LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

En esta clase vamos a ver todo lo relativo a la circunferencia y el círculo: definición, elementos de la circunferencia y el círculo, posiciones relativas, figuras circulares, ángulos en la circunferencia y el círculo, la longitud de la circunferencia y las longitudes y amplitudes de los arcos.

La circunferencia

La circunferencia es una línea curva y plana, con todos sus puntos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro en una distancia constante llamada radio.

El círculo

El círculo es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, es la superficie del plano delimitada por una circunferencia.

Elementos de una circunferencia

Existen varios elementos que nos podemos encontrar en una circunferencia:

• Centro
• Radio
• Diámetro
• Cuerda
• Arco
• Semicircunferencia

Centro

El centro de una circunferencia es el punto que está situado en el centro mismo de la circunferencia y que es equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio

El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Diámetro

El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio.

Cuerda

Una cuerda de una circunferencia es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima que vamos a encontrar en una circunferencia.

Arco

Un arco de una circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Semicircunferencia

Una semicircunferencia es cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro (Es la mitad de una circunferencia)

Posiciones relativas

Vamos a ver las siguientes posiciones relativas:

• Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia.
• Posición relativa de una recta respecto a una circunferencia.
• Posición relativa de dos circunferencias

Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia

Un punto en el plano, con respecto a una circunferencia, puede ser:

• Punto exterior a la circunferencia.
• Punto perteneciente a la circunferencia.
• Punto interior a la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

Un punto es exterior a una circunferencia si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

Punto perteneciente a la circunferencia

Un punto pertenece a una circunferencia si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

Punto interior a la circunferencia

Un punto es interior a una circunferencia si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

Posición relativa de una recta respecto a una circunferencia

Una recta en el planto, con respecto a una circunferencia, puede ser:

• Recta exterior a una circunferencia.
• Recta tangente a una circunferencia.
• Recta secante a una circunferencia.

Recta exterior a una circunferencia

Una recta es exterior a una circunferencia si no tiene ningún punto en común con la circunferencia y la distancia del centro la recta es mayor que la longitud del radio.

Recta tangente a una circunferencia

Una recta es tangente a una circunferencia si la recta toca a la circunferencia en un solo punto (llamado punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual al radio. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia al centro.

Recta secante a una circunferencia

Una recta es secante a una circunferencia si la recta y la circunferencia se cortan en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor que el radio.

Posición relativa de dos circunferencias

Dos circunferencias, según su posición relativa, pueden ser:

• Circunferencias exteriores
• Circunferencias tangentes exteriormente
• Circunferencias tangentes interiormente
• Circunferencias secantes
• Circunferencias interiores excéntricas
• Circunferencias interiores concéntricas
• Circunferencias coincidentes

Circunferencias exteriores

Dos circunferencia son exteriores si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

Circunferencias tangentes exteriormente

Dos circunferencias son tangentes exteriormente si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

Circunferencias tangentes interiormente

Dos circunferencias son tangentes interiormente si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene mayor radio que la otra.

Circunferencias secantes

Dos circunferencias son secantes si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto

Circunferencias interiores excéntricas

Dos circunferencias son interiores excéntricas si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que cero y menor que le valor absoluto de la diferencia de sus radios, es decir, una está dentro de la otra, y tienen diferente centro.

Circunferencias interiores concéntricas

Dos circunferencias son interiores concéntricas si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es cero) y distinto radio. Estas dos circunferencias forman una corona circular o anillo circular.

Circunferencias coincidentes

Dos circunferencias son coincidentes si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Figuras circulares

Vamos a ver las siguientes figuras circulares:

• Semicírculo
• Sector circular
• Segmento circular
• Corona circular

Las figuras circulares son partes de círculos que nos podemos encontrar.

Semicírculo

Un semicírculo es la parte del círculo delimitada por el diámetro y el arco correspondiente (es la mitad del círculo).

Sector circular

 Un sector circular es la parte del círculo delimitada por dos radios y el arco correspondiente.

Segmento circular

Un segmento circular es la parte del círculo delimitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Corona circular

Una corona circular es la parte del círculo delimitado entre una circunferencia y una circunferencia interior concéntrica.

Ángulos en una circunferencia

Ángulos centrales y arcos correspondientes

En una circunferencia, si dos ángulos son iguales, sus arcos correspondientes también son iguales. Los ángulos centrales de una circunferencia y sus arcos correspondientes son proporcionales.

El ángulo \(\widehat{AOB}\) tiene su vértice en el centro O de la circunferencia, y por eso se llama ángulo central.

Este ángulo determina en la circunferencia el arco \(\widehat{AB}\), que se llama arco correspondiente al ángulo central \(\widehat{AOB}\) .

