Tabla de contenidos
CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES
En esta clase vamos a ver las correspondencias y las aplicaciones.
Determinación de una correspondencia
Una correspondencia entre dos conjuntos queda determinada cuando se conocen el conjunto inicial, el conjunto final y/o su criterio de formación o grafo.
Entre los conjuntos A ={1, -1, 2, -2, 3, -3} y B = {2, 4, 9} se establece una correspondencia con el criterio “…tiene por cuadrado…”
El conjunto A se llama conjunto inicial o de partida
El conjunto B se llama conjunto final o de llegada
Conjunto inicial → A ={1, -1, 2, -2, 3, -3}
Conjunto final → B = {2, 4, 9}
Fíjate en el diagrama de flechas de esta correspondencia.
Del 2 sale una flecha que va al 4. Eso significa que:
- El 4 es imagen de 2
- El 2 es el original o antiimagen de 4
- Que el par (2,4) es un par de correspondencia.
El conjunto de los pares de la correspondencia se llama grafo de la correspondencia y se expresa así:
G = {(1, -1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-3, 9)}
Conjunto original y conjunto imagen
El conjunto formado por los elementos que tienen imagen se llama conjunto original.
Conjunto original = {1, -1, 2, -2, 3, -3}
El conjunto formado por los elementos imágenes se llama conjunto imagen.
Conjunto imagen = {2, 4, 9}
En general, el conjunto original es un subconjunto del conjunto inicial y el conjunto imagen es subconjunto del conjunto final.
Conjunto original ⊂ conjunto inicial
Conjunto imagen ⊂ conjunto final
Correspondencia recíproca o inversa
Si en la correspondencia anterior de A en B se cambia el sentido de las flechas, es decir, el conjunto inicial pasa a ser el conjunto final y viceversa, resulta una nueva correspondencia de B en A que se llama correspondencia recíproca o inversa a la dada.
En este caso el criterio de correspondencia es “… tiene por raíz cuadrada…”
Aplicación
Una aplicación es una correspondencia en la que el conjunto original coincide con el conjunto inicial y en la que cada elemento tiene una sola imagen.
Considera la correspondencia entre los conjuntos C y D, dada por el criterio: “…tiene por doble…”
C = {1, -1, 2, -2}
D = {2, -2, 4, -4}
Fíjate en lo siguiente:
-Cada elemento del conjunto inicial tiene imagen, es decir, el conjunto inicial coincide con el conjunto original.
-Cada elemento del conjunto final tiene una sola imagen
Por cumplir estas dos condiciones, decimos que esta correspondencia es una aplicación.
Las aplicaciones se designan con las letras f, g, h …
Así, si llamamos f a esta aplicación de C en D se escribe:
\(\large C\overset{f}{\rightarrow}D\)
Para expresar que la imagen de 1 es 2 se escribe:
f(1) = 2
y se lee: la imagen de 1 por f es 2
Del mismo modo:
f(-1) = -2 → La imagen de -1 por f es -2
f(2) = 4 → La imagen de 2 por f es 4
f(-2) = -4 → La imagen de -2 por f es -4
En general, si x es un elemento del conjunto inicial, su imagen formada por f se designa por f(x)
Clases de aplicaciones
-Aplicación inyectiva
-Aplicación exhaustiva o suprayectiva
-Aplicación biyectiva
Aplicación inyectiva
Una aplicación de A en B es inyectiva cuando todo elemento de B que es imagen de un elemento de A lo es de un solo elemento.
Fíjate en los diagramas de flechas de las aplicaciones f y g:
\(\large A\overset{f}{\rightarrow}B\)
\(\large E\overset{g}{\rightarrow}F\)
El criterio de f es “…tiene por doble…”
El criterio de g es “…,tiene por cuadrado…”
Observa que en la aplicación f no hay ningún elemento de B que sea imagen de más de un elemento de A, por eso decimos que la aplicación f es una aplicación inyectiva.
En cambio, la aplicación g no es inyectiva porque el elemento 1 es imagen de dos elementos (1 y -1) del conjunto inicial.
Aplicación exhaustiva o suprayectiva
Una aplicación es exhaustiva cuando todos los elementos del conjunto final son elementos imágenes.
Fíjate en el diagrama de flechas de la aplicación entre los conjuntos M y N.
En esta aplicación, el conjunto imagen {1, 2, 3} coincide con el conjunto final; es decir, todos los elementos del conjunto final son elementos imágenes. Por eso decimos que es una aplicación exhaustiva, suprayectiva o sobreyectiva.
Aplicación biyectiva o biyección
Una aplicación es biyectiva cuando es a la vez inyectiva y exhaustiva.
Fíjate en el diagrama de flechas entre los conjuntos S y T.
Esta aplicación es inyectiva porque cada elemento de T es imagen de un solo elemento de S.
Esta aplicación es también exhaustiva porque todos los elementos del conjunto final son elementos imágenes.
Por eso decimos que es una aplicación biyectiva.
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