Tabla de contenidos
FUNCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS
En esta clase vamos a ver los conceptos básicos sobre las funciones.
Concepto de función/ idea de función
Concepto de función
Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.
Considera la correspondencia f del conjunto A en el conjunto B, definida por el criterio “…tiene por doble…”
A = {1, -1, 2, -2, 3}
B = {2, -2, 4, -4, 8}
\(A\overset{f}{\rightarrow}B\)
\(x\overset{f}{\rightarrow}2\cdot x\)
Fíjate en el diagrama de flechas: no hay ningún elemento de A que tenga más de una imagen. Por ello, decimos que es una función.
Como el elemento 3 de A no tiene imagen, esta correspondencia no es una aplicación.
La imagen de 1 es 2 y:
Se escribe f(1) = 2
Se lee: f de 1 es igual a 2
Del mismo modo:
f(-1) = -2
f(2) = 4
f(-2) = -4
f(3) = 6
Función y aplicación
Toda aplicación entre conjuntos numéricos es también una función.
Observa la aplicación g de C en D dada por el criterio de “sumar 2”:
\( C\overset{g}{\rightarrow}D \)
\(x\overset{g}{\rightarrow}x+2\)
Fíjate que:
Ningún elemento de C tiene más de una imagen.
Todos los elementos de C tienen imagen.
Las aplicaciones entre conjuntos numéricos se llaman indistintamente aplicaciones o funciones.
Dominio, recorrido y ecuación de una función
Dominio y recorrido o rango de una función
El dominio de una función es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen o también el conjunto de valores que puede tomar la variable x.
El recorrido o rango de una función es el conjunto formado por las imágenes.
Consideremos la función f de C en D definida por el criterio “sumar 3”
\(C\overset{f}{\rightarrow}D\)
\(x{\rightarrow}x+3\)
Esta función hace corresponder a cada número del conjunto C el que se obtenga al sumarle tres unidades en el conjunto D.
El conjunto formado por los elementos que tienen imagen es {1, -1 y 2}, y éstos forman el dominio o campo de existencia de la función o el conjunto original de la función.
\(\large D(f)= \left \{ 1, -1, 2 \right \}\)El conjunto formado por los elementos imágenes se llama conjunto imagen, recorrido o rango de la función.
\(\large R(f)= \left \{ 4, 2, 5 \right \}\)Tabla de valores de una función
Consideremos la función f de \(\large \mathbb{Z}\) en \(\large \mathbb{Z}\) definida por el criterio “sumar 3”
\(\large \begin{matrix} \mathbb{Z}\overset{f}{\rightarrow}\mathbb{Z}\\ x\rightarrow x+3 \end{matrix}\)
Los valores que puede tomar x en esta función son todos los números enteros \(\large D(f)=\left \{ \mathbb{Z} \right \}\)
Con los elementos originales y los elementos imágenes se puede formar una tabla de valores de la función.
Nosotros vamos a escoger solo algunos valores del dominio para hacer la tabla de valores (por ejemplo escogemos: -1, -2, 0, 1 y 2, aunque podemos escoger los que nosotros queramos)
La imagen de -1 en la función f(x) = x + 3 es:
f(-1) = -1 + 3 = 2
f(-2) = -2 + 3 = 1
f(0) = 0+ 3 = 3
f(1) = 1 + 3 = 4
f(2) = 2 + 3 = 5
Ecuación de la función y sus variables
Se llama ecuación de una función a la relación que indica las operaciones que hay que hacer en la variable independiente x para obtener la variable dependiente y.
Consideremos la función \(\mathbb{Z}\overset{f}{\rightarrow}\mathbb{Z}\) de variable entera definida por la igualdad f(x) = x + 3
La igualdad f(x) = x + 3 se llama ecuación de la función f
La letra x representa cualquier número del dominio de la función. En el caso de la función y + x + 3, la letra x representa cualquier número entero y se llama variable independiente.
Es frecuente designar la imagen de x, es decir f(x) por y. En este caso, la ecuación de la función se designa por:
y = x + 3
Los valores que toma la letra y dependen de los valores que toma la letra x, y por eso la letra y se llama variable dependiente
Las operaciones que hay que hacer con la variable independiente x para obtener su imagen y vienen expresadas por la ecuación de la función.
Hay funciones que no vienen definidas por una ecuación. Así, la función h de A = {1, -1, 2, -2, 3, -3} en B = {1, 2, 3} está definida por el conjunto de pares G.
G = {(1, 1), (-1, 1), (2, 2), (-2, 2), (3, 3), (-3, 3)}
Funciones de variable entera
Una función de variable entera es toda función cuyo dominio es una parte del conjunto de los números enteros.
En las funciones que hemos visto hasta ahora, los valores que podía tomar la variable dependiente x eran números enteros; por eso estas funciones se llaman funciones de variable entera.
Función de variable entera:
\(\mathbb{Z}\overset{f}{\rightarrow}\mathbb{Z}\)
f(x) = x + 3
y = x + 3
Funciones de variable racional
Se llama función de variable racional a toda función cuyo dominio es una parte no vacía del conjunto de los número racionales.
Observa la función g: \(\mathbb{Q}^{+}\overset{h}{\rightarrow}\mathbb{Q}^{+}\), definida por el criterio “elevar al cuadrado y después multiplicar por 3”
\(\large g\left ( x \right )= 3x^{2}\)El dominio de la función g es el conjunto ℚ de los números racionales, y por eso la función g es una función de variable racional.
Cálculo de la imagen y de la antiimagen de un número por una función
Dada la función de variable entera f(x) = 2x + 2, o bien y = 2x + 2, para hallar la imagen de cualquier número, sólo hay que sustituir x por ese número. Por ejemplo la imagen de 3 sería:
f(3) = 2 · 3 + 2 = 8
¿Cómo sabemos si un número conocido tiene original o antiimagen?
Para ello igualamos f(x) o y a ese número y luego calculamos x. x sería la antiimagen de ese número.
Por ejemplo, la antiimagen de 18 sería:
\(2x + 2 = 18\)x
\(2x= 18-2=16\) \(x=\frac{16}{2}=8\)La antiimagen de 18 es 8
CUESTIONARIO
¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!
EJERCICIOS
Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.
Ejercicios sobre los conceptos básicos de las funciones
Aquí tienes los ejercicios sobre los conceptos básicos de las funciones.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.
PROBLEMAS
Haz clic en el botón de abajo para acceder a los problemas: