Tabla de contenidos
CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES
En esta clase vamos a ver las correspondencias y las aplicaciones.
Determinación de una correspondencia
Una correspondencia entre dos conjuntos queda determinada cuando se conocen el conjunto inicial, el conjunto final y/o su criterio de formación o grafo.
Entre los conjuntos A ={1, -1, 2, -2, 3, -3} y B = {2, 4, 9} se establece una correspondencia con el criterio “…tiene por cuadrado…”
El conjunto A se llama conjunto inicial o de partida
El conjunto B se llama conjunto final o de llegada
Conjunto inicial → A ={1, -1, 2, -2, 3, -3}
Conjunto final → B = {2, 4, 9}
Fíjate en el diagrama de flechas de esta correspondencia.
Del 2 sale una flecha que va al 4. Eso significa que:
- El 4 es imagen de 2
- El 2 es el original o antiimagen de 4
- Que el par (2,4) es un par de correspondencia.
El conjunto de los pares de la correspondencia se llama grafo de la correspondencia y se expresa así:
G = {(1, -1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-3, 9)}
Conjunto original y conjunto imagen
El conjunto formado por los elementos que tienen imagen se llama conjunto original.
Conjunto original = {1, -1, 2, -2, 3, -3}
El conjunto formado por los elementos imágenes se llama conjunto imagen.
Conjunto imagen = {2, 4, 9}
En general, el conjunto original es un subconjunto del conjunto inicial y el conjunto imagen es subconjunto del conjunto final.
Conjunto original ⊂ conjunto inicial
Conjunto imagen ⊂ conjunto final
Correspondencia recíproca o inversa
Si en la correspondencia anterior de A en B se cambia el sentido de las flechas, es decir, el conjunto inicial pasa a ser el conjunto final y viceversa, resulta una nueva correspondencia de B en A que se llama correspondencia recíproca o inversa a la dada.
En este caso el criterio de correspondencia es “… tiene por raíz cuadrada…”
Aplicación
Una aplicación es una correspondencia en la que el conjunto original coincide con el conjunto inicial y en la que cada elemento tiene una sola imagen.
Considera la correspondencia entre los conjuntos C y D, dada por el criterio: “…tiene por doble…”
C = {1, -1, 2, -2}
D = {2, -2, 4, -4}
Fíjate en lo siguiente:
-Cada elemento del conjunto inicial tiene imagen, es decir, el conjunto inicial coincide con el conjunto original.
-Cada elemento del conjunto final tiene una sola imagen
Por cumplir estas dos condiciones, decimos que esta correspondencia es una aplicación.
Las aplicaciones se designan con las letras f, g, h …
Así, si llamamos f a esta aplicación de C en D se escribe:
\(\large C\overset{f}{\rightarrow}D\)Para expresar que la imagen de 1 es 2 se escribe:
f(1) = 2
y se lee: la imagen de 1 por f es 2
Del mismo modo:
f(-1) = -2 → La imagen de -1 por f es -2
f(2) = 4 → La imagen de 2 por f es 4
f(-2) = -4 → La imagen de -2 por f es -4
En general, si x es un elemento del conjunto inicial, su imagen formada por f se designa por f(x)
Clases de aplicaciones
-Aplicación inyectiva
-Aplicación exhaustiva o suprayectiva
-Aplicación biyectiva
- Aplicación inyectiva
Una aplicación de A en B es inyectiva cuando todo elemento de B que es imagen de un elemento de A lo es de un solo elemento.
Fíjate en los diagramas de flechas de las aplicaciones f y g:
\(\large A\overset{f}{\rightarrow}B\) \(\large E\overset{g}{\rightarrow}F\)El criterio de f es “…tiene por doble…”
El criterio de g es “…,tiene por cuadrado…”
Observa que en la aplicación f no hay ningún elemento de B que sea imagen de más de un elemento de A, por eso decimos que la aplicación f es una aplicación inyectiva.
En cambio, la aplicación g no es inyectiva porque el elemento 1 es imagen de dos elementos (1 y -1) del conjunto inicial.
- Aplicación exhaustiva o suprayectiva
Una aplicación es exhaustiva cuando todos los elementos del conjunto final son elementos imágenes.
Fíjate en el diagrama de flechas de la aplicación entre los conjuntos A y B.
En esta aplicación, el conjunto imagen {1, 2, 3} coincide con el conjunto final; es decir, todos los elementos del conjunto final son elementos imágenes. Por eso decimos que es una aplicación exhaustiva, suprayectiva o sobreyectiva.
- Aplicación biyectiva o biyección
Una aplicación es biyectiva cuando es a la vez inyectiva y exhaustiva.
Fíjate en el diagrama de flechas entre los conjuntos A y B.
Esta aplicación es inyectiva porque cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A.
Esta aplicación es también exhaustiva porque todos los elementos del conjunto final son elementos imágenes.
Por eso decimos que es una aplicación biyectiva.
CUESTIONARIO
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EJERCICIOS
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Ejercicios sobre las correspondencias y aplicaciones
Aquí tienes los ejercicios sobre las correspondencias y aplicaciones.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.