=2\)

Por otra parte, los triángulos GPN y GCB son semejantes por tener iguales los ángulos \(\hat{1}=\hat{6};\hat{2}=\hat{4};\hat{3}=\hat{5}\) → CG = 2GN

Por eso:  \(\frac{BC}{PN}=2\) y \(\frac{GC}{GN}=2\)

Del mismo modo, se prueba que BG = 2GP y que AG = 2GM


Construcción de la tangente de una circunferencia desde un punto

Primer caso: Construcción de la tangente cuando el punto P está en la circunferencia

Por un punto P de la circunferencia sólo se puede trazar una tangente.

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Recta tangente a una circunferencia

Este problema es ya conocido y se reduce a trazar la perpendicular al radio OP.


Segundo caso: Construcción de las tangentes cuando el punto P está fuera de la circunferencia

Cuando el punto P está fuera de la circunferencia se pueden trazar desde él dos tangentes.

Para construir las tangentes a la circunferencia que pasan por el punto P se procede así:

1.-Se une el punto P con el centro de la circunferencia y se halla el punto medio M del segmento OP

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

2.-Se traza la circunferencia de centro M que pasa por los puntos O y P

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

3.-Los puntos T y T’ son los puntos de contacto de las tangentes; por tanto, basta unir P con T y P con T’ para obtener las dos tangentes.

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Observa que los ángulos  y  son rectos por ser ángulos inscritos que abarcan una semicircunferencia, y en consecuencia las rectas PT y PT’ son perpendiculares a los radios OT y OT’ respectivamente.


CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios sobre las rectas notables

Aquí tienes los ejercicios sobre las rectas notables de un triángulo.

Para ver este apartado es necesario que aceptes las cookies de marketing


Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

Para ver este apartado es necesario que aceptes las cookies de marketing


Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.


APRENDE MÁS COSAS SOBRE GEOMETRÍA BÁSICA…

Rectas y ángulos

La circunferencia y el círculo

Los polígonos

Relaciones métricas en los triángulos rectángulos

Áreas de las figuras planas

Áreas de los poliedros y de los cuerpos redondos

Volúmenes de los cuerpos geometricos

Comentarios

  1. Gigi luz dice

    18 mayo, 2016 a las 4:25

    No me gustaron. Las explicaciones. Al escribir y hacer una página no pensaron en que los niños no iban a aprender nada……..
    Además. No está lo que yo estaba buscando por. Ej:caso ( 1 ) :cuando se conocen 2 ángulos y un lado del triangulo.

BUSCA EN EL SITIO

LECCIONES

  • LOS NÚMEROS ENTEROS
  • LOS NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES)
  • LOS NÚMEROS DECIMALES
  • GEOMETRÍA BÁSICA
  • PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
  • POLINOMIOS ALGEBRAICOS
  • ECUACIONES
  • LOS NÚMEROS REALES
  • FUNCIONES

ETIQUETAS

Circunferencia División de polinomios Ecuaciones Ecuaciones con móviles Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuación de una función Fracciones Funciones Geometría Geometría básica Geometría plana Igualdades notables Longitud de la circunferencia Multiplicación de polinomios Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Números decimales Números Enteros Operaciones con decimales Operaciones con enteros Operaciones con fracciones Operaciones con polinomios Polinomios Potencias Proporcionalidad Proporcionalidad compuesta Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Raíces Regla de tres Regla de tres directa Regla de tres simple Regla de tres simple directa Resta de fracciones Resta de polinomios Sistemas de ecuaciones Suma de fracciones Sumas y restas de números enteros Teorema de Pitágoras Triángulos Volumen del ortoedro Área del rectángulo Áreas de cuerpos geométricos Áreas de figuras planas

AJUSTES DE COOKIES

Cambiar mis preferencias sobre el uso de las cookies
  • Política de privacidad
  • Política de cookies
  • Contacto
  • Sobre Mí

© 2023 · La Escuela en Casa · Todos los derechos reservados