Observa que los ángulos centrales de la figura \(\widehat{AOB}\)  y \(\widehat{BOC}\)  son iguales, por lo cual los arcos correspondientes a esos ángulos también son iguales. Por eso, los ángulos centrales y sus arcos correspondientes son directamente proporcionales.

\(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} \rightarrow \widehat{AB} = \widehat{BC}\)

\(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} \rightarrow \widehat{AB} + \widehat{BC}\)

\(\widehat{AOC} \rightarrow \widehat{AC}\)

Posiciones relativas de un ángulo respecto de una circunferencia

Un ángulo y una circunferencia pueden ocupar las siguientes posiciones relativas:

• Ángulo interior
• Ángulo central
• Ángulo inscrito
• Ángulo semiinscrito
• Ángulo exterior
• Ángulo circunscrito

Ángulo interior

Un ángulo interior es un ángulo que tiene su vértice en un punto interior a la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo central

Un ángulo central es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Sus lados son dos radios. El ángulo central es un caso particular del ángulo interior. La medida del ángulo central es igual a la medida de su arco correspondiente.

Ángulo inscrito

Un ángulo inscrito es un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes (dos cuerdas). La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados.

Ángulo semi-inscrito

Un ángulo semi-inscrito es un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son uno secante (una cuerda) y el otro tangente a la circunferencia. El vértice de este ángulo es el punto de tangencia. La medida del ángulo semi-inscrito es también igual a la mitad del arco que abarcan sus lados.

Ángulo exterior

Un ángulo exterior es un ángulo que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados son secantes.

Ángulo circunscrito

Un ángulo circunscrito es un ángulo que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados son tangentes.

Longitud de la circunferencia

En todas las circunferencias, si dividimos la longitud del  borde y el diámetro de la circunferencia, siempre obtendremos el mismo número (3,1416….). Ese número se llama Pi y se representa con la letra griega π.

Longitud y amplitud de un arco

Longitud de un arco cuando la amplitud viene expresada en grados

La longitud de la circunferencia de radio r es: L = 2 · π · r

Vamos a ver cómo se calcula la longitud de un arco de n grados en esa circunferencia. Para ello primero tenemos que averiguar cuál es la longitud de un arco de 1º

Como una circunferencia tiene 360º, si se divide la longitud de la circunferencia entre 360º, obtendremos la longitud de un arco de 1º de esa circunferencia.

Entonces, la longitud del arco de 1º es:

\(L\hat{_{1^{\circ}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot r}{360}\)

Por lo tanto, la longitud del arco \(\widehat{AB}\) de n grados es:

\(L\hat{_{n^{\circ}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot r}{360}\cdot n\)

Ejemplo: Longitud de un arco de 60º en una circunferencia de radio 12 cm

\(L_{\widehat{60^{\circ}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot 12}{360}\cdot 60=4\pi =12,57cm\)

Amplitud y longitud de un arco

En una circunferencia las amplitudes de los arcos y sus longitudes son directamente proporcionales

Observa la tabla en la que aparecen las amplitudes de varios arcos de una circunferencia de 300 cm de radio y sus longitudes correspondientes.

La longitud de la circunferencia es L = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 300 = 1884 cm

Observamos que en una misma circunferencia las amplitudes de los arcos y sus longitudes son directamente proporcionales.

El radián

Un radián es un ángulo central en el cual la longitud de su arco correspondiente es igual a la longitud del radio. Al arco correspondiente también se llama radián.

Como la longitud de la circunferencia de radio r es \(L = 2\cdot \pi \cdot r\), la circunferencia tendrá tantos radianes como la longitud entre el radio.

Longitud de la circunferencia = \(L = \frac{2\cdot \pi \cdot r}{r}=2\pi\) radianes

Para pasar de grados a radianes utilizamos una regla de tres simple directa:

Ejemplo: ¿Cuántos radianes son 45º?

360º → 2π radianes

45º → x radianes

\(x=\frac{2\cdot \pi \cdot 45}{360}=\frac{\pi }{4}\) radianes

Longitud de un arco cuando la amplitud viene expresada en radianes

La longitud de un arco es igual al producto de la amplitud del arco en radianes por el radio

La fórmula para calcular la longitud de un arco es:

\(L_{\widehat{AB}}=\frac{2\cdot \pi \cdot r}{360}\)

Si pasamos los n grados a radianes:

360º→ 2π radianes

nº → x radianes

\(x=\frac{2\cdot \pi \cdot n}{360}\)

Por lo tanto, cuando la amplitud del arco se expresa en radianes, la fórmula de su longitud es:

\(L_{\widehat{AB}}=\frac{2\cdot \pi \cdot r\cdot n}{360}=x\cdot r\)

